Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖzel Dörtgenler

Bir ABCDABCD paralelkenarında [AC][AC] köşegeni çizilmiştir. DD köşesinden [AC][AC] köşegenine indirilen dikmenin ayağı EE, BB köşesinden [AC][AC] köşegenine indirilen dikmenin ayağı ise FF noktasıdır.

∣AE∣=3 cm|AE| = 3\text{ cm}, ∣EF∣=8 cm|EF| = 8\text{ cm} ve ∣DE∣=4 cm|DE| = 4\text{ cm} olduğuna göre, ABCDABCD paralelkenarının alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A
    28
  2. B
    32
  3. C
    44
  4. 56Cevap
  5. E
    76

Cevap

Paralelkenarın alanı 56 santimetrekaredir.
Paralelkenarın karşılıklı kenarları paralel ve eşit uzunlukta olduğundan, DD ve BB köşelerinden köşegene indirilen dikmeler eş üçgenler oluşturur. Buradan ∣CF∣=∣AE∣=3 cm|CF| = |AE| = 3\text{ cm} elde edilir. Köşegenin toplam uzunluğu ∣AC∣=3+8+3=14 cm|AC| = 3 + 8 + 3 = 14\text{ cm} olur. Paralelkenarın alanı ise ∣AC∣×∣DE∣=14×4=56 cm2|AC| \times |DE| = 14 \times 4 = 56\text{ cm}^2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Paralelkenarın karşılıklı kenarlarının paralelliğini ve uzunluklarının eşitliğini kullanarak üçgenler arasındaki eşliği belirleme.
AD∥BCAD \parallel BC olduğu için iç ters aç��lardan m(DAE^)=m(BCF^)m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{BCF}) olur. [DE]⊥[AC][DE] \perp [AC] ve [BF]⊥[AC][BF] \perp [AC] olduğundan △ADE\triangle ADE ve △CBF\triangle CBF dik üçgenlerdir. Hipotenüsleri eşit (∣AD∣=∣BC∣|AD| = |BC|) ve birer dar açıları eşit olduğu için △ADE≅△CBF\triangle ADE \cong \triangle CBF (Eş üçgenler) olur.
Köşegen üzerinde ayrılan parçaların uzunluklarını belirlemek için eşlik kuralı uygulanmalıdır.
2
Eşlikten faydalanarak bilinmeyen parça uzunluklarını bulma.
Üçgenlerin eşliğinden dolayı, ∣CF∣=∣AE∣=3 cm|CF| = |AE| = 3\text{ cm} ve ∣BF∣=∣DE∣=4 cm|BF| = |DE| = 4\text{ cm} elde edilir.
Köşegenin toplam uzunluğunu bulmak için tüm parçaların bilinmesi gerekir.
3
[AC][AC] köşegeninin toplam uzunluğunu hesaplama.
∣AC∣=∣AE∣+∣EF∣+∣FC∣=3+8+3=14 cm|AC| = |AE| + |EF| + |FC| = 3 + 8 + 3 = 14\text{ cm} bulunur.
Paralelkenarı oluşturan üçgenlerin ortak taban uzunluğunu elde etmek için.
4
Paralelkenarın toplam alanını hesaplama.
ABCDABCD paralelkenarının alanı, [AC][AC] köşegeninin ayırdığı iki eş üçgenin alanları toplamına eşittir. Alan(ABCD)=2×Alan(△ADC)=2×∣AC∣×∣DE∣2=∣AC∣×∣DE∣=14×4=56 cm2\text{Alan}(ABCD) = 2 \times \text{Alan}(\triangle ADC) = 2 \times \frac{|AC| \times |DE|}{2} = |AC| \times |DE| = 14 \times 4 = 56\text{ cm}^2 bulunur.
Taban ve bu tabana ait yükseklik bilindiğinden alan formülüyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Paralelkenarda köşegenin özelliklerini ve karşılıklı köşelerden köşegene indirilen dikmelerin eşliğini kullanarak alan hesaplama.

İpuçları

1
Paralelkenarın karşılıklı kenarları paralel olduğundan iç ters açıları belirleyerek benzer veya eş üçgenler aramayı deneyin.
2
AD∥BCAD \parallel BC bilgisini kullanarak △ADE\triangle ADE ve △CBF\triangle CBF dik üçgenlerinin eş olduğunu gösterin. Buradan ∣CF∣|CF| uzunluğunu bulun.
3
∣CF∣=∣AE∣=3 cm|CF| = |AE| = 3\text{ cm} olduğunu bulduktan sonra köşegenin toplam uzunluğunu hesaplayıp alanın ∣AC∣×∣DE∣|AC| \times |DE| formülüyle bulunacağını hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Karşılıklı iki köşeden köşegene dikme indirildiğinde oluşan eş dik üçgenlerin özelliklerini pekiştirmek için benzer bir soruyu dikdörtgen üzerinde çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Paralelkenarın alanını, iki ayrı dik üçgen (△ADE\triangle ADE ve △CBF\triangle CBF) ile ortadaki iki üçgenin veya dikdörtgensel bölgenin alanlarının toplamı şeklinde parçalayarak da bulabilirsiniz. Alan(△ADE)=Alan(△CBF)=3×42=6 cm2\text{Alan}(\triangle ADE) = \text{Alan}(\triangle CBF) = \frac{3 \times 4}{2} = 6\text{ cm}^2 ve ortadaki [DE][DE] ile [BF][BF] yüksekliklerinin sınırladığı bölgelerin alanları toplamını taban parçalarıyla çarparak hesaplayabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Özel Dörtgenler

Bu konudan daha fazla soru