Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKartezyen Çarpım
Pozitif tam sayılardan oluşan AA ve BB kümeleri şu şekilde tanımlanmıştır:
A={x∈Z+:x bir rakam ve 24 sayısı x ile kalansız bo¨lu¨nu¨r}A = \{x \in \mathbb{Z}^+ : x \text{ bir rakam ve } 24 \text{ sayısı } x \text{ ile kalansız bölünür}\}
B={y∈Z+:y<8 ve y bir asal sayıdır}B = \{y \in \mathbb{Z}^+ : y < 8 \text{ ve } y \text{ bir asal sayıdır}\}

Buna göre, (A∖B)×(B∖A)(A \setminus B) \times (B \setminus A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    10
  3. 8Cevap
  4. D
    12
  5. E
    24

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 8'dir.
AA kümesi {1,2,3,4,6,8}\{1, 2, 3, 4, 6, 8\} ve BB kümesi {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} olarak belirlenir. Buradan fark kümeleri A∖B={1,4,6,8}A \setminus B = \{1, 4, 6, 8\} ve B∖A={5,7}B \setminus A = \{5, 7\} olur. Bu kümelerin eleman sayıları sırasıyla s(A∖B)=4s(A \setminus B) = 4 ve s(B∖A)=2s(B \setminus A) = 2 olduğundan, kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 4×2=84 \times 2 = 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını belirlemek için 24'ü kalansız b��len pozitif rakamları buluruz.
A={1,2,3,4,6,8}A = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\} kümesi elde edilir ve bu kümenin eleman sayısı s(A)=6s(A) = 6'dır.
A kümesinin elemanları tanım gereği pozitif rakamlar ve 24'ün bölenleridir.
2
BB kümesinin elemanlarını belirlemek için 8'den küçük pozitif asal sayıları buluruz.
B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\} kümesi elde edilir ve bu kümenin eleman sayısı s(B)=4s(B) = 4'tür.
B kümesinin elemanları tanım gereği 8'den küçük pozitif asal sayılardır.
3
A∖BA \setminus B ve B∖AB \setminus A fark kümelerini ve eleman sayılarını hesaplarız.
A∖B={1,4,6,8}A \setminus B = \{1, 4, 6, 8\} olup s(A∖B)=4s(A \setminus B) = 4 ve B∖A={5,7}B \setminus A = \{5, 7\} olup s(B∖A)=2s(B \setminus A) = 2 bulunur.
Kartezyen çarpımı yapılacak fark kümelerinin eleman sayılarını bulmak için kümelerin ortak elemanları çıkarılır.
4
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını bulmak için elde edilen fark kümelerinin eleman sayılarını çarparız.
s((A∖B)×(B∖A))=s(A∖B)×s(B∖A)=4×2=8s((A \setminus B) \times (B \setminus A)) = s(A \setminus B) \times s(B \setminus A) = 4 \times 2 = 8 olarak hesaplanır.
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımının Eleman Sayısı ve Küme Fark İşlemi
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru