Prizmalar ve Genel Özellikleri Alıştırma Soruları — ALES

Soru 1Soru →

Taban köşeleri sırasıyla $A, B, C, D, E, F$ ve üst taban köşeleri sırasıyla $A', B', C', D', E', F'$ olan düzgün altıgen dik prizmanın hacmi $108\text{ cm}^3$ tür. Bu prizma, alt tabandaki $[AB]$ kenarı ile üst tabandaki $[F'C']$ köşegeninden geçen bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor. Buna göre, oluşan parçalardan hacmi küçük olanın hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

18

24

30

36

54

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Küçük parçanın hacmi 24 santimetreküptür.

Düzgün altıgen dik prizma

[FC]

dikey köşegen düzlemiyle ikiye ayrıldığında, kesit düzlemi bu parçalardan birini tamamen altta bırakırken (

V/2

), diğerini dikey dikdörtgen ve üçgen parçalara ayırarak keser. Dikey parçalardan elde edilen alt hacimlerin toplamı

5V/18

olup, prizmanın altında kalan toplam hacim

7V/9

, üstünde kalan küçük parçanın hacmi ise

2V/9

olur. Toplam hacim

108\text{ cm}^3

olduğundan küçük parçanın hacmi

24\text{ cm}^3

tür.

Adım Adım Çözüm

1

Prizmanın tabanındaki düzgün altıgeni,

[AB]

kenarına paralel olan en uzun köşegen

[FC]

boyunca dikey bir düzlemle iki eş parçaya bölelim.

Prizma, taban alanları altıgenin yarısına eşit olan iki eş prizmaya ayrılır. Bu dikey bölmelerden biri (

FEDC - F'E'D'C'

) tamamen kesit düzleminin altında kalır ve bu kısmın hacmi

V_2 = \frac{V}{2}

'dir.

Kesit düzleminin sınırlarını belirlemek ve hacmi daha kolay hesaplanabilir dikey dilimlere ayırmak için.

2

Yamuk tabanlı prizmalardan ikincisini (

ABCF - A'B'C'F'

) dikey olarak bir adet dikdörtgenler prizması (ortada) ve iki adet dik üçgen prizmaya (yanlarda) ayıralım.

Ortadaki dikdörtgenler prizmasının taban alanı

a \cdot d

, yanlardaki dik üçgen prizmaların taban alanları ise

\frac{1}{4} a d

olur (burada

a

altıgenin kenar uzunluğu,

d

ise

[AB]

ile

[FC]

arasındaki mesafedir).

Eğik kesim altında kalan karmaşık hacmi, bilinen temel geometrik cisimlerin hacim formülleriyle parçalayarak hesaplayabilmek için.

3

Kesit düzleminin bu üç dikey parça üzerinde bıraktığı alt hacimleri ayrı ayrı hesaplayalım.

Ortadaki parça köşegen boyunca ikiye bölündüğünden alt hacmi

\frac{1}{2} a d h

olur. Yanlardaki üçgen prizma şeklindeki parçaların altında kalan hacimler ise tabanı

d \times h

olan ve tepe noktası

A

(veya

B

) olan birer piramit oluşturur. Bu piramitlerin her birinin hacmi

\frac{1}{3} \times (d \cdot h) \times \frac{a}{2} = \frac{1}{6} a d h

olarak hesaplanır.

Kesit düzleminin altında kalan hacim formüllerini uygulamak için.

4

Bu dikey parçalardan elde edilen alt hacimleri toplayarak birinci bölgedeki toplam alt hacmi (

V_1

) bulalım.

V_1 = \frac{1}{2} a d h + 2 \times \left(\frac{1}{6} a d h\right) = \frac{5}{6} a d h

elde edilir. Tüm prizmanın hacmi

V = 3 a d h

olduğundan,

V_1 = \frac{5}{18} V

olur.

Bölünen kısımdaki alt hacmin toplam prizma hacmine oranını belirlemek için.

5

Tüm prizmada kesit düzleminin altında ve üstünde kalan toplam hacimleri hesaplayıp küçük parçanın hacmini bulalım.

Alt tarafta kalan toplam hacim

V_{\text{alt}} = V_1 + V_2 = \frac{5}{18} V + \frac{1}{2} V = \frac{14}{18} V = \frac{7}{9} V

olur. Üstte kalan küçük parçanın hacmi ise

V_{\text{üst}} = V - \frac{7}{9} V = \frac{2}{9} V

olarak bulunur. Hacim

108\text{ cm}^3

olduğundan, küçük parçanın hacmi

\frac{2}{9} \times 108 = 24\text{ cm}^3

elde edilir.

Soru kökündeki değerleri yerine koyarak nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Prizmaların düzlemle kesilmesi ve hacim hesabı

Alternatif Yöntem

Kesit düzleminin altında kalan hacim, analitik geometri yardımıyla taban alanı üzerinde yükseklik fonksiyonunun iki katlı integrali alınarak da hesaplanabilir. Taban düzleminde

[AB]

kenarı

y=0

doğrusu,

[FC]

köşegeni ise

y=d

doğrusu olacak şekilde koordinat sistemi kurulduğunda, kesit düzleminin yüksekliği

z(y) = \frac{h}{d}y

fonksiyonu ile ifade edilir. Bu fonksiyonun

ABCF

yamuğu üzerindeki integrali, yamuğun ağırlık merkezinin y-koordinatı kullanılarak

V_1 = \text{Alan}(ABCF) \times z(\bar{y})

şeklinde kolayca bulunur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 2Soru →

Bir düzgün üçgen dik prizmanın yüksekliği, taban ayrıtının uzunluğunun $\sqrt{3}$ katına eşittir. Bu prizmanın tüm yüzey alanı $14\sqrt{3}\text{ cm}^2$ olduğuna göre, hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Prizmanın hacmi 6 santimetreküptür.

Prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımı ile bulunur. Taban alanı

\sqrt{3}

ve yükseklik

2\sqrt{3}

olduğundan hacim

6

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Taban ayrıtına

a

diyerek prizmanın yüksekliğini

a

cinsinden yazın.

Prizmanın yüksekliği

h = a\sqrt{3}

olur.

Yüksekliğin taban ayrıtının

\sqrt{3}

katı olduğu belirtilmiştir.

2

Taban alanını (

T_A

) ve yanal alanı (

Y_A

)

a

cinsinden hesaplayın.

T_A = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

ve

Y_A = 3a \times h = 3a^2\sqrt{3}

Taban bir kenarı

a

olan eşkenar üçgendir. Yanal alan ise taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır.

3

Toplam yüzey alanını veren denklemi kurun ve

a

değerini bulun.

Tüm yüzey alanı

2 T_A + Y_A = \frac{7a^2\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3} \implies a^2 = 4 \implies a = 2

cm olur.

Prizmanın toplam yüzey alanı, iki taban alanı ile yanal alanın toplamına eşittir.

4

Bulunan

a

değeri ile hacmi hesaplayın.

Hacim

V = T_A \times h = \sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 6\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Dik prizmalarda yüzey alanı ve hacim bağıntıları

Soru 3Soru →

Bir dik prizmanın tüm yüzey alanı, yanal alanının $\frac{3}{2}$ katına eşittir. Bu prizmanın yüksekliği $5\text{ cm}$ ve hacmi $125\text{ cm}^3$ olduğuna göre, taban çevresi kaç $\text{cm}$ 'dir?

10

15

20

30

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Taban çevresi

20\text{ cm}

'dir.

Doğru cevap, taban çevresinin

20\text{ cm}

olduğunu belirten seçenektir. Çünkü hacim formülünden taban alanı

25\text{ cm}^2

olarak bulunur. Yüzey alanı bağıntısından yanal alanın taban alanının 4 katı (

100\text{ cm}^2

) olduğu tespit edilir. Yanal alanın taban çevresi ile yükseklik çarpımı olmasından yola çıkılarak da taban çevresi

20\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Hacim formülünü kullanarak taban alanını (

T

) hesaplayalım.

T = 25\text{ cm}^2

Dik prizmanın hacmi

V = T \cdot h

formülüyle hesaplanır. Hacim

125\text{ cm}^3

ve yükseklik

h = 5\text{ cm}

olarak verildiğinden,

125 = T \cdot 5 \Rightarrow T = 25\text{ cm}^2

olur.

2

Tüm yüzey alanı (

S

) ve yanal alan (

Y_a

) arasındaki ilişkiyi kuralım.

Y_a = 4T

Dik prizmanın tüm yüzey alanı

S = Y_a + 2T

şeklindedir. Tüm yüzey alanının yanal alanın

\frac{3}{2}

katı olduğu verildiği için

Y_a + 2T = 1.5 Y_a \Rightarrow 2T = 0.5 Y_a \Rightarrow Y_a = 4T

eşitliğini elde ederiz.

3

Yanal alanı hesaplayalım.

Y_a = 100\text{ cm}^2

T = 25\text{ cm}^2

olduğundan,

Y_a = 4 \cdot 25 = 100\text{ cm}^2

bulunur.

4

Yanal alan formülünü kullanarak taban çevresini (

Ç

) bulalım.

Ç = 20\text{ cm}

Dik prizmalarda yanal alan

Y_a = Ç \cdot h

formülüyle hesaplanır.

100 = Ç \cdot 5 \Rightarrow Ç = 20\text{ cm}

elde edilir.

Anahtar Kavram

Dik prizmalarda hacim, yüzey alanı, yanal alan ve taban çevresi arasındaki temel geometrik ilişkiler.

İpuçları

1

Öncelikle hacim formülünü (

V = \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik}

) kullanarak prizmanın taban alanını bulmayı deneyin.

2

Dik prizmanın tüm yüzey alanının, yanal alan ile alt ve üst taban alanlarının toplamına eşit olduğunu (

S = Y_a + 2T

) unutmayın. Verilen oranı bu formülde yerine koyarak yanal alanın taban alanının kaç katı olduğunu bulabilirsiniz.

3

Bulduğunuz yanal alanı, dik prizmalardaki yanal alan formülü olan

\text{Taban Çevresi} \times \text{Yükseklik}

ifadesine eşitleyerek taban çevresine ulaşabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Tabanı düzgün sekizgen olan bir dik prizmanın köşe sayısı, yüz sayısı ve ayrıt sayısının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Düzgün sekizgen dik prizmanın köşe sayısı, yüz sayısı ve ayrıt sayısının toplamı 50'dir.

Sekizgen bir dik prizmanın 16 köşesi, 10 yüzü ve 24 ayrıtı bulunur. Bu değerlerin toplamı

16 + 10 + 24 = 50

yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Prizmanın tabanındaki çokgenin kenar sayısın�� (n) belirlemek.

n = 8

Prizmanın tabanı bir sekizgen olarak verilmiştir.

2

Köşe sayısını, yüz sayısını ve ayrıt sayısını ayrı ayrı hesaplamak.

Köşe sayısı =

16

, Yüz sayısı =

10

, Ayrıt sayısı =

24

n

-gen tabanlı bir dik prizmada

2n

adet köşe,

n+2

adet yüz ve

3n

adet ayrıt bulunur.

3

Hesaplanan tüm eleman sayılarını toplamak.

16 + 10 + 24 = 50

Soru bizden bu üç eleman sayısının toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Prizmaların taban kenar sayısına bağlı olarak köşe, yüz ve ayrıt sayılarının hesaplanması.

Soru 5Soru →

Bir dik prizmanın köşe sayısı ile ayrıt sayısının toplamı 15'tir. Bu prizmanın tabanı, dik kenarlarından biri $9\text{ cm}$ ve hipotenüsü $15\text{ cm}$ olan bir dik üçgendir. Prizmanın yanal alanı, taban alanının 3 katına eşit olduğuna göre, prizmanın hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 243

Cevap

Prizmanın hacmi

243\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Prizmanın köşe ve ayrıt sayılarından tabanının üçgen olduğu bulunur. Pisagor bağıntısı ile üçgenin diğer kenarı 12 cm, alanı 54 cm² ve çevresi 36 cm olarak hesaplanır. Yanal alanın taban alanının 3 katı olmasından yükseklik 4.5 cm elde edilir. Hacim ise taban alanı ve yüksekliğin çarpımı ile 243 cm³ bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Köşe sayısı ve ayrıt sayısı toplamını kullanarak prizmanın tabanının kenar sayısını belirleme

n = 3 (Üçgen dik prizma)

Bir n-gen dik prizmanın 2n köşesi ve 3n ayrıtı vardır. 2n + 3n = 15 denkleminden n = 3 bulunur.

2

Tabandaki dik üçgenin bilinmeyen dik kenarını hesaplama

12 cm

Dik kenarlarından biri 9 cm ve hipotenüsü 15 cm olan dik üçgende, Pisagor bağıntısı (

9^2 + b^2 = 15^2

) kullanılarak diğer dik kenar 12 cm olarak elde edilir.

3

Taban alanı ve taban çevresini hesaplama

Taban Alanı = 54 cm², Taban Çevresi = 36 cm

Dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır: (9 * 12) / 2 = 54 cm². Çevresi ise kenarlarının toplamıdır: 9 + 12 + 15 = 36 cm.

4

Prizmanın yüksekliğini bulma

h = 4.5 cm

Yanal alan formülü Çevre * h'dir. Yanal alan taban alanının 3 katına eşit olduğundan, 36 * h = 3 * 54 = 162 eşitliğinden h = 4.5 cm bulunur.

5

Prizmanın hacmini hesaplama

243 cm³

Bir prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımı ile bulunur: V = 54 * 4.5 = 243 cm³.

Anahtar Kavram

Prizmalarda köşe, ayrıt ve yüz sayısı ilişkileri ile taban alanı, yanal alan ve hacim hesaplama formülleri.

Soru 6Soru →

Taban ayrıtları $15\text{ cm}$ , $20\text{ cm}$ ve $25\text{ cm}$ olan dik üçgen dik prizma biçimindeki bir tahta blok, tabanının dik açılı köşesinden hipotenüse indirilen yükseklik boyunca tabana dik bir düzlemle kesilerek iki küçük dik prizmaya ayrılıyor. Elde edilen büyük parçanın tüm yüzey alanı, küçük parçanın tüm yüzey alanından $204\text{ cm}^2$ fazla olduğuna göre, başlangıçtaki tahta bloğun hacmi ka�� $\text{cm}^3$ tür?

500

750

1500

2550

900

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1500

Cevap

Başlangıçtaki tahta bloğun hacmi

1500\text{ cm}^3

tür.

Doğru cevap olan

1500

değerine ulaşmak için öncelikle taban dik üçgeninin alanı (

150\text{ cm}^2

) ve dik köşeden indirilen yüksekliği (

12\text{ cm}

) hesaplanır. Bu yükseklik, tabanı sırasıyla

9-12-15

ve

12-16-20

olan iki dik üçgene böler. Elde edilen iki küçük prizmanın tüm yüzey alanları yazılıp farkları

204\text{ cm}^2

ye eşitlendiğinde prizmanın yüksekliği

10\text{ cm}

olarak bulunur. Başlangıçtaki prizmanın hacmi ise taban alanı ile yüksekliğin çarpımı (

150 \times 10 = 1500\text{ cm}^3

) olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Taban üçgeninin alanını ve hipotenüse indirilen yüksekliğini bulma

Taban alanı

\text{Alan}(ABC) = 150\text{ cm}^2

ve yükseklik

BH = 12\text{ cm}

olarak bulunur.

Dik üçgenin dik kenarları

15\text{ cm}

ve

20\text{ cm}

olduğuna göre, hipotenüs

25\text{ cm}

'dir (

3-4-5

üçgeninin

5

katı). Alan formülünden:

\text{Alan}(ABC) = \frac{15 \times 20}{2} = 150\text{ cm}^2

olur. Aynı alan hipotenüs ve bu kenara ait yükseklik yardımıyla yazılırsa:

\frac{25 \times BH}{2} = 150 \implies BH = 12\text{ cm}

elde edilir.

2

Hipotenüs üzerindeki parçaların uzunluklarını Öklid bağıntılarıyla belirleme

Dikme ayağı

H

olmak üzere,

AH = 9\text{ cm}

ve

HC = 16\text{ cm}

bulunur.

Öklid'in dik kenar bağıntıları kullanılarak dik kenarların hipotenüs üzerindeki izdüşümleri hesaplanır:

AB^2 = AH \times AC \implies 15^2 = AH \times 25 \implies AH = 9\text{ cm}

olur. Buradan

HC = AC - AH = 25 - 9 = 16\text{ cm}

bulunur.

3

Oluşan iki küçük prizmanın tüm yüzey alanlarını yükseklik

h

cinsinden yazma

Küçük parçanın yüzey alanı

A_1 = 108 + 36h

, büyük parçanın yüzey alanı

A_2 = 192 + 48h

olur.

Küçük parçanın tabanı

\triangle ABH

(kenarları

9, 12, 15

) olup, taban alanı

T_1 = \frac{9 \times 12}{2} = 54\text{ cm}^2

ve taban çevresi

P_1 = 36\text{ cm}

'dir. Yüzey alanı:

A_1 = 2 \times 54 + 36h = 108 + 36h

. Büyük parçanın tabanı

\triangle CBH

(kenarları

12, 16, 20

) olup, taban alanı

T_2 = \frac{16 \times 12}{2} = 96\text{ cm}^2

ve taban çevresi

P_2 = 48\text{ cm}

'dir. Yüzey alanı:

A_2 = 2 \times 96 + 48h = 192 + 48h

olur.

4

Yüzey alanları farkını kullanarak prizma yüksekliğini ve hacmini hesaplama

Prizma yüksekliği

h = 10\text{ cm}

ve başlangıçtaki hacim

V = 1500\text{ cm}^3

bulunur.

İki parçanın tüm yüzey alanları farkı

204\text{ cm}^2

olarak verilmiştir:

A_2 - A_1 = (192 + 48h) - (108 + 36h) = 204 \implies 84 + 12h = 204 \implies 12h = 120 \implies h = 10\text{ cm}

bulunur. Başlangıçtaki hacim ise taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır:

V = 150 \times 10 = 1500\text{ cm}^3

.

Anahtar Kavram

Dik prizmalarda yüzey alanı ve hacim bağıntıları ile taban geometrisindeki Öklid bağıntılarının uygulanması.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 7Soru →

Tabanının dik kenar uzunlukları $3\text{ cm}$ ve $4\text{ cm}$ olan dik üçgen dik prizmanın yüksekliği $8\text{ cm}$ 'dir. Buna göre, bu prizmanın hacmi kaç $\text{cm}^3$ 'tür?

16

48

96

108

124

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Prizmanın hacmi

48\text{ cm}^3

'tür.

Doğru cevap olan

48\text{ cm}^3

değerine, dik üçgen şeklindeki tabanın alanını (

T_A = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\text{ cm}^2

) hesaplayıp ardından bu alanı prizmanın yüksekliği olan

8\text{ cm}

ile çarparak ulaşılır (

V = 6 \cdot 8 = 48\text{ cm}^3

).

Adım Adım Çözüm

1

Taban alanının hesaplanması

Taban alanı

T_A = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\text{ cm}^2

bulunur.

Dik prizmanın tabanı dik üçgen olduğundan, taban alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır.

2

Prizmanın hacminin hesaplanması

Hacim

V = T_A \cdot h = 6 \cdot 8 = 48\text{ cm}^3

bulunur.

Dik prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Dik prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir (

V = T_A \cdot h

). Tabanı dik üçgen olan prizmalarda taban alanı dik kenarların çarpımının yarısı alınarak bulunur.

İpuçları

1

Bir dik prizmanın hacmini bulmak için taban alanı ile yüksekliği çarpmanız gerekir.

2

Öncelikle tabandaki dik üçgenin alanını dik kenarlarını kullanarak hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, tabanı eşkenar üçgen olan bir dik prizmanın hacim hesabı üzerine çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, prizmayı taban ayrıtları 3 cm ve 4 cm, yüksekliği 8 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının yarısı olarak düşünebilirsiniz. Bu durumda hacim,

\frac{3 \cdot 4 \cdot 8}{2} = 48\text{ cm}^3

olur.

Tahmini Süre:45s

Prizmalar ve Genel Özellikleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem