Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖzel Tanımlı İşlemler

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde ⟨n⟩\langle n \rangle ve [n][n] sembolleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

* ⟨n⟩\langle n \rangle: nn sayısının farklı asal bölenlerinin toplamı
* [n][n]: nn sayısının pozitif bölenlerinin sayısı

Buna göre,
⟨x⟩+[x]=8\langle x \rangle + [x] = 8
eşitliğini sağlayan iki basamaklı en küçük xx doğal sayısı kaçtır?
  1. A
    15
  2. B
    16
  3. 25Cevap
  4. D
    32
  5. E
    20

Cevap

25 sayısıdır
Doğru cevap olan 25 sayısı için işlemler uygulandığında; 25'in tek asal böleni 5 olduğundan ⟨25⟩=5\langle 25 \rangle = 5 olur. 25 sayısının pozitif bölenleri {1,5,25}\{1, 5, 25\} olmak üzere 3 adettir, yani [25]=3[25] = 3 olur. Bu iki değerin toplamı 5+3=85 + 3 = 8 eşitliğini sağlar. 25'ten küçük iki basamaklı hiçbir doğal sayı bu koşulu sağlamamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımlanan işlemlerin kurallarını belirlemek.
⟨x⟩\langle x \rangle işlemi xx sayısının asal bölenlerinin toplamını, [x][x] işlemi ise xx sayısının pozitif bölen sayısını vermektedir.
Soruda verilen özel işlemlerin matematiksel karşılıklarını netleştirmek için.
2
Koşulu sağlayan olası iki basamaklı sayı yapılarını analiz etmek.
Eğer xx bir asal sayı olsaydı, ⟨x⟩=x\langle x \rangle = x ve [x]=2[x] = 2 olurdu. Bu durumda x+2=8  ⟹  x=6x + 2 = 8 \implies x = 6 olurdu fakat 6 asal sayı değildir. Eğer xx tek bir asal sayının kuvveti (x=pkx = p^k, k≥2k \ge 2) ise, ⟨x⟩=p\langle x \rangle = p ve [x]=k+1[x] = k + 1 olur. Eşitlikten p+k+1=8  ⟹  p+k=7p + k + 1 = 8 \implies p + k = 7 elde edilir. pp asal ve k≥2k \ge 2 koşulunu sağlayan çiftler: (5, 2) ve (2, 5) değerleridir. Buradan x=52=25x = 5^2 = 25 ve x=25=32x = 2^5 = 32 çözümleri bulunur.
Sayıları tek tek denemek yerine sistematik bir çözüm kümesi oluşturmak için.
3
Farklı asal çarpanlara sahip diğer iki basamaklı sayıları kontrol etmek.
xx sayısı birden fazla asal çarpana sahipse (örneğin x=pa⋅qbx = p^a \cdot q^b), en küçük iki farklı asal sayının toplamı ⟨x⟩≥2+3=5\langle x \rangle \ge 2 + 3 = 5 olur. Pozitif bölen sayısı ise [x]=(a+1)(b+1)≥2⋅2=4[x] = (a+1)(b+1) \ge 2 \cdot 2 = 4 olur. Bu durumda toplam en az 5+4=95 + 4 = 9 olacağından 8 eşitliğini sağlamaları mümkün değildir.
Başka bir iki basamaklı çözümün olmadığını ispatlamak için.
4
Elde edilen çözümler arasından en küçük iki basamaklı olanı seçmek.
Çözüm kümesindeki iki basamaklı sayılar 25 ve 32'dir. Bunlardan en küçüğü 25'tir.
Soruda istenen 'en küçük iki basamaklı sayı' öncülünü uygulamak için.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı fonksiyonlar ve sayılar teorisinde asal bölenler ile pozitif bölen sayısının kullanımı
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Özel Tanımlı İşlemler

Bu konudan daha fazla soru