Examkin

Soru

Zorluk: ZorAsal Sayılar
xx, yy ve zz asal sayılardır.
x⋅y−z=31x \cdot y - z = 31
x+y+z=16x + y + z = 16
olduğuna göre, x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z çarpımının değeri kaçtır?
  1. A
    30
  2. 66Cevap
  3. C
    78
  4. D
    90
  5. E
    105

Cevap

66
Verilen toplamın çift sayı olması, asal sayılardan birinin kesinlikle çift asal sayı olan 2 olmasını gerektirir. z = 2 kabul edildiğinde x * y = 33 elde edilir ve buradan {3, 11} asal sayılarına ulaşılır. Bu sayılar toplam koşulunu da sağladığından çarpımları 2 * 3 * 11 = 66 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam denkleminden hareketle tek-çift analizi yapmak
Değişkenlerden en az biri 2 olmalıdır.
x + y + z = 16 toplamı çift bir sayıdır. 2 hariç tüm asal sayılar tek sayı olduğundan, üç tek sayının toplamı tek sayı olmalıdır. Toplamın çift olması için asal sayılardan en az birinin ��ift (yani 2) olması gerekir.
2
z = 2 durumunu incelemek
x * y = 33 elde edilir. Buradan x = 3 ve y = 11 (veya tersi) bulunur. Toplamları 3 + 11 + 2 = 16 koşulunu sağlar.
z = 2 ise ilk denklem x * y - 2 = 31 => x * y = 33 olur. 33 sayısının asal çarpanları sadece 3 ve 11'dir.
3
x = 2 durumunu incelemek
2y - z = 31 ve y + z = 14 denklem sistemi elde edilir. Buradan y = 15 bulunur ki bu bir asal sayı değildir.
x = 2 ise ikinci denklemden z = 14 - y olur. İlk denklemde yerine yazıldığında 2y - (14 - y) = 31 => 3y = 45 => y = 15 olur. 15 asal sayı olmadığından bu durumdan çözüm gelmez. y = 2 durumu da simetriktir.
4
Bulunan geçerli köklerin çarpımını hesaplamak
x * y * z = 2 * 3 * 11 = 66 bulunur.
Geçerli tek çözüm kümesi {2, 3, 11} asal sayılarıdır.

Anahtar Kavram

Asal sayıların tek-çiftlik özellikleri ve en küçük çift asal sayı olan 2'nin kullanımı
Bu soruyu puanla

Konular

Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru