Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖzel Tanımlı İşlemler

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde ⊗\otimes ve ⊕\oplus işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

a⊗b=a2−ba \otimes b = a^2 - b
a⊕b=2a+ba \oplus b = 2a + b

Buna göre,

(x⊗3)⊕5=17(x \otimes 3) \oplus 5 = 17

eşitliğini sağlayan xx pozitif tam sayısı kaçtır?
  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Cevap
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

Eşitliği sağlayan xx pozitif tam sayısı 3'tür.
Verilen işlemlere göre (x⊗3)⊕5=17(x \otimes 3) \oplus 5 = 17 ifadesinde önce dıştaki işlem çözülür. Geçici olarak u=x⊗3u = x \otimes 3 dersek, 2u+5=17  ⟹  u=62u + 5 = 17 \implies u = 6 olur. Buradan x⊗3=6x \otimes 3 = 6 denklemi elde edilir. İlk işlemin tanımına göre x2−3=6  ⟹  x2=9x^2 - 3 = 6 \implies x^2 = 9 olur. xx pozitif tam sayı olduğu için x=3x = 3 bulunur. Bu nedenle 3 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki x⊗3x \otimes 3 ifadesine geçici bir değişken atayalım.
u=x⊗3u = x \otimes 3 olsun. Bu durumda denklem u⊕5=17u \oplus 5 = 17 şekline dönüşür.
İki aşamalı işlemi daha kolay çözebilmek ve işlem sırasını doğru takip edebilmek için dıştaki işlemden başlanır.
2
u⊕5=17u \oplus 5 = 17 denklemini ⊕\oplus işleminin tanımını kullanarak çözelim.
2u+5=17  ⟹  2u=12  ⟹  u=62u + 5 = 17 \implies 2u = 12 \implies u = 6 bulunur.
a⊕b=2a+ba \oplus b = 2a + b tanımında aa yerine uu, bb yerine 55 yazılarak uu değeri elde edilir.
3
u=6u = 6 değerini yerine koyarak x⊗3=6x \otimes 3 = 6 denklemini çözelim.
x2−3=6  ⟹  x2=9  ⟹  x=3x^2 - 3 = 6 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 (çünkü xx pozitif bir tam sayıdır) bulunur.
a⊗b=a2−ba \otimes b = a^2 - b tanımında aa yerine xx, bb yerine 33 yazılıp denklem çözülerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki farklı özel tanımlı işlemin iç içe uygulanması ve bilinmeyen girdinin geriye doğru işlem (ters işlem) yapılarak bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Özel Tanımlı İşlemler

Bu konudan daha fazla soru