Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖzel Tanımlı İşlemler
İki basamaklı bir ABAB doğal sayısı için □\square ve ◯\bigcirc işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:
□(AB)=A2+B\square(AB) = A^2 + B
◯(AB)=A+B2\bigcirc(AB) = A + B^2
Buna göre,
□(AB)−◯(AB)=14\square(AB) - \bigcirc(AB) = 14
eşitliğini sağlayan iki basamaklı ABAB doğal sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    113
  2. B
    128
  3. 140Cevap
  4. D
    152
  5. E
    192

Cevap

Koşulları sağlayan iki basamaklı ABAB doğal sayılarının toplamı 140'tır.
Doğru yanıt olan 140 değeri, özel işlem tanımları uygulandığında elde edilen (A−B)(A+B−1)=14(A-B)(A+B-1) = 14 denkleminin rakamlar kümesindeki çözümleri olan 53 ve 87 sayılarının toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımlanan □(AB)\square(AB) ve ◯(AB)\bigcirc(AB) işlemlerini verilen eşitlikte yerine yazalım.
(A2+B)−(A+B2)=14  ⟹  A2−B2−A+B=14(A^2 + B) - (A + B^2) = 14 \implies A^2 - B^2 - A + B = 14 denklemi elde edilir.
Soruda verilen özel işlemleri cebirsel bir denkleme dönüştürmek için.
2
Elde edilen denklemdeki terimleri gruplandırarak çarpanlara ayıralım.
(A2−B2)−(A−B)=14  ⟹  (A−B)(A+B)−(A−B)=14  ⟹  (A−B)(A+B−1)=14(A^2 - B^2) - (A - B) = 14 \implies (A - B)(A + B) - (A - B) = 14 \implies (A - B)(A + B - 1) = 14 ifadesine ulaşılır.
İki kare farkı özdeşliğini ve ortak çarpan parantezine alma yöntemini kullanarak denklem analizini kolaylaştırmak için.
3
AA ve BB birer rakam ve A≠0A \neq 0 (çünkü ABAB iki basamaklıdır) olduğundan çarpanların pozitif tam sayı olması gerektiğini belirleyip durumları inceleyelim.
A−BA - B ve A+B−1A + B - 1 çarpanları pozitif olmalıdır. 1414 sayısının pozitif tam sayı çarpan çiftleri (1,14)(1, 14) ve (2,7)(2, 7) şeklindedir.
Rakam olma ve iki basamaklılık koşullarına göre olası değer aralıklarını sınırlandırmak için.
4
Belirlenen çarpan çiftleri için denklem sistemlerini çözelim.
1. durum: A−B=2A - B = 2 ve A+B−1=7  ⟹  A+B=8A + B - 1 = 7 \implies A + B = 8 olur. Taraf tarafa toplanırsa 2A=10  ⟹  A=52A = 10 \implies A = 5 ve B=3B = 3 bulunur (Sayı 5353). 2. durum: A−B=1A - B = 1 ve A+B−1=14  ⟹  A+B=15A + B - 1 = 14 \implies A + B = 15 olur. Taraf tarafa toplanırsa 2A=16  ⟹  A=82A = 16 \implies A = 8 ve B=7B = 7 bulunur (Sayı 8787).
Her bir durumdan elde edilen AA ve BB değerlerinin rakam olma koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol ederek çözümleri bulmak için.
5
Bulunan ABAB sayılarının toplamını hesaplayalım.
53+87=14053 + 87 = 140 elde edilir.
Soruda bizden istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemler ve iki kare farkı yardımıyla denklem çözümü

Alternatif Yöntem

Denklem çözümü yerine rakam çiftleri doğrudan □(AB)−◯(AB)=A2−B2−A+B=14\square(AB) - \bigcirc(AB) = A^2 - B^2 - A + B = 14 denkleminde denenebilir. Örneğin, AA değerine büyük rakamlar verilerek BB değerleri araştırılır. A=8A=8 için 64−B2−8+B=14  ⟹  42=B(B−1)  ⟹  B=764 - B^2 - 8 + B = 14 \implies 42 = B(B-1) \implies B=7 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Özel Tanımlı İşlemler

Bu konudan daha fazla soru