x, y ve z asal sayılardır. x^z - y = 29 olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır? — ALES

x

y

z

asal sayılardır.

x^z - y = 29

olduğuna göre,

x + y + z

toplamı kaçtır?

A
8
B
19
10Cevap
D
28
E
34

Cevap

Eşitliği sağlayan asal sayıların toplamı 10'dur.

Verilen eşitliği sağlayan asal sayılar

x=2

y=3

z=5

'tir. Bu değerlerin toplamı

2 + 3 + 5 = 10

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

x^z - y = 29

eşitliğinde

x

tabanının tek veya çift olma durumlarını incelemek.

Eğer

x

tek bir asal sayı olsaydı, tek sayının tüm pozitif tam sayı kuvvetleri tek olacağı için

x^z

de tek olurdu. Farkın tek bir sayı (

29

) çıkabilmesi için

y

asal sayısının çift olması gerekirdi. Çift olan tek asal sayı

2

olduğundan

y=2

olurdu. Bu durumda

x^z - 2 = 29 \implies x^z = 31

elde edilirdi. Ancak

z \ge 2

asal sayısı için bu eşitliği sağlayan bir

x

asal sayısı yoktur. Dolayısıyla

x

çift bir asal sayı olmalıdır.

x

'in tek sayı olamayacağını göstererek çift olan tek asal sayıya (

2

) eşitlemek.

x

yerine en küçük ve tek çift asal sayı olan

2

değerini yazarak eşitliği düzenlemek.

2^z - y = 29

denklemi elde edilir.

Bilinmeyen sayısını azaltarak

z

y

asal sayılarını belirlemek.

z

asal sayısı için olası değerleri denemek.

z = 2

için:

2^2 - y = 29 \implies y = -25

(Negatif sayılar asal olamaz).

z = 3

için:

2^3 - y = 29 \implies y = -21

(Negatif sayılar asal olamaz).

z = 5

için:

2^5 - y = 29 \implies 32 - y = 29 \implies y = 3

(

3

bir asal sayıdır).

z > 5

olan tek asal sayılar için

2^z - 29

ifadesi daima

3

'ün katı ve

3

'ten büyük olacağından asal sayı olamaz. Dolayısıyla tek çözüm

x=2

y=3

z=5

asal sayılarıdır.

Tanım kümesine uygun asal sayı değerlerini kesinleştirmek.

Bulunan asal sayıları toplamak.

x + y + z = 2 + 3 + 5 = 10

elde edilir.

Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Asal Sayıların Özellikleri ve Çift Asal Sayı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru