Examkin

Soru

Zorluk: ZorOyun ve Turnuva Problemleri

Kaan, Leyla, Mert ve Selin isimli dört oyuncunun katıldığı bir kelime türetme oyununda toplam 1010 tur oynanmış ve her turda yalnızca bir oyuncu kelime türetmiştir. Oyunun kuralları ve puanlama sistemi şu şekildedir:
- Kelime türeten oyuncu ba��arılı olursa (kurallara uygun kelime türetirse) kendisi 55 puan kazanır, diğer üç oyuncunun her birinden ise 11'er puan eksilir.
- Kelime türeten oyuncu başarısız olursa (kurallara uygun olmayan kelime türetirse) kendisinden 33 puan eksilir, diğer üç oyuncunun her birine ise 22'şer puan eklenir.

Oyun sonunda oyuncuların puanlarının başlangıçtaki puanlarına göre değişimiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Mert ve Leyla, oyun boyunca kurallara uygun hiçbir kelime türetememiştir.
- Mert, oyun boyunca kurallara uygun olmayan hiçbir kelime de türetmemiştir.
- Kaan'ın puanı başlangıca göre 1414 artmıştır.
- Leyla'nın puanı başlangıca göre 88 azalmıştır.

Buna göre, Selin'in oyun sonundaki puanının başlangıçtaki puanına göre değişimi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    12 artmıştır
  2. B
    14 artmıştır
  3. 16 artmıştırCevap
  4. D
    18 artmıştır
  5. E
    20 artmıştır

Cevap

Selin'in puanı başlangıçtaki puanına göre 16 artmıştır.
Kurallar analiz edilip denklemler kurulduğunda, toplam başarılı tur sayısı 66, toplam başarısız tur sayısı ise 44 olarak belirlenir. Bu değerler altında Selin'in 44 başarılı ve 22 başarısız tur gerçekleştirdiği ve puanının net olarak 16 puan arttığı görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Oyunun puanlama kurallarını matematiksel denkleme dönüştürme
Oyuncu ii için başarılı tur sayısı xix_i, başarısız tur sayısı yiy_i olsun. Toplam başarılı tur sayısı XX ve başarısız tur sayısı YY olmak üzere X+Y=10X+Y=10 olur. Oyuncu ii'nin net puan değişimi: ΔPi=6xi−5yi+20−3X\Delta P_i = 6x_i - 5y_i + 20 - 3X olarak formüle edilir.
Her turdaki puan değişimlerinin oyuncuların kendi turlarından ve diğer oyuncuların turlarından aldıkları/kaybettikleri puanların toplam etkisini tek bir formülde birleştirmek için.
2
Verilen oyuncu bilgilerini formüle uygulayarak olası durumları belirleme
Mert için xM=0x_M = 0 ve yM=0y_M = 0, Leyla için xL=0x_L = 0 ve ΔPL=−8\Delta P_L = -8 yazılır. Buradan −8=−5yL+20−3X  ⟹  5yL+3X=28-8 = -5y_L + 20 - 3X \implies 5y_L + 3X = 28 elde edilir. Bu denklemi sağlayan tamsayı çiftleri (yL,X)(y_L, X) için iki olası durum vardır: ya yL=2,X=6y_L=2, X=6 ya da yL=5,X=1y_L=5, X=1.
Mert ve Leyla'nın net tur sayıları üzerinden toplam başarılı tur sayısı XX için olası aday değerleri bulmak için.
3
Kaan'ın puan değişimi bilgisiyle çelişki analizi yaparak tek bir durumu kesinleştirme
Kaan için 6xK−5yK=3X−66x_K - 5y_K = 3X - 6 denkleminde X=1X=1 yazılırsa 6xK−5yK=−3  ⟹  5yK=6xK+36x_K - 5y_K = -3 \implies 5y_K = 6x_K + 3 olur. yK≤4y_K \leq 4 sınırına göre tek çözüm yK=3,xK=2y_K=3, x_K=2'dir. Ancak xK=2x_K=2 olması, toplam başarılı tur sayısı X=1X=1 kabulüyle çelişir. Dolayısıyla X=6X=6 ve yL=2y_L=2 olmalıdır.
Toplam başarılı tur sayısının 1 mi yoksa 6 mı olduğunu kesin olarak belirlemek için.
4
Selin'in başarılı ve başarısız tur sayılarını bularak puan değişimini hesaplama
X=6  ⟹  Y=4X=6 \implies Y=4 olur. Kaan için denklemden 5yK=6xK−125y_K = 6x_K - 12 elde edilir ve yK≤2y_K \leq 2 olduğundan tek çözüm yK=0,xK=2y_K=0, x_K=2'dir. Buradan Selin için xS=6−(2+0+0)=4x_S = 6 - (2+0+0) = 4 ve yS=4−(0+2+0)=2y_S = 4 - (0+2+0) = 2 bulunur. Selin'in puan değişimi: ΔPS=6(4)−5(2)+20−3(6)=16\Delta P_S = 6(4) - 5(2) + 20 - 3(6) = 16 artış olarak hesaplanır.
Selin'in gerçekleştirdiği tur sayılarını doğrudan belirleyip net puan değişimini bulmak için.

Anahtar Kavram

Turnuva ve oyun kurallarının denkleştirilmesi ve tam sayı kısıtları altında doğrusal denklem sistemlerinin çözülmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Oyun ve Turnuva Problemleri

Bu konudan daha fazla soru