Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÇokgenler ve Genel Özellikleri

Bir konveks (dışbükey) çokgenin iç açılarının ölçüleri bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu çokgenin en küç��k iç açısının ölçüsü 120∘120^\circ ve ardışık açılar arasındaki ortak fark 5∘5^\circ olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

  1. 9Cevap
  2. B
    16
  3. C
    15
  4. D
    25
  5. E
    8

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 9'dur.
Doğru cevap olan değer, çokgenin iç açılarının toplamı formülü ile aritmetik dizi toplamı eşitlendiğinde elde edilen n2−25n+144=0n^2 - 25n + 144 = 0 denkleminin çözülmesiyle bulunur. Bu denklemin kökleri 9 ve 16'dır. Ancak kenar sayısı 16 alındığında, çokgenin en büyük iç açısı 195∘195^\circ olmaktadır. Konveks bir çokgende hiçbir iç açı 180∘180^\circ veya daha büyük olamayacağından bu kök elenir. Kenar sayısı 9 olduğunda ise en büyük iç açı 160∘160^\circ olup konvekslik kuralına tamamen uymaktadır. Bu nedenle doğru cevap 9 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Çokgenin iç açılar toplamı formülü ile aritmetik dizi toplam formülünü belirlemek.
Kenar sayısı nn olan bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı Sn=(n−2)⋅180∘S_n = (n-2) \cdot 180^\circ formülüyle hesaplanır. Diğer taraftan, ilk terimi a1=120∘a_1 = 120^\circ ve ortak farkı d=5∘d = 5^\circ olan bir aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=n2[2a1+(n−1)d]=n2[2⋅120+(n−1)⋅5]=n2[235+5n]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2} [2 \cdot 120 + (n-1) \cdot 5] = \frac{n}{2} [235 + 5n] şeklindedir.
Çokgenin kenar sayısı olan nn değerini bulmak için bu iki farklı yolla ifade edilen iç açılar toplamını birbirine eşitlemek gerekir.
2
Elde edilen ifadeleri birbirine eşitleyerek nn değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemi kurmak ve sadeleştirmek.
(n−2)⋅180=n2(235+5n)  ⟹  360(n−2)=n(235+5n)  ⟹  360n−720=5n2+235n  ⟹  5n2−125n+720=0(n-2) \cdot 180 = \frac{n}{2} (235 + 5n) \implies 360(n-2) = n(235 + 5n) \implies 360n - 720 = 5n^2 + 235n \implies 5n^2 - 125n + 720 = 0 elde edilir. Denklemin her iki tarafı 5 ile bölündüğünde n2−25n+144=0n^2 - 25n + 144 = 0 sadeleşmiş denklemi bulunur.
Kenar sayısı adaylarını bulmak amacıyla denklemi çarpanlarına ayrılabilir hale getirmek.
3
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak olası nn değerlerini (kökleri) bulmak.
n2−25n+144=0  ⟹  (n−9)(n−16)=0n^2 - 25n + 144 = 0 \implies (n-9)(n-16) = 0 olur. Buradan denklemi sağlayan kökler n=9n = 9 veya n=16n = 16 olarak bulunur.
Çokgenin kenar sayısı olabilecek matematiksel kökleri tespit etmek.
4
Bulunan nn değerlerinin konveks çokgen tanımına uygunluğunu (tüm iç açıların 180∘180^\circ'den küçük olması şartını) denetlemek.
Çokgenin en büyük iç açısı son terim olan an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ifadesiyle bulunur. n=16n = 16 için en büyük iç açı a16=120+(16−1)⋅5=120+75=195∘a_{16} = 120 + (16-1) \cdot 5 = 120 + 75 = 195^\circ olur. 195∘>180∘195^\circ > 180^\circ olduğundan bu durum çokgenin konveks (dışbükey) olması kuralını bozar. Dolayısıyla bu değer elenir. n=9n = 9 için en büyük iç açı a9=120+(9−1)⋅5=120+40=160∘a_9 = 120 + (9-1) \cdot 5 = 120 + 40 = 160^\circ olur. 160∘<180∘160^\circ < 180^\circ şartı sağlandığından çokgen konvekstir.
Geometrik olarak geçerli ve konvekslik kuralını ihlal etmeyen tek kenar sayısını belirlemek.

Anahtar Kavram

Çokgenlerin iç açılarının toplamı ve konvekslik özellikleri.

İpuçları

1
Çokgenin iç açılarının toplamı formülü olan (n−2)⋅180∘(n-2) \cdot 180^\circ ifadesini, ilk terimi 120∘120^\circ ve ortak farkı 5∘5^\circ olan aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamına eşitleyin.
2
Elde edeceğiniz ikinci dereceden denklemin iki farklı pozitif tamsayı kökü olacaktır. Bu kökleri bulduktan sonra doğrudan işaretlemek yerine konvekslik şartını kontrol edin.
3
Konveks bir çokgende tüm iç açılar 180∘180^\circ'den küçük olmalıdır. Bulduğunuz kökler için en büyük iç açıyı (an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d) hesaplayarak 180∘180^\circ'den küçük olup olmadığını test edin.

Daha Fazla Pratik

İç açılarının ölçüleri ardışık tamsayılar olan veya benzer aritmetik dizisel artışlar gösteren konveks çokgen sorularında sınır şartlarının (açıların 180∘180^\circ'den küçük, dış açıların 0∘0^\circ'den büyük olması) nasıl uygulandığını pekiştiren diğer problemleri inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Çözümü kolaylaştırmak için dış açılardan yararlanabilirsiniz. Konveks bir çokgenin dış açılarının toplamı her zaman 360∘360^\circ'dir. En küçük iç açı 120∘120^\circ ise buna karşılık gelen en büyük dış açı 180∘−120∘=60∘180^\circ - 120^\circ = 60^\circ olur. İç açılar 5∘5^\circ artarak gittiği için dış açılar 5∘5^\circ azalarak gidecektir. Bu durumda dış açılar; ilk terimi 60∘60^\circ, ortak farkı −5∘-5^\circ olan bir aritmetik dizi oluşturur. Bu dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=n2[2⋅60+(n−1)(−5)]=360∘S_n = \frac{n}{2} [2 \cdot 60 + (n-1)(-5)] = 360^\circ eşitliğinden n2−25n+144=0n^2 - 25n + 144 = 0 denklemi ve buradan n=9n = 9 veya n=16n = 16 bulunur. Çokgenin dış açılarının pozitif olması gerektiğinden, n=16n = 16 için en son dış açının 60+15⋅(−5)=−15∘60 + 15 \cdot (-5) = -15^\circ (negatif) çıkması bu durumun geometrik açıdan imkansız olduğunu ve doğru cevabın doğrudan 9 olması gerektiğini hızlıca gösterir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Çokgenler ve Genel Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru