Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKartezyen Çarpım

A={x∈Z:x2−3x−4≤0}A = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 3x - 4 \leq 0\} kümesi veriliyor.

BB kümesi 1212 sayısının pozitif tam bölenlerinden, CC kümesi ise 1818 sayısının pozitif tam bölenlerinden oluşmaktadır.

Buna göre, (A×B)∩(A×C)(A \times B) \cap (A \times C) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    12
  3. 24Cevap
  4. D
    36
  5. E
    48

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 24'tür.
Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği kullanılarak (A×B)∩(A×C)=A×(B∩C)(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C) eşitliği elde edilir. A kümesinin eleman sayısı s(A) = 6 ve B ve C kümelerinin kesişim kümesinin eleman sayısı s(B ve C ortak elemanları) = 4 olarak bulunur. Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı formülüne göre bu iki değer çarpıldığında 6 * 4 = 24 elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 24 elemanlı seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirleme.
x2−3x−4≤0⇒(x−4)(x+1)≤0x^2 - 3x - 4 \leq 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) \leq 0 eşitsizliğinden −1≤x≤4-1 \leq x \leq 4 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar A={−1,0,1,2,3,4}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} olup eleman sayısı s(A)=6s(A) = 6 bulunur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısını hesaplamak için birinci kümenin eleman sayısına ihtiyaç vardır.
2
BB ve CC kümelerini yazıp kesişim kümesini ve eleman sayısını bulma.
B={1,2,3,4,6,12}B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} ve C={1,2,3,6,9,18}C = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} kümelerinin kesişimi B∩C={1,2,3,6}B \cap C = \{1, 2, 3, 6\} olup eleman sayısı s(B∩C)=4s(B \cap C) = 4 bulunur.
Kartezyen çarpımın dağılma özelliği uygulandıktan sonra elde edilen ikinci bileşen kümenin eleman sayısı gereklidir.
3
Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliğini uygulayarak eleman sayısını hesaplama.
(A×B)∩(A×C)=A×(B∩C)(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C) eşitliği kullanılır. Bu kümenin eleman sayısı s(A×(B∩C))=s(A)⋅s(B∩C)=6⋅4=24s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 6 \cdot 4 = 24 olarak hesaplanır.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, bileşen kümelerinin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği ve eleman sayısı formülü

Alternatif Yöntem

Kümelerin elemanları tek tek yazılıp kartezyen çarpım kümelerinin elemanları oluşturularak bu iki kümenin ortak olan elemanları sayılarak da sonuca ulaşılabilir. Ancak bu yöntem oldukça zaman alıcı ve işlem hatasına açık bir yoldur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru