Bir futbol turnuvasında A, B, C ve D takımları tek devreli lig usulüne göre karşılaşmıştır… — ALES

Bir futbol turnuvasında $A$ , $B$ , $C$ ve $D$ takımları tek devreli lig usulüne göre karşılaşmıştır (yani her takım diğer takımlarla birer kez oynamıştır). Bu turnuvada galibiyete $3$ puan, beraberliğe $1$ puan verilirken mağlubiyete puan verilmemektedir.

Turnuva sonunda takımların puanları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Takımların elde ettiği toplam puan $16$ 'dır.
- $A$ takımının puanı $7$ , $B$ takımının puanı $5$ 'tir.
- $C$ takımının puanı ise $3$ 'tür.

Buna göre, $B$ ile $D$ takımları arasında yapılan maç nasıl sonuçlanmıştır?

A
B takımı kazanmıştır.
B
D takımı kazanmıştır.
Maç berabere bitmiştir.Cevap
D
Bu iki takım turnuvada karşılaşmamıştır.
E
Maçın sonucu hakkında kesin bir bilgiye ulaşılamaz.

Cevap

Maç berabere bitmiştir.

B takımı turnuva boyunca toplam 2 beraberlik elde etmiştir. C takımının hiç beraberliği olmadığı belirlendiğinden, B takımı bu 2 beraberliği sadece A ve D takımlarına karşı almış olabilir. Bu durumda B ile D arasındaki maç zorunlu olarak berabere sonuçlanmıştır.

Adım Adım Çözüm

D takımının puanını ve toplam maç sayısını belirleme.

Turnuvada

4

takım olduğundan toplam maç sayısı

\frac{4 \times 3}{2} = 6

'dır. D takımının puanı ise

16 - (7 + 5 + 3) = 1

olarak bulunur.

Turnuvadaki toplam puanı ve diğer takımların puanlarını kullanarak D takımının puanına ulaşmak ve toplam maç sayısını belirlemek gerekir.

Beraberlikle biten maç sayısını bulma.

Her galibiyetli maçta toplam

3

puan (kazanana

3

, kaybedene

0

), her beraberlikte ise toplam

2

puan (her iki takıma

1

'er) dağıtılır. Galibiyetle biten maç sayısı

w

, beraberlikle biten maç sayısı

d

olsun.

w + d = 6

3w + 2d = 16

denklem sisteminden

w = 4

d = 2

bulunur. Yani turnuvada

2

maç berabere bitmiş,

4

maç galibiyetle sonuçlanmıştır.

Beraberlikle biten toplam maç sayısını bulmak, takımların bireysel beraberlik sayılarını analiz etmek için gereklidir.

Takımların galibiyet, beraberlik ve mağlubiyet sayılarını analiz etme.

A takımı

7

puanı yalnızca

2

galibiyet ve

1

beraberlik (

3+3+1

) ile alabilir. B takımı

5

puanı yalnızca

1

galibiyet ve

2

beraberlik (

3+1+1

) ile alabilir. D takımı

1

puanı yalnızca

0

galibiyet,

1

beraberlik ve

2

mağlubiyet (

1+0+0

) ile alabilir. Toplam beraberlik sayısı

2

olduğu için, takımların bireysel beraberlik sayılarının toplamı

2 \times 2 = 4

olmalıdır. A, B ve D'nin beraberlik sayıları toplamı zaten

1 + 2 + 1 = 4

olduğundan, C takımının hiç beraberliği yoktur (

0

beraberlik). C takımı

3

puanı

1

galibiyet ve

2

mağlubiyetle almıştır.

Her takımın elde ettiği puanların hangi maç sonuçlarından (galibiyet, beraberlik, mağlubiyet) kaynaklandığını belirlemek gerekir.

B ile D takımları arasındaki maçı analiz etme.

B takımı turnuvada

2

beraberlik almıştır. C takımının hiç beraberliği olmadığına göre, B takımı bu beraberlikleri ancak kalan diğer iki takım olan A ve D takımları ile yapmış olabilir. Bu durumda B ile D takımları arasındaki maç berabere bitmiştir.

B takımının beraberlik ortaklarını belirleyerek B ile D arasındaki maçın sonucuna kesin olarak ulaşılır.

Anahtar Kavram

Turnuva puanlama ve kombinasyonel mantık analizi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru