Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorOyun ve Turnuva Problemleri

Beş sporcunun katıldığı bir masa tenisi turnuvasında her oyuncu diğer tüm oyuncularla tam olarak ikişer kez karşılaşmıştır. Turnuvada beraberlik seçeneği yoktur. Turnuvada puanlama şu şekildedir:

* Her galibiyete 33 puan verilmektedir. Mağlubiyete ise puan verilmemektedir (00 puan).
* Üst üste kazanılan galibiyetlerde, 3. galibiyetten itibaren (3. galibiyet dahil) kazanılan her ardışık maç için oyuncunun hanesine ekstra 11 bonus puan eklenmektedir. (Örneğin; bir oyuncu turnuvadaki ilk 4 maçını kazanıp sonraki 4 maçını kaybederse 3+3+4+4+0+0+0+0=143+3+4+4+0+0+0+0 = 14 puan alır. Seri mağlubiyetle bozulursa bonus sıfırlanır.)

Turnuva sonunda sporcuların aldıkları puanlar ve galibiyet durumlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* En fazla galibiyet alan oyuncu tüm maçlarını kazanmamıştır.
* Turnuvadaki her oyuncu en az iki galibiyet almıştır.
* Oyunculardan biri turnuvayı 1818 puanla tamamlamıştır.

Buna göre, 1818 puan alan bu oyuncunun turnuva boyunca aldığı mağlubiyet sayısı en fazla kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Cevap
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

Oyuncunun alabileceği maksimum mağlubiyet sayısı 3'tür.
Doğru cevap olan 3 seçeneği, oyuncunun 5 galibiyet ve 3 mağlubiyet alarak 18 puan elde edebileceği en yüksek mağlubiyet durumunu gösterir. Oyuncu 5 galibiyetini üst üste aldığında 3 + 3 + 4 + 4 + 4 = 18 puan elde etmekte ve geri kalan 3 maçını kaybederek maksimum mağlubiyet sayısına ulaşmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Her oyuncunun yaptığı toplam maç sayısını belirleme.
Turnuvada 5 oyuncu vardır. Her oyuncu diğer 4 oyuncuyla ikişer kez karşılaştığı için toplam 4×2=84 \times 2 = 8 maç yapar. Beraberlik olmadığından her oyuncu için Galibiyet (GG) ve Mağlubiyet (MM) sayılarının toplamı G+M=8G + M = 8 olmak zorundadır.
Olası galibiyet ve mağlubiyet kombinasyonlarını sınırlandırmak için her oyuncunun toplam maç sayısını bulmalıyız.
2
Farklı galibiyet sayıları için elde edilebilecek puanları ve 18 puan sınırını analiz etme.
- G≤4G \le 4 ise: En fazla ardışık 4 galibiyet alınabilir ve puan en fazla 3+3+4+4=143 + 3 + 4 + 4 = 14 olur (18 puana ulaşılamaz).
- G=5G = 5 ise: 5 galibiyetin tamamı ardışık alınırsa (Galibiyet, Galibiyet, Galibiyet, Galibiyet, Galibiyet) puan: 3+3+4+4+4=183 + 3 + 4 + 4 + 4 = 18 olur. Bu durumda mağlubiyet sayısı M=8−5=3M = 8 - 5 = 3 olur.
- G=6G = 6 ise: Galibiyetler ardışık ikişerli gruplara bölünürse (örneğin G-G-M-G-G-M-G-G) hiç bonus alınmaz ve puan 3×6=183 \times 6 = 18 olur. Bu durumda mağlubiyet sayısı M=8−6=2M = 8 - 6 = 2 olur.
- G=7G = 7 ise: 1 mağlubiyet olacağından galibiyetler en fazla iki gruba ayrılabilir (örneğin 4 ve 3 ardışık galibiyet). Alınabilecek minimum puan (3+3+4+4)+(3+3+4)=24(3+3+4+4) + (3+3+4) = 24 olur (18 puan alınamaz).
18 puana ulaştıran galibiyet sayılarını ve bu durumlardaki mağlubiyet sayılarını bulmak için olasılıkları hesaplamalıyız.
3
Turnuva geneli kısıtlamalarının kontrol edilmesi.
En çok galibiyet alan oyuncunun tüm maçlarını kazanmadığı (G<8G < 8) ve her oyuncunun en az iki galibiyet aldığı belirtilmiştir. Bizim 18 puan alan oyuncumuzun 5 galibiyet (3 mağlubiyet) veya 6 galibiyet (2 mağlubiyet) alması turnuva genelindeki toplam galibiyet dağılımını bozmaz. Örneğin, oyuncuların galibiyet sayıları sırasıyla 7, 5, 4, 2, 2 olabilir (Toplam galibiyet = 20, bu da toplam maç sayısına eşittir).
Bulunan bireysel durumların turnuvanın genel mantıksal çerçevesiyle çelişmediğini doğrulamak gerekir.
4
Maksimum mağlubiyet sayısının seçilmesi.
Oyuncu 18 puanı 3 mağlubiyet (G=5G=5) veya 2 mağlubiyet (G=6G=6) ile elde edebilir. Mağlubiyet sayısının en fazla olması istendiğinden doğru cevap 3'tür.
Soruda istenen maksimum mağlubiyet değerini belirlemek.

Anahtar Kavram

Turnuva puanlama ve ardışık durum kombinasyon analizi
Bu soruyu puanla

Konular

Oyun ve Turnuva Problemleri

Bu konudan daha fazla soru