Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAsal Sayılar

xx, yy ve zz asal sayılardır.

x2−y2=zx^2 - y^2 = z

olduğuna göre, x⋅y+zx \cdot y + z ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    1
  2. 11Cevap
  3. C
    13
  4. D
    17
  5. E
    21

Cevap

11
Doğru cevap olan 11 değerine ulaşmak için iki kare farkı yardımıyla x−y=1x - y = 1 ve x+y=zx + y = z denklemleri elde edilir. Farkları 1 olan tek asal sayı çifti 3 ve 2 olduğundan x=3x=3 ve y=2y=2 bulunur. Buradan z=5z=5 elde edilir. Sonuç olarak 3⋅2+5=113 \cdot 2 + 5 = 11 hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen x2−y2=zx^2 - y^2 = z denklemini iki kare farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayırın.
(x−y)(x+y)=z(x - y)(x + y) = z elde edilir.
İki kare farkı formülü a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) şeklindedir.
2
zz bir asal sayı olduğundan çarpanları sadece 1 ve kendisi olabilir. xx ve yy asal sayılar (pozitif) olduğu için x+y>1x + y > 1 olmalıdır. Bu durumda çarpanlardan küçük olanı 1'e, büyük olanı zz'ye eşitleyin.
x−y=1x - y = 1 ve x+y=zx + y = z olur.
Asal sayıların kendisinden ve 1'den başka pozitif böleni yoktur.
3
x−y=1x - y = 1 eşitliğini sağlayan ve aralarındaki fark 1 olan tek asal sayı çiftini belirleyin. En küçük asal sayı 2'dir ve çift olan tek asal sayı 2 olduğundan, farkları 1 olan yegane asal sayılar 3 ve 2'dir.
x=3x = 3 ve y=2y = 2 bulunur.
Farkı 1 olan tek ardışık asal sayılar 2 ve 3'tür.
4
Bulduğumuz x=3x = 3 ve y=2y = 2 değerlerini x+y=zx + y = z eşitliğinde yerine yazarak zz asal sayısını bulun.
z=3+2=5z = 3 + 2 = 5 elde edilir.
Değerlerin toplamı üçüncü asal sayıyı verir.
5
Bulunan x=3x = 3, y=2y = 2 ve z=5z = 5 değerlerini kullanarak x⋅y+zx \cdot y + z ifadesini hesaplayın.
3⋅2+5=6+5=113 \cdot 2 + 5 = 6 + 5 = 11 bulunur.
İşlem önceliğine göre önce çarpma, ardından toplama işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

İki kare farkı özdeşliği yardımıyla asal sayıların çarpan analizi ve tek çift asal sayı özellikleri.
Bu soruyu puanla

Konular

Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru