Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorAsal Sayılar
Birbirinden farklı xx, yy ve zz asal sayıları için
xy+yx=zx^y + y^x = z
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    20
  3. 22Cevap
  4. D
    28
  5. E
    64

Cevap

22
Doğru cevap 22'dir. Teklik-çiftlik analizi yapıldığında, xy+yxx^y + y^x toplamının asal bir sayı (zz) belirtebilmesi için xx ve yy değişkenlerinden birinin çift asal sayı olan 2 olması gerekir. Genelliği bozmadan x=2x=2 alındığında, y=3y=3 için z=23+32=17z = 2^3 + 3^2 = 17 asal sayısı elde edilir. y>3y > 3 için yapılan mod 3 analizinde ise 2y+y22^y + y^2 ifadesinin her zaman 3'ün katı olduğu ve dolayısıyla asal olamayacağı görülür. Bu nedenle tek çözüm {2, 3, 17} olup toplamları 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Teke-çiftlik analizi yaparak değişkenlerin alabileceği değerleri sınırland��rın.
xx ve yy sayılarından birinin 2 olduğu belirlenir.
Eğer xx ve yy sayılarının ikisi de tek asal sayı olsaydı, tek sayıların tüm kuvvetleri tek olacağından xyx^y ve yxy^x tek sayı olurdu. Bu iki tek sayının toplamı olan zz çift sayı olmak zorunda kalırdı. 2'den büyük çift asal sayı olmadığından ve x,yx, y farklı asal sayılar olduğu için z>2z > 2 olmalıdır. Dolayısıyla xx ve yy sayılarından biri kesinlikle 2 olmalıdır.
2
Genelliği bozmadan x=2x = 2 kabul ederek en küçük tek asal sayı olan y=3y = 3 için denklemi sınayın.
z=23+32=17z = 2^3 + 3^2 = 17 elde edilir.
17 bir asal sayı olduğundan bu durum tüm koşulları sağlar. Bu durumda asal sayılar kümesi {2, 3, 17} olur.
3
Diğer tek asal sayılar (y>3y > 3) için çözüm olup olmadığını 3 modunda analiz edin.
y>3y > 3 olan tüm asal sayılar için z=2y+y2z = 2^y + y^2 ifadesinin 3 ile tam bölündüğü ve asal olamayacağı kanıtlanır.
3'ten büyük her yy asal sayısı için y≡1y \equiv 1 veya y≡2(mod3)y \equiv 2 \pmod 3 olup, y2≡1(mod3)y^2 \equiv 1 \pmod 3 olur. Ayrıca yy tek sayı olduğundan y=2k+1y = 2k+1 biçimindedir. Buradan 2y=22k+1=2⋅4k≡2⋅1k≡2(mod3)2^y = 2^{2k+1} = 2 \cdot 4^k \equiv 2 \cdot 1^k \equiv 2 \pmod 3 elde edilir. Bu iki ifadenin toplamı olan z=2y+y2≡2+1≡3≡0(mod3)z = 2^y + y^2 \equiv 2 + 1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod 3 olur. z>3z > 3 olduğundan zz asal sayı olamaz.
4
Elde edilen tek çözüm kümesindeki sayıları toplayın.
x+y+z=2+3+17=22x+y+z = 2+3+17 = 22 bulunur.
Soruda bizden istenen toplam değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Asal Sayılar
Bu soruyu puanla

Konular

Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru