Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorPozitif ve Negatif Sayılar
Sıfırdan farklı xx, yy ve zz gerçel sayıları için
x3⋅(y−z)>0x^3 \cdot (y - z) > 0
y2⋅(x−y)<0y^2 \cdot (x - y) < 0
z⋅(y−x)5<0z \cdot (y - x)^5 < 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman negatiftir?

  1. zx2+y2\frac{z}{x^2 + y^2}Cevap
  2. B
    z3⋅(x−y)z^3 \cdot (x - y)
  3. C
    x⋅zx \cdot z
  4. D
    y−zy - z
  5. E
    x⋅y⋅z2x \cdot y \cdot z^2

Cevap

Negatif bir sayının pozitif bir sayıya bölümünü temsil eden ifade her zaman negatiftir.
Payı oluşturan zz ifadesi kesin olarak negatif bir sayıdır. Paydadaki x2+y2x^2 + y^2 ifadesi ise sıfırdan farklı iki gerçel sayının kareleri toplamı olduğundan kesinlikle pozitiftir. Negatif bir sayının pozitif bir sayıya oranı her zaman negatif olacağından, payı negatif ve paydası pozitif olan rasyonel ifade her zaman negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1
y2⋅(x−y)<0y^2 \cdot (x - y) < 0 eşitsizliğini analiz edin.
x<yx < y
y≠0y \neq 0 olduğundan y2>0y^2 > 0 olmak zorundadır. Çarpımın negatif olabilmesi için x−y<0x - y < 0 olmalıdır, bu da x<yx < y sonucunu verir.
2
z⋅(y−x)5<0z \cdot (y - x)^5 < 0 eşitsizliğini analiz edin.
z<0z < 0
Birinci adımda x<yx < y olduğu bulunmuştu. Buradan y−x>0y - x > 0 elde edilir. Pozitif bir sayının tek kuvveti de pozitif olacağından (y−x)5>0(y - x)^5 > 0 olur. Çarpımın negatif olması için zz sayısının negatif olması gerekir.
3
x3⋅(y−z)>0x^3 \cdot (y - z) > 0 eşitsizliğini ve olası durumları inceleyin.
z<0<x<yz < 0 < x < y veya x<y<z<0x < y < z < 0
z<0z < 0 olduğundan iki durum mevcuttur. Eğer x>0x > 0 ise x3>0x^3 > 0 olur ve çarpımın pozitif olması için y−z>0  ⟹  y>zy - z > 0 \implies y > z olmalıdır. Buradan z<0<x<yz < 0 < x < y elde edilir. Eğer x<0x < 0 ise x3<0x^3 < 0 olur ve çarpımın pozitif olması için y−z<0  ⟹  y<zy - z < 0 \implies y < z olmalıdır. Buradan x<y<z<0x < y < z < 0 elde edilir.
4
Seçenekleri bu iki duruma göre değerlendirin.
Payı negatif, paydası pozitif olan rasyonel ifadenin her zaman negatif olduğu görülür.
Her iki durumda da z<0z < 0 ve x2+y2>0x^2 + y^2 > 0 özellikleri değişmez. Dolayısıyla bu iki ifadenin oranı her zaman negatiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılarda Eşitsizlik ve İşaret Analizi
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Pozitif ve Negatif Sayılar

Bu konudan daha fazla soru