Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇokgenler ve Genel Özellikleri

Bir dışbükey (konveks) çokgenin üç iç açısının ölçüleri 150∘150^\circ, 155∘155^\circ ve 160∘160^\circ dir. Bu çokgenin diğer tüm iç açılar��nın ölçüleri birbirine eşit ve 165∘165^\circ olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    20
  3. 22Cevap
  4. D
    21
  5. E
    24

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 22'dir.
Doğru olan 22 değeri, dış açılar toplamının 360∘360^\circ olmasından yararlanılarak bulunur. 3 köşenin dış açıları toplamı 75∘75^\circ olup, kalan n−3n-3 köşenin her birinin dış açısı 15∘15^\circ olduğundan (n−3)×15=285(n-3) \times 15 = 285 eşitliğinden n−3=19n-3 = 19 ve n=22n = 22 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çokgenin dış açılarının toplamının her zaman 360∘360^\circ olduğu bilgisini kullanmak üzere, verilen iç açıların dış açılarını hesaplayalım.
Verilen iç açılar 150∘150^\circ, 155∘155^\circ ve 160∘160^\circ olduğuna göre bunlara ait dış açılar sırasıyla 180∘−150∘=30∘180^\circ - 150^\circ = 30^\circ, 180∘−155∘=25∘180^\circ - 155^\circ = 25^\circ ve 180∘−160∘=20∘180^\circ - 160^\circ = 20^\circ olur. Diğer eşit iç açılar 165∘165^\circ olduğuna göre, bunlara ait dış açılar 180∘−165∘=15∘180^\circ - 165^\circ = 15^\circ olur.
Çokgenlerin kenar sayısını bulmak için dış açılar toplamı formülünü kullanmak, iç açılar toplamı formülüne göre işlemleri oldukça kolaylaştırır.
2
Çokgenin kenar sayısına nn diyelim. Toplam nn tane köşe ve dolayısıyla nn tane dış açı vardır. 3 tanesini bildiğimize göre, kalan n−3n-3 tane dış açının her biri 15∘15^\circ olacaktır. Tüm dış açılar toplamını 360∘360^\circ'ye eşitleyelim.
30∘+25∘+20∘+(n−3)×15∘=360∘30^\circ + 25^\circ + 20^\circ + (n-3) \times 15^\circ = 360^\circ denklemini elde ederiz. Buradan 75∘+(n−3)×15∘=360∘75^\circ + (n-3) \times 15^\circ = 360^\circ olur.
Bir dışbükey çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı her zaman 360∘360^\circ'dir.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözerek nn değerini bulalım.
(n−3)×15=285  ⟹  n−3=19  ⟹  n=22(n-3) \times 15 = 285 \implies n-3 = 19 \implies n = 22 olarak bulunur.
Çokgenin kenar sayısını temsil eden nn değişkenini yalnız bırakarak sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerin dış açılarının ölçüleri toplamı her zaman 360∘360^\circ olup, bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı 180∘180^\circ'dir.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, çokgenin iç açılar toplamı formülü (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ kullanılarak denklem kurulabilir: (n−2)×180=150+155+160+(n−3)×165(n-2) \times 180 = 150 + 155 + 160 + (n-3) \times 165. Bu denklemi düzenlersek 180n−360=165n−30  ⟹  15n=330  ⟹  n=22180n - 360 = 165n - 30 \implies 15n = 330 \implies n = 22 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çokgenler ve Genel Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru