n > 1 bir tam sayı olmak üzere, \frac{(n-2)! \cdot (n^2 - 1)}{(n+2)!} = \frac{1}{24} olduğ… — ALES

n > 1

bir tam sayı olmak üzere,

\frac{(n-2)! \cdot (n^2 - 1)}{(n+2)!} = \frac{1}{24}

olduğuna göre,

n

kaçtır?

Verilen ifadenin sadeleştirilmesiyle elde edilen n(n+2) = 24 eşitliğinden n = 4 bulunur.

Verilen denklemde payda yer alan

n^2-1

ifadesi iki kare farkı özdeşliğiyle

(n-1)(n+1)

şeklinde yazılır. Paydadaki

(n+2)!

ifadesi ise

(n-2)!

terimine kadar geriye doğru açıldığında

(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!

elde edilir. Bu açılımlar rasyonel ifadede yerine yazılıp pay ve paydadaki ortak olan

(n-2)!

(n-1)

(n+1)

çarpanları sadeleştirilirse denklem

\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{24}

haline gelir. Buradan

n(n+2) = 24

eşitliği elde edilir. Çarpımları 24 olan ve aralarında 2 fark bulunan pozitif tam sayılardan küçük olanı 4'tür. Bu nedenle

n = 4

değeri doğru cevaptır.

Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyelli terim olan (n-2)! cinsinden açın ve iki kare farkı özdeşliğini uygulayın.

n^2 - 1 = (n-1)(n+1)

(n+2)! = (n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!

Ortak çarpanları bularak sadeleştirme işlemini gerçekleştirmek.

Açılımları denklemde yerine yazarak ortak terimleri sadeleştirin.

\frac{(n-2)! \cdot (n-1)(n+1)}{(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!} = \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{24}

Pay ve paydadaki

(n-2)!

(n-1)

(n+1)

terimleri birbirini sadele��tirerek ifadeyi en basit haline getirir.

Sadeleşen eşitlikten içler dışlar çarpımı yaparak ikinci dereceden bir denklem elde edin.

n(n+2) = 24 \implies n^2 + 2n - 24 = 0

Bilinmeyen n değerini bulmak amacıyla denklem kurmak.

Denklemi çarpanlarına ayırarak pozitif tam sayı olan kökü belirleyin.

(n+6)(n-4) = 0 \implies n = 4

(

n = -6

değeri

n > 1

şartını sağlamaz)

n sayısının 1'den büyük bir tam sayı olması şartına uygun olan kökü seçmek.

Faktöriyel içeren rasyonel ifadelerde sadeleştirme ve çarpanlara ayırma yöntemleri

Cebirsel çözüm yerine seçeneklerdeki değerler denklemde n yerine yazılarak kontrol edilebilir. n = 4 için:

\frac{2! \cdot (4^2 - 1)}{6!} = \frac{2 \cdot 15}{720} = \frac{30}{720} = \frac{1}{24}

elde edilir ve eşitliğin sağlandığı doğrudan görülür.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru