Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorPrizmalar ve Genel Özellikleri

Taban köşeleri sırasıyla A,B,C,D,E,FA, B, C, D, E, F ve üst taban köşeleri sırasıyla A′,B′,C′,D′,E′,F′A', B', C', D', E', F' olan düzgün altıgen dik prizmanın hacmi 108 cm3108\text{ cm}^3 tür. Bu prizma, alt tabandaki [AB][AB] kenarı ile üst tabandaki [F′C′][F'C'] köşegeninden geçen bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor. Buna göre, oluşan parçalardan hacmi küçük olanın hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

  1. A
    18
  2. 24Cevap
  3. C
    30
  4. D
    36
  5. E
    54

Cevap

Küçük parçanın hacmi 24 santimetreküptür.
Düzgün altıgen dik prizma [FC][FC] dikey köşegen düzlemiyle ikiye ayrıldığında, kesit düzlemi bu parçalardan birini tamamen altta bırakırken (V/2V/2), diğerini dikey dikdörtgen ve üçgen parçalara ayırarak keser. Dikey parçalardan elde edilen alt hacimlerin toplamı 5V/185V/18 olup, prizmanın altında kalan toplam hacim 7V/97V/9, üstünde kalan küçük parçanın hacmi ise 2V/92V/9 olur. Toplam hacim 108 cm3108\text{ cm}^3 olduğundan küçük parçanın hacmi 24 cm324\text{ cm}^3 tür.

Adım Adım Çözüm

1
Prizmanın tabanındaki düzgün altıgeni, [AB][AB] kenarına paralel olan en uzun köşegen [FC][FC] boyunca dikey bir düzlemle iki eş parçaya bölelim.
Prizma, taban alanları altıgenin yarısına eşit olan iki eş prizmaya ayrılır. Bu dikey bölmelerden biri (FEDC−F′E′D′C′FEDC - F'E'D'C') tamamen kesit düzleminin altında kalır ve bu kısmın hacmi V2=V2V_2 = \frac{V}{2}'dir.
Kesit düzleminin sınırlarını belirlemek ve hacmi daha kolay hesaplanabilir dikey dilimlere ayırmak için.
2
Yamuk tabanlı prizmalardan ikincisini (ABCF−A′B′C′F′ABCF - A'B'C'F') dikey olarak bir adet dikdörtgenler prizması (ortada) ve iki adet dik üçgen prizmaya (yanlarda) ayıralım.
Ortadaki dikdörtgenler prizmasının taban alanı a⋅da \cdot d, yanlardaki dik üçgen prizmaların taban alanları ise 14ad\frac{1}{4} a d olur (burada aa altıgenin kenar uzunluğu, dd ise [AB][AB] ile [FC][FC] arasındaki mesafedir).
Eğik kesim altında kalan karmaşık hacmi, bilinen temel geometrik cisimlerin hacim formülleriyle parçalayarak hesaplayabilmek için.
3
Kesit düzleminin bu üç dikey parça üzerinde bıraktığı alt hacimleri ayrı ayrı hesaplayalım.
Ortadaki parça köşegen boyunca ikiye bölündüğünden alt hacmi 12adh\frac{1}{2} a d h olur. Yanlardaki üçgen prizma şeklindeki parçaların altında kalan hacimler ise tabanı d×hd \times h olan ve tepe noktası AA (veya BB) olan birer piramit oluşturur. Bu piramitlerin her birinin hacmi 13×(d⋅h)×a2=16adh\frac{1}{3} \times (d \cdot h) \times \frac{a}{2} = \frac{1}{6} a d h olarak hesaplanır.
Kesit düzleminin altında kalan hacim formüllerini uygulamak için.
4
Bu dikey parçalardan elde edilen alt hacimleri toplayarak birinci bölgedeki toplam alt hacmi (V1V_1) bulalım.
V1=12adh+2×(16adh)=56adhV_1 = \frac{1}{2} a d h + 2 \times \left(\frac{1}{6} a d h\right) = \frac{5}{6} a d h elde edilir. Tüm prizmanın hacmi V=3adhV = 3 a d h olduğundan, V1=518VV_1 = \frac{5}{18} V olur.
Bölünen kısımdaki alt hacmin toplam prizma hacmine oranını belirlemek için.
5
Tüm prizmada kesit düzleminin altında ve üstünde kalan toplam hacimleri hesaplayıp küçük parçanın hacmini bulalım.
Alt tarafta kalan toplam hacim Valt=V1+V2=518V+12V=1418V=79VV_{\text{alt}} = V_1 + V_2 = \frac{5}{18} V + \frac{1}{2} V = \frac{14}{18} V = \frac{7}{9} V olur. Üstte kalan küçük parçanın hacmi ise Vu¨st=V−79V=29VV_{\text{üst}} = V - \frac{7}{9} V = \frac{2}{9} V olarak bulunur. Hacim 108 cm3108\text{ cm}^3 olduğundan, küçük parçanın hacmi 29×108=24 cm3\frac{2}{9} \times 108 = 24\text{ cm}^3 elde edilir.
Soru kökündeki değerleri yerine koyarak nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Prizmaların düzlemle kesilmesi ve hacim hesabı

Alternatif Yöntem

Kesit düzleminin altında kalan hacim, analitik geometri yardımıyla taban alanı üzerinde yükseklik fonksiyonunun iki katlı integrali alınarak da hesaplanabilir. Taban düzleminde [AB][AB] kenarı y=0y=0 doğrusu, [FC][FC] köşegeni ise y=dy=d doğrusu olacak şekilde koordinat sistemi kurulduğunda, kesit düzleminin yüksekliği z(y)=hdyz(y) = \frac{h}{d}y fonksiyonu ile ifade edilir. Bu fonksiyonun ABCFABCF yamuğu üzerindeki integrali, yamuğun ağırlık merkezinin y-koordinatı kullanılarak V1=Alan(ABCF)×z(yˉ)V_1 = \text{Alan}(ABCF) \times z(\bar{y}) şeklinde kolayca bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Prizmalar ve Genel Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru