Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKartezyen Çarpım
Boş kümeden farklı AA, BB ve CC sonlu kümeleri için,
s(A×B)=18s(A \times B) = 18
s(A×C)=24s(A \times C) = 24
s(B∪C)=7s(B \cup C) = 7
olduğu biliniyor.
Buna göre, (B∖C)×(C∖B)(B \setminus C) \times (C \setminus B) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?
  1. A
    0
  2. B
    6
  3. C
    8
  4. 12Cevap
  5. E
    18

Cevap

Kartezyen çarpımın eleman sayısı 12'dir.
Doğru cevap 12'dir. AA, BB ve CC kümelerinin eleman sayıları analiz edildiğinde s(A)=6s(A) = 6, s(B)=3s(B) = 3 ve s(C)=4s(C) = 4 bulunur. Birleşim kümesinin eleman sayısı 7 olduğundan, BB ve CC kümelerinin kesişimi boştur (s(B∩C)=0s(B \cap C) = 0). Bu durumda s(B∖C)=3s(B \setminus C) = 3 ve s(C∖B)=4s(C \setminus B) = 4 olur. Bu iki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı ise 3×4=123 \times 4 = 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü kullanarak s(A×B)=s(A)⋅s(B)=18s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 18 ve s(A×C)=s(A)⋅s(C)=24s(A \times C) = s(A) \cdot s(C) = 24 eşitliklerini yazmak.
s(A)s(A) sayısı hem 18 hem de 24 sayılarının ortak bir tam sayı böleni olmalıdır.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, çarpılan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
2
s(B∪C)=7s(B \cup C) = 7 bilgisini kullanarak s(A)s(A) için alt sınır belirlemek.
s(B)≤7  ⟹  s(A)≥18/7≈2.57s(B) \leq 7 \implies s(A) \geq 18/7 \approx 2.57 ve s(C)≤7  ⟹  s(A)≥24/7≈3.43s(C) \leq 7 \implies s(A) \geq 24/7 \approx 3.43 olduğundan s(A)≥4s(A) \geq 4 olmalıdır.
Bir kümenin eleman sayısı, o kümenin alt kümesi veya birleşim kümesinin eleman sayısından büyük olamaz.
3
1818 ve 2424 sayılarının 44 veya 44'ten büyük ortak bölenini belirlemek.
Ortak bölenler {1,2,3,6}\{1, 2, 3, 6\} kümesinden 44'ten büyük olan tek sayı 66'dır. Buradan s(A)=6s(A) = 6 bulunur.
s(A)s(A) hem tam sayı olmalı hem de belirlenen alt sınır şartını sağlamalıdır.
4
s(A)=6s(A) = 6 değerini kullanarak BB ve CC kümelerinin eleman sayılarını bulmak.
s(B)=18/6=3s(B) = 18 / 6 = 3 ve s(C)=24/6=4s(C) = 24 / 6 = 4 elde edilir.
Kartezyen çarpım eleman sayıları ile s(A)s(A) bilindiği için diğer kümelerin eleman sayıları doğrudan hesaplanabilir.
5
s(B∪C)=s(B)+s(C)−s(B∩C)s(B \cup C) = s(B) + s(C) - s(B \cap C) formülünü uygulayarak kesişim kümesinin eleman sayısını bulmak.
7=3+4−s(B∩C)  ⟹  s(B∩C)=07 = 3 + 4 - s(B \cap C) \implies s(B \cap C) = 0 bulunur.
Kümelerin birleşim formülü kullanılarak ortak eleman sayısı tespit edilir.
6
B∖CB \setminus C ve C∖BC \setminus B kümelerinin eleman sayılarını hesaplamak.
Kümeler ayrık olduğundan (s(B∩C)=0s(B \cap C) = 0) s(B∖C)=s(B)=3s(B \setminus C) = s(B) = 3 ve s(C∖B)=s(C)=4s(C \setminus B) = s(C) = 4 olur.
İki küme ayrık olduğunda, bir kümenin diğerinden farkı kendisidir.
7
(B∖C)×(C∖B)(B \setminus C) \times (C \setminus B) kartezyen çarpımının eleman sayısını hesaplamak.
s((B∖C)×(C∖B))=s(B∖C)⋅s(C∖B)=3⋅4=12s((B \setminus C) \times (C \setminus B)) = s(B \setminus C) \cdot s(C \setminus B) = 3 \cdot 4 = 12 bulunur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı tanımı gereği iki kümenin eleman sayılarının çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım ve Küme İşlemleri İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru