Examkin

Çokgenler ve Genel Özellikleri

4 soru

Soru 1Soru →

İç açılarının ölçüleri toplamı 1080∘1080^\circ olan konveks bir çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Kenar sayısı 8 olan seçenek
Dışbükey bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ formülü ile hesaplanır. Soruda bu toplamın 1080∘1080^\circ olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla (n−2)×180=1080(n-2) \times 180 = 1080 denklemi kurulur. Her iki taraf 180'e bölündüğünde n−2=6n-2 = 6 eşitliği, buradan da n=8n = 8 elde edilir. Bu nedenle kenar sayısı 8 olan seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Çokgenlerin iç açılarının ölçüleri toplamı formülünü yazın.
İç açılar toplamı = (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ (Burada nn çokgenin kenar sayısıdır.)
Çokgenin kenar sayısı ile iç aç��larının toplamı arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
Soruda verilen iç açılar toplamı değerini formülde yerine yazarak denklemi kurun.
(n−2)×180=1080(n-2) \times 180 = 1080
Kenar sayısını bulmaya yönelik cebirsel ifadeyi oluşturmak için.
3
Elde edilen denklemi çözerek çokgenin kenar sayısını bulun.
n−2=1080180⇒n−2=6⇒n=8n-2 = \frac{1080}{180} \Rightarrow n-2 = 6 \Rightarrow n = 8
Bilinmeyen kenar sayısı değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kenar sayısı nn olan dışbükey (konveks) bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ formülü ile hesaplanır.
Tahmini Süre:45s
Soru 2Soru →

Bir dışbükey (konveks) çokgenin üç iç açısının ölçüleri 150∘150^\circ, 155∘155^\circ ve 160∘160^\circ dir. Bu çokgenin diğer tüm iç açılar��nın ölçüleri birbirine eşit ve 165∘165^\circ olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 22'dir.
Doğru olan 22 değeri, dış açılar toplamının 360∘360^\circ olmasından yararlanılarak bulunur. 3 köşenin dış açıları toplamı 75∘75^\circ olup, kalan n−3n-3 köşenin her birinin dış açısı 15∘15^\circ olduğundan (n−3)×15=285(n-3) \times 15 = 285 eşitliğinden n−3=19n-3 = 19 ve n=22n = 22 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çokgenin dış açılarının toplamının her zaman 360∘360^\circ olduğu bilgisini kullanmak üzere, verilen iç açıların dış açılarını hesaplayalım.
Verilen iç açılar 150∘150^\circ, 155∘155^\circ ve 160∘160^\circ olduğuna göre bunlara ait dış açılar sırasıyla 180∘−150∘=30∘180^\circ - 150^\circ = 30^\circ, 180∘−155∘=25∘180^\circ - 155^\circ = 25^\circ ve 180∘−160∘=20∘180^\circ - 160^\circ = 20^\circ olur. Diğer eşit iç açılar 165∘165^\circ olduğuna göre, bunlara ait dış açılar 180∘−165∘=15∘180^\circ - 165^\circ = 15^\circ olur.
Çokgenlerin kenar sayısını bulmak için dış açılar toplamı formülünü kullanmak, iç açılar toplamı formülüne göre işlemleri oldukça kolaylaştırır.
2
Çokgenin kenar sayısına nn diyelim. Toplam nn tane köşe ve dolayısıyla nn tane dış açı vardır. 3 tanesini bildiğimize göre, kalan n−3n-3 tane dış açının her biri 15∘15^\circ olacaktır. Tüm dış açılar toplamını 360∘360^\circ'ye eşitleyelim.
30∘+25∘+20∘+(n−3)×15∘=360∘30^\circ + 25^\circ + 20^\circ + (n-3) \times 15^\circ = 360^\circ denklemini elde ederiz. Buradan 75∘+(n−3)×15∘=360∘75^\circ + (n-3) \times 15^\circ = 360^\circ olur.
Bir dışbükey çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı her zaman 360∘360^\circ'dir.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözerek nn değerini bulalım.
(n−3)×15=285  ⟹  n−3=19  ⟹  n=22(n-3) \times 15 = 285 \implies n-3 = 19 \implies n = 22 olarak bulunur.
Çokgenin kenar sayısını temsil eden nn değişkenini yalnız bırakarak sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerin dış açılarının ölçüleri toplamı her zaman 360∘360^\circ olup, bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı 180∘180^\circ'dir.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, çokgenin iç açılar toplamı formülü (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ kullanılarak denklem kurulabilir: (n−2)×180=150+155+160+(n−3)×165(n-2) \times 180 = 150 + 155 + 160 + (n-3) \times 165. Bu denklemi düzenlersek 180n−360=165n−30  ⟹  15n=330  ⟹  n=22180n - 360 = 165n - 30 \implies 15n = 330 \implies n = 22 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →

Bir konveks (dışbükey) çokgenin iç açılarının ölçüleri bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu çokgenin en küç��k iç açısının ölçüsü 120∘120^\circ ve ardışık açılar arasındaki ortak fark 5∘5^\circ olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 9'dur.
Doğru cevap olan değer, çokgenin iç açılarının toplamı formülü ile aritmetik dizi toplamı eşitlendiğinde elde edilen n2−25n+144=0n^2 - 25n + 144 = 0 denkleminin çözülmesiyle bulunur. Bu denklemin kökleri 9 ve 16'dır. Ancak kenar sayısı 16 alındığında, çokgenin en büyük iç açısı 195∘195^\circ olmaktadır. Konveks bir çokgende hiçbir iç açı 180∘180^\circ veya daha büyük olamayacağından bu kök elenir. Kenar sayısı 9 olduğunda ise en büyük iç açı 160∘160^\circ olup konvekslik kuralına tamamen uymaktadır. Bu nedenle doğru cevap 9 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Çokgenin iç açılar toplamı formülü ile aritmetik dizi toplam formülünü belirlemek.
Kenar sayısı nn olan bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı Sn=(n−2)⋅180∘S_n = (n-2) \cdot 180^\circ formülüyle hesaplanır. Diğer taraftan, ilk terimi a1=120∘a_1 = 120^\circ ve ortak farkı d=5∘d = 5^\circ olan bir aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=n2[2a1+(n−1)d]=n2[2⋅120+(n−1)⋅5]=n2[235+5n]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2} [2 \cdot 120 + (n-1) \cdot 5] = \frac{n}{2} [235 + 5n] şeklindedir.
Çokgenin kenar sayısı olan nn değerini bulmak için bu iki farklı yolla ifade edilen iç açılar toplamını birbirine eşitlemek gerekir.
2
Elde edilen ifadeleri birbirine eşitleyerek nn değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemi kurmak ve sadeleştirmek.
(n−2)⋅180=n2(235+5n)  ⟹  360(n−2)=n(235+5n)  ⟹  360n−720=5n2+235n  ⟹  5n2−125n+720=0(n-2) \cdot 180 = \frac{n}{2} (235 + 5n) \implies 360(n-2) = n(235 + 5n) \implies 360n - 720 = 5n^2 + 235n \implies 5n^2 - 125n + 720 = 0 elde edilir. Denklemin her iki tarafı 5 ile bölündüğünde n2−25n+144=0n^2 - 25n + 144 = 0 sadeleşmiş denklemi bulunur.
Kenar sayısı adaylarını bulmak amacıyla denklemi çarpanlarına ayrılabilir hale getirmek.
3
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak olası nn değerlerini (kökleri) bulmak.
n2−25n+144=0  ⟹  (n−9)(n−16)=0n^2 - 25n + 144 = 0 \implies (n-9)(n-16) = 0 olur. Buradan denklemi sağlayan kökler n=9n = 9 veya n=16n = 16 olarak bulunur.
Çokgenin kenar sayısı olabilecek matematiksel kökleri tespit etmek.
4
Bulunan nn değerlerinin konveks çokgen tanımına uygunluğunu (tüm iç açıların 180∘180^\circ'den küçük olması şartını) denetlemek.
Çokgenin en büyük iç açısı son terim olan an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ifadesiyle bulunur. n=16n = 16 için en büyük iç açı a16=120+(16−1)⋅5=120+75=195∘a_{16} = 120 + (16-1) \cdot 5 = 120 + 75 = 195^\circ olur. 195∘>180∘195^\circ > 180^\circ olduğundan bu durum çokgenin konveks (dışbükey) olması kuralını bozar. Dolayısıyla bu değer elenir. n=9n = 9 için en büyük iç açı a9=120+(9−1)⋅5=120+40=160∘a_9 = 120 + (9-1) \cdot 5 = 120 + 40 = 160^\circ olur. 160∘<180∘160^\circ < 180^\circ şartı sağlandığından çokgen konvekstir.
Geometrik olarak geçerli ve konvekslik kuralını ihlal etmeyen tek kenar sayısını belirlemek.

Anahtar Kavram

Çokgenlerin iç açılarının toplamı ve konvekslik özellikleri.

İpuçları

1
Çokgenin iç açılarının toplamı formülü olan (n−2)⋅180∘(n-2) \cdot 180^\circ ifadesini, ilk terimi 120∘120^\circ ve ortak farkı 5∘5^\circ olan aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamına eşitleyin.
2
Elde edeceğiniz ikinci dereceden denklemin iki farklı pozitif tamsayı kökü olacaktır. Bu kökleri bulduktan sonra doğrudan işaretlemek yerine konvekslik şartını kontrol edin.
3
Konveks bir çokgende tüm iç açılar 180∘180^\circ'den küçük olmalıdır. Bulduğunuz kökler için en büyük iç açıyı (an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d) hesaplayarak 180∘180^\circ'den küçük olup olmadığını test edin.

Daha Fazla Pratik

İç açılarının ölçüleri ardışık tamsayılar olan veya benzer aritmetik dizisel artışlar gösteren konveks çokgen sorularında sınır şartlarının (açıların 180∘180^\circ'den küçük, dış açıların 0∘0^\circ'den büyük olması) nasıl uygulandığını pekiştiren diğer problemleri inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Çözümü kolaylaştırmak için dış açılardan yararlanabilirsiniz. Konveks bir çokgenin dış açılarının toplamı her zaman 360∘360^\circ'dir. En küçük iç açı 120∘120^\circ ise buna karşılık gelen en büyük dış açı 180∘−120∘=60∘180^\circ - 120^\circ = 60^\circ olur. İç açılar 5∘5^\circ artarak gittiği için dış açılar 5∘5^\circ azalarak gidecektir. Bu durumda dış açılar; ilk terimi 60∘60^\circ, ortak farkı −5∘-5^\circ olan bir aritmetik dizi oluşturur. Bu dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=n2[2⋅60+(n−1)(−5)]=360∘S_n = \frac{n}{2} [2 \cdot 60 + (n-1)(-5)] = 360^\circ eşitliğinden n2−25n+144=0n^2 - 25n + 144 = 0 denklemi ve buradan n=9n = 9 veya n=16n = 16 bulunur. Çokgenin dış açılarının pozitif olması gerektiğinden, n=16n = 16 için en son dış açının 60+15⋅(−5)=−15∘60 + 15 \cdot (-5) = -15^\circ (negatif) çıkması bu durumun geometrik açıdan imkansız olduğunu ve doğru cevabın doğrudan 9 olması gerektiğini hızlıca gösterir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 4Soru →

Bir düzgün dokuzgenin bir köşesinden çizilebilecek tüm köşegenler çizilerek bu dokuzgen 77 adet üçgensel bölgeye ayrılıyor. Buna göre, elde edilen bu üçgenlerden kaç tanesi ikizkenar üçgendir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Elde edilen üçgenlerden 33 tanesi ikizkenar üçgendir.
Çevrel çemberde köşe adımları eşit olan veya iç açıları eşit çıkan üçgenler ikizkenardır. Analiz edildiğinde A1A2A3A_1A_2A_3 (açıları 20∘,20∘,140∘20^\circ, 20^\circ, 140^\circ), A1A5A6A_1A_5A_6 (açıları 80∘,20∘,80∘80^\circ, 20^\circ, 80^\circ) ve A1A8A9A_1A_8A_9 (açıları 140∘,20∘,20∘140^\circ, 20^\circ, 20^\circ) üçgenlerinin her birinde ikişer açı eşit olduğundan bu üçgenler ikizkenardır. Dolayısıyla toplamda 33 tane ikizkenar üçgen vardır.

Adım Adım Çözüm

1
Düzgün dokuzgenin bir köşesinden (örneğin A1A_1 köşesinden) çizilebilecek tüm köşegenleri belirlemek ve oluşan üçgenleri listelemek.
A1A_1 köşesinden diğer köşelere çizilen köşegenler yardımıyla dokuzgen 77 adet üçgene ayrılır. Bu üçgenler sırasıyla: A1A2A3A_1A_2A_3, A1A3A4A_1A_3A_4, A1A4A5A_1A_4A_5, A1A5A6A_1A_5A_6, A1A6A7A_1A_6A_7, A1A7A8A_1A_7A_8 ve A1A8A9A_1A_8A_9 şeklindedir.
Çokgenin köşegenlerinin oluşturduğu üçgensel bölgeleri sistematik olarak sınıflandırmak amacıyla bu adım uygulanır.
2
Düzgün dokuzgenin çevrel çemberi üzerindeki yay özelliklerini kullanarak üçgenlerin iç açılarını hesaplamak.
Düzgün dokuzgenin her bir kenarı çevrel çemberde 360∘9=40∘\frac{360^\circ}{9} = 40^\circ lik yayları görür. Çevre açı kuralına göre, bu yayları gören çevre açıların ölçüleri yay ölçüsünün yarısıdır (20∘20^\circ). Üçgenlerin kenarlarının çevrelediği yay sayılarına (adım sayılarına) göre iç açılar belirlenir.
Her bir üçgenin iç açılarını bularak ikizkenar olup olmadıklarını kontrol etmek amacıyla bu adım uygulanır.
3
Her bir üçgenin köşe noktaları arasındaki kenar adım sayılarını ve iç açılarını analiz etmek.
Her bir üçgenin köşe adımları toplamı 99 dur:
- T1(A1A2A3)T_1 (A_1A_2A_3) için adımlar 1,1,7  ⟹  1, 1, 7 \implies Açılar: 20∘,20∘,140∘20^\circ, 20^\circ, 140^\circ (İkizkenar).
- T2(A1A3A4)T_2 (A_1A_3A_4) için adımlar 2,1,6  ⟹  2, 1, 6 \implies Açılar: 40∘,20∘,120∘40^\circ, 20^\circ, 120^\circ (Çeşitkenar).
- T3(A1A4A5)T_3 (A_1A_4A_5) için adımlar 3,1,5  ⟹  3, 1, 5 \implies Açılar: 60∘,20∘,100∘60^\circ, 20^\circ, 100^\circ (Çeşitkenar).
- T4(A1A5A6)T_4 (A_1A_5A_6) için adımlar 4,1,4  ⟹  4, 1, 4 \implies Açılar: 80∘,20∘,80∘80^\circ, 20^\circ, 80^\circ (İkizkenar).
- T5(A1A6A7)T_5 (A_1A_6A_7) için adımlar 5,1,3  ⟹  5, 1, 3 \implies Açılar: 100∘,20∘,60∘100^\circ, 20^\circ, 60^\circ (Çeşitkenar).
- T6(A1A7A8)T_6 (A_1A_7A_8) için adımlar 6,1,2  ⟹  6, 1, 2 \implies Açılar: 120∘,20∘,40∘120^\circ, 20^\circ, 40^\circ (Çeşitkenar).
- T7(A1A8A9)T_7 (A_1A_8A_9) için adımlar 7,1,1  ⟹  7, 1, 1 \implies Açılar: 140∘,20∘,20∘140^\circ, 20^\circ, 20^\circ (İkizkenar).
Bir üçgenin ikizkenar olması için en az iki iç açısının (veya kenar adım sayısının) eşit olması gerektiğini doğrulamak amacıyla bu adım uygulanır.
4
İkizkenar olduğu tespit edilen üçgenleri saymak.
T1T_1, T4T_4 ve T7T_7 olmak üzere toplam 33 adet ikizkenar üçgen elde edilir.
Soruda istenen toplam ikizkenar üçgen sayısını bulmak amacıyla bu adım uygulanır.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerin açı ve köşegen özellikleri
Çokgenler ve Genel Özellikleri Alıştırma Soruları — ALES | Examkin