Examkin

Soru

Zorluk: ZorPozitif ve Negatif Sayılar
Sıfırdan farklı pp, qq ve rr gerçel sayıları için
p−q>0p - q > 0
q−rp⋅r<0\frac{q - r}{p \cdot r} < 0
p⋅q3⋅r5>0p \cdot q^3 \cdot r^5 > 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi daima pozitif bir gerçel sayıya eşittir?

  1. A
    p−rq\frac{p - r}{q}
  2. B
    r⋅(p−q)r \cdot (p - q)
  3. p⋅rr−q\frac{p \cdot r}{r - q}Cevap
  4. D
    q⋅(r−p)q \cdot (r - p)
  5. E
    q⋅rq−p\frac{q \cdot r}{q - p}

Cevap

p⋅rr−q\frac{p \cdot r}{r - q} ifadesi daima pozitiftir.
Verilen eşitsizliklerden p⋅q⋅r>0p \cdot q \cdot r > 0 ve p>qp > q elde edilir. Bu koşulları sağlayan iki durum vardır: Tüm değişkenlerin pozitif olduğu (p>q>0,r>q>0p > q > 0, r > q > 0) durum ve iki değişkenin negatif olduğu (p>0>q>rp > 0 > q > r) durum. p⋅rr−q\frac{p \cdot r}{r - q} ifadesi incelendiğinde; tümü pozitifken pay (p⋅rp \cdot r) ve payda (r−qr - q) pozitif olduğundan sonuç pozitif olur. İkinci durumda ise pay negatif (p⋅r<0p \cdot r < 0) ve payda negatif (r−q<0r - q < 0) olduğundan sonuç yine pozitif olur. Dolayısıyla bu ifade daima pozitiftir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitsizliklerden değişkenlerin işaret çarpımını belirleme
p⋅q⋅r>0p \cdot q \cdot r > 0 elde edilir.
Tek kuvvetli ifadelerin işareti tabanlarının işaretiyle aynı olduğundan çarpımın işareti korunur.
2
Değişkenlerin alabileceği işaret durumlarını ve sıralamaları analiz etme
İki olası durum bulunur: 1) p>q>0p > q > 0 ve r>q>0r > q > 0; 2) p>0>q>rp > 0 > q > r.
p>qp > q ve q−rp⋅r<0\frac{q - r}{p \cdot r} < 0 koşullarının p⋅q⋅r>0p \cdot q \cdot r > 0 ile tutarlı olması için bu iki durumun geçerli olması gerekir.
3
Her iki durum için doğru seçenekteki ifadenin işaretini kontrol etme
Her iki durumda da p⋅rr−q\frac{p \cdot r}{r - q} ifadesinin pay ve paydasının işaretleri aynı olduğundan sonuç daima pozitif çıkar.
Birinci durumda pay ve payda pozitif, ikinci durumda ise pay ve payda negatiftir. Negatifin negatife bölümü pozitif olduğundan sonuç daima pozitiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Çarpma ve Bölme Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Pozitif ve Negatif Sayılar

Bu konudan daha fazla soru