Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAsal Sayılar
aa, bb ve cc asal sayılar olmak üzere,
a⋅b+a⋅c=95a \cdot b + a \cdot c = 95
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
  1. A
    114
  2. B
    186
  3. 170Cevap
  4. D
    240
  5. E
    255

Cevap

En büyük değer olan 170
Verilen denklem a(b+c)=95a(b+c) = 95 şeklinde düzenlendiğinde, 95=5⋅1995 = 5 \cdot 19 olduğundan a=5a=5 veya a=19a=19 olabilir. a=5a=5 için b+c=19b+c=19 olup, toplamları tek sayı olan iki asal sayıdan biri çift asal sayı olan 2 olmalıdır. Buradan {b,c}={2,17}\{b, c\} = \{2, 17\} bulunur ve çarpım 5⋅2⋅17=1705 \cdot 2 \cdot 17 = 170 elde edilir. Bu değer alabilecek en büyük değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alın.
a(b+c)=95a(b + c) = 95
Çarpımın sonucunu veren çarpanları inceleyebilmek için ortak çarpan parantezine alma yöntemi kullanılır.
2
95 sayısının asal çarpanlarını bulun.
95=5⋅1995 = 5 \cdot 19
aa asal sayı olduğundan, aa değeri ya 5 ya da 19 olmak zorundadır.
3
a=5a = 5 durumunu inceleyin.
b+c=19b + c = 19 olur. İki asal sayının toplamı tek sayı (19) olduğundan, bu sayılardan biri çift asal sayı olan 2 olmalıdır. Buradan {b,c}={2,17}\{b, c\} = \{2, 17\} elde edilir (17 asaldır). Bu durumda çarpım a⋅b⋅c=5⋅2⋅17=170a \cdot b \cdot c = 5 \cdot 2 \cdot 17 = 170 olur.
Toplamları tek sayı olan iki asal sayıdan biri mutlaka çift sayı (yani 2) olmak zorundadır.
4
a=19a = 19 durumunu inceleyin.
b+c=5b + c = 5 olur. İki asal sayının toplamı tek sayı (5) olduğundan, biri 2 olmalıdır. Buradan {b,c}={2,3}\{b, c\} = \{2, 3\} elde edilir (3 asaldır). Bu durumda çarpım a⋅b⋅c=19⋅2⋅3=114a \cdot b \cdot c = 19 \cdot 2 \cdot 3 = 114 olur.
Benzer şekilde, toplamları tek sayı olan iki asal sayıdan biri 2 olmalıdır.
5
Bulunan çarpım değerlerini karşılaştırarak en büyüğünü belirleyin.
En büyük değer 170'tir.
170 ve 114 değerleri arasından en büyüğü seçilmesi istendiği için sonuç 170 olur.

Anahtar Kavram

Asal sayıların özellikleri ve tek-çift sayı kurallarının asal sayılara uygulanması (özellikle en küçük ve tek çift asal sayı olan 2'nin kullanımı).
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru