Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFaktöriyel
(n+2)!+(n+1)!n!+(n−1)!=28\frac{(n+2)! + (n+1)!}{n! + (n-1)!} = 28

eşitliğini sağlayan nn pozitif tam sayısı kaçtır?
  1. A
    2
  2. B
    3
  3. 4Cevap
  4. D
    5
  5. E
    7

Cevap

4
Verilen rasyonel ifadede pay (n+3)⋅(n+1)⋅n⋅(n−1)!(n+3) \cdot (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! şeklinde, payda ise (n+1)⋅(n−1)!(n+1) \cdot (n-1)! şeklinde düzenlenip ortak terimler sadeleştirildiğinde geriye n⋅(n+3)=28n \cdot (n+3) = 28 eşitliği kalır. Çarpımları 28 olan ve aralarında 3 fark bulunan pozitif tam sayı 4 olduğundan doğru yanıt bu değere karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadeleri ortak paranteze alabilmek için en küçük faktöriyelli terimler cinsinden açalım.
Pay kısmında (n+1)!(n+1)! parantezine alırsak:
(n+2)!+(n+1)!=(n+2)⋅(n+1)!+(n+1)!=(n+1)!⋅(n+2+1)=(n+3)⋅(n+1)!(n+2)! + (n+1)! = (n+2) \cdot (n+1)! + (n+1)! = (n+1)! \cdot (n+2+1) = (n+3) \cdot (n+1)!

Payda kısmında (n−1)!(n-1)! parantezine alırsak:
n!+(n−1)!=n⋅(n−1)!+(n−1)!=(n−1)!⋅(n+1)n! + (n-1)! = n \cdot (n-1)! + (n-1)! = (n-1)! \cdot (n+1)
elde edilir.
Toplama halindeki faktöriyelli ifadeleri sadeleştirebilmek için ortak çarpan parantezine almak gerekir.
2
Bulduğumuz parantezli ifadeleri kesirli denklemde yerine yazıp ortak terimleri sadeleştirelim.
(n+3)⋅(n+1)!(n+1)⋅(n−1)!=28\frac{(n+3) \cdot (n+1)!}{(n+1) \cdot (n-1)!} = 28

Pay kısmındaki (n+1)!(n+1)! ifadesini (n−1)!(n-1)! terimine kadar açarak yazalım:
(n+3)⋅(n+1)⋅n⋅(n−1)!(n+1)⋅(n−1)!=28\frac{(n+3) \cdot (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n+1) \cdot (n-1)!} = 28

Pay ve paydadaki ortak (n+1)(n+1) ve (n−1)!(n-1)! terimleri birbirini sadeleştirir. Geriye kalan ifade:
n⋅(n+3)=28n \cdot (n+3) = 28
olur.
Kesirli ifadelerde pay ve paydadaki çarpım durumundaki ortak terimler sadeleştirilerek işlem kolayla��tırılır.
3
Elde edilen n⋅(n+3)=28n \cdot (n+3) = 28 denklemini sağlayan pozitif tam sayı değerini belirleyelim.
n2+3n−28=0  ⟹  (n+7)⋅(n−4)=0n^2 + 3n - 28 = 0 \implies (n+7) \cdot (n-4) = 0
Buradan n=−7n = -7 veya n=4n = 4 bulunur. Faktöriyel tanımı gereği n−1≥0  ⟹  n≥1n-1 \geq 0 \implies n \geq 1 olmalıdır, bu yüzden nn pozitif bir tam sayı olmak zorundadır. Dolayısıyla n=4n = 4 olarak seçilir.
İkinci derece denklemin köklerinden faktöriyel tanım kümesine uygun olan pozitif tam sayı kökü alınmalıdır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren rasyonel ifadelerde en küçük terime göre açarak ortak paranteze alma ve sadeleştirme yöntemlerinin uygulanması.

İpuçları

1
Pay ve paydadaki ifadeleri ortak paranteze alabilmek için öncelikle terimleri daha küçük faktöriyelli ifadeler cinsinden açmayı deneyin.
2
Pay kısmını (n+1)!(n+1)!, payda kısmını ise (n−1)!(n-1)! parantezine alarak sadeleştirmeleri gerçekleştirin.
3
Sadeleştirmelerden sonra elinizde n(n+3)=28n(n+3) = 28 denklemi kalacaktır. Çarpımları 28 olan ve aralarında 3 fark bulunan pozitif tam sayıyı bulun.

Daha Fazla Pratik

Faktöriyel parantezine alma mantığını pekiştirmek için ardışık üç faktöriyel teriminin toplamının/farkının sadeleştirildiği benzer rasyonel denklem sorularını çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Zaman kısıtı olan sınavlarda, seçeneklerdeki küçük tam sayı değerlerini doğrudan denklemde yerine koyarak deneme yöntemiyle de hızlıca doğru cevaba ulaşabilirsiniz. Örneğin n=4n=4 için sol taraf 6!+5!4!+3!=720+12024+6=84030=28\frac{6! + 5!}{4! + 3!} = \frac{720 + 120}{24 + 6} = \frac{840}{30} = 28 eşitliğini doğrudan sağlar.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel

Bu konudan daha fazla soru