Kümeler, Fonksiyonlar ve İşlem Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 4

Soru 61Soru →

Bir grupta İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini konuşan 36 kişi vardır. Bu grupta İngilizce konuşanların kümesi $E$ , Almanca konuşanların kümesi $G$ ile gösterilmektedir.

* Sadece İngilizce konuşanların sayısı, Almanca konuşanların sayısının 2 katıdır.
* Sadece Almanca konuşanların sayısı, her iki dili de konuşanların sayısının 3 katıdır.

Buna göre, bu grupta İngilizce konuşan kişi sayısı kaçtır?

12

18

24

27

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

İngilizce konuşan kişi sayısı 27'dir.

İngilizce konuşan toplam kişi sayısı, sadece İngilizce konuşanlar (

8x

) ile her iki dili konuşan ortak elemanların (

x

) toplamıdır. Denklemden elde edilen

x = 3

değeri yerine yazıldığında

9x = 27

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kesişim kümesinin eleman sayısını değişkenle ifade edin.

s(E \cap G) = x

Diğer küme bölümlerinin eleman sayıları bu ortak bölgeye bağlı olarak tanımlanacaktır.

2

Almanca konuşanların toplam eleman sayısını bulun.

s(G \setminus E) = 3x

ve

s(G) = 3x + x = 4x

Sadece Almanca konuşanlar her iki dili konuşanların 3 katı olduğundan, Almanca konuşanlar bu iki bölgenin toplamıdır.

3

Sadece İngilizce konuşanların eleman sayısını Almanca konuşanlar cinsinden ifade edin.

s(E \setminus G) = 2 \cdot s(G) = 2 · 4x = 8x

Sadece İngilizce konuşanların sayısı, Almanca konuşanların toplam sayısının 2 katı olarak verilmiştir.

4

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü kullanarak x değerini hesaplayın.

s(E \cup G) = 8x + x + 3x = 12x = 36 \implies x = 3

Gruptaki herkes en az bir dil konuştuğu için tüm bölgelerin toplamı grubun toplam mevcudu olan 36'ya eşittir.

5

İngilizce konuşan toplam kişi sayısını hesaplayın.

s(E) = s(E \setminus G) + s(E \cap G) = 8x + x = 9x \implies 9 · 3 = 27

İngilizce konuşanlar, sadece İngilizce konuşanlar ile her iki dili de konuşanların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim, kesişim ve fark işlemlerinin sözel problemler üzerindeki uygulaması ve eleman sayıları arasındaki ilişkiler.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek her bir bölgenin eleman sayısını doğrudan şema üzerinde harflendirip denklem kurarak da çözüme ulaşılabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 62Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

g

fonksiyonu

g(x) = \frac{2x - 1}{3}

ve

f

fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} 3^x - 5, & x < 2 \\ x^2 - 1, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $(f \circ g)(5) - (g \circ f)(1)$ ifadesinin değeri kaçtır?

\frac{13}{3}

\frac{19}{3}

\frac{29}{3}

\frac{20}{3}

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{29}{3}$

Cevap

\frac{29}{3}

Bileşke fonksiyon tanımından faydalanılarak önce

g(5) = 3

bulunur, ardından

f(3) = 8

elde edilir. İkinci kısımda ise

f(1) = -2

bulunur, ardından

g(-2) = -\frac{5}{3}

elde edilir. Bu iki sonucun farkı alındığında

8 - (-\frac{5}{3}) = \frac{29}{3}

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

g(5)

değerini hesaplayın.

g(5) = 3

(f \circ g)(5)

ifadesinde

f

fonksiyonunun içine yazılacak değeri bulmak için.

2

f(3)

değerini bulun.

f(3) = 8

3 \ge 2

olduğundan

f(x)

fonksiyonunun ikinci par��asını kullanarak

(f \circ g)(5)

değerini tamamlamak için.

3

f(1)

değerini bulun.

f(1) = -2

1 < 2

olduğundan

f(x)

fonksiyonunun ilk parçasını kullanarak

(g \circ f)(1)

için iç değeri bulmak için.

4

g(-2)

değerini hesaplayın.

g(-2) = -\frac{5}{3}

(g \circ f)(1)

değerini tamamlamak için

f(1)

sonucunu

g

fonksiyonuna yazmak için.

5

İki değerin farkını hesaplayın.

8 - (-\frac{5}{3}) = \frac{29}{3}

İstenen çıkarma işlemini gerçekleştirmek için.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda değer bulma ve parçalı tanımlı fonksiyonların alt aralıklarına göre değer hesaplama.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 63Soru →

Bir doğa sporları kampındaki $50$ katılımcının her biri rafting veya doğa yürüyüşü (trekking) aktivitelerinden en az birine katılmıştır. Bu kampta sadece rafting yapanların sayısı, her iki aktiviteye de katılanların sayısının $4$ katıdır.

Kampta doğa yürüyüşü yapan toplam katılımcı sayısı $26$ olduğuna göre, rafting yapan toplam katılımcı sayısı kaçtır?

18

20

24

30

32

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Rafting yapan toplam katılımcı sayısı 30'dur.

Her iki aktiviteye katılanların sayısına

x

dersek, sadece rafting yapanlar

4x

olur. Doğa yürüyüşü yapanlar

26

kişidir. Toplam katılımcı sayısı

50

olduğundan, sadece rafting yapanlar ile doğa yürüyüşü yapanların toplamı

50

'ye eşit olmalıdır:

4x + 26 = 50 \implies 4x = 24 \implies x = 6

. Rafting yapan toplam katılımcı sayısı ise sadece rafting yapanlar ile her iki aktiviteyi yapanların toplamı, yani

4x + x = 5x

'tir. Buradan

5 \times 6 = 30

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeleri ve değişkenleri tanımlayın.

Rafting yapanlar kümesi

R

, doğa yürüyüşü yapanlar kümesi

T

olsun. Her iki aktiviteyi de yapanların sayısı

s(R \cap T) = x

ise sadece rafting yapanların sayısı

s(R \setminus T) = 4x

olur.

Soruda verilen oranları matematiksel sembollerle ifade etmek için.

2

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü kurun ve

x

değerini bulun.

Kamp sakinlerinin tamamı en az bir aktiviteye katıldığı için toplam katılımcı sayısı

s(R \cup T) = 50

'dir. Buradan

s(R \cup T) = s(R \setminus T) + s(T) \implies 50 = 4x + 26 \implies 4x = 24 \implies x = 6

elde edilir.

Kesişim kümesinin eleman sayısını (

x

) bularak alt kümelerin eleman sayılarına ulaşmak için.

3

Rafting yapan toplam katılımcı sayısını (

s(R)

) hesaplayın.

s(R) = s(R \setminus T) + s(R \cap T) = 4x + x = 5x

olur.

x = 6

değeri yerine yazıldığında

s(R) = 5 \times 6 = 30

bulunur.

Bizden istenen rafting yapan toplam kişi sayısını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Küme Problemlerinde Birleşim, Kesişim ve Fark İşlemleri

İpuçları

1

Her iki aktiviteye de katılanların sayısını bir değişken (

x

gibi) ile temsil edin.

2

Birleşim kümesinin eleman sayısının, sadece rafting yapanlar ile doğa yürüyüşü yapan toplam kişilerin toplamına eşit olduğunu fark edin:

s(R \cup T) = s(R \setminus T) + s(T)

.

3

Bulduğunuz

x

değeri yardımıyla hem sadece rafting yapanların (

4x

) hem de her iki aktiviteyi yapanların (

x

) sayısını belirleyip toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, üç kümenin (örneğin İngilizce, Almanca ve Fransızca konuşanlar) yer aldığı daha karmaşık küme problemlerini çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgeleri harflendirebilirsiniz. Toplam katılımcı sayısı

50

ve doğa yürüyüşü yapanlar

26

ise, sadece rafting yapan kişi sayısı

50 - 26 = 24

olur. Sadece rafting yapanlar

24

ise, her iki aktiviteyi yapanlar

24 / 4 = 6

olur. Toplam rafting yapanlar ise sadece rafting yapanlar ile her iki aktiviteyi yapanların toplamı olan

24 + 6 = 30

olarak doğrudan bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 64Soru →

Tanımlı oldukları aralıklarda

f

ve

g

fonksiyonları için

f(x + 1) = 2x - 3

(g \circ f)(x) = 4x - 5

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $g(3)$ değeri kaçtır?

6

7

9

11

13

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Doğru cevap 11 değeridir.

Bileşke fonksiyon tanımına göre

(g \circ f)(x) = g(f(x))

şeklindedir. İlk olarak

f(x + 1) = 2x - 3

eşitliğinde

x

yerine

x - 1

yazarak

f(x) = 2(x - 1) - 3 = 2x - 5

elde ederiz. Ardından,

g(f(x)) = g(2x - 5) = 4x - 5

eşitliğini kullanırız. Bizden

g(3)

değeri istendiği için fonksiyonun parantez içindeki ifadesini

3

'e eşitleriz:

2x - 5 = 3 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4

olur. Bulduğumuz bu

x = 4

değerini

4x - 5

ifadesinde yerine yazdığımızda

g(3) = 4(4) - 5 = 11

sonucuna ulaşırız. Bu nedenle doğru cevap 11 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x)

fonksiyonunun kuralını bulmak

f(x) = 2x - 5

f(x+1) = 2x - 3

eşitliğinde

x

yerine

x-1

yazılarak değişken dönüşümü yapılır.

2

Bileşke fonksiyon tanımını yazmak

g(2x - 5) = 4x - 5

(g \circ f)(x) = g(f(x))

tanımından ötürü

f(x)

ifadesi

g

fonksiyonunun içine yazılır.

3

g(3)

değerini bulmak için uygun

x

değerini belirlemek ve yerine yazmak

g(3) = 11

2x - 5 = 3 \Rightarrow x = 4

bulunur. Bu

x

değeri sağ taraftaki

4x - 5

ifadesinde yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon

İpuçları

1

f(x + 1)

ifadesinden

f(x)

fonksiyonuna geçmek için

x

yerine ne yazılması gerektiğini düşünün.

2

f(x) = 2x - 5

olduğunu bulduktan sonra, bileşke fonksiyonun tanımını kullanarak

g(f(x)) = 4x - 5

eşitliğini elde edin.

3

g(2x - 5) = 4x - 5

eşitliğinde parantez içini

3

yapmak için

x

yerine

4

yazmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde,

(f \circ g)(x)

ve

g(x)

verilip

f(x)

fonksiyonunun istendiği soruları çözerek bileşke fonksiyon işlemlerini pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

f(x+1) = 2x-3

ifadesini

(g \circ f)(x) = 4x-5

bileşke fonksiyonuyla doğrudan ilişkilendirmek için

x

yerine

x+1

yazarak

(g \circ f)(x+1) = g(f(x+1)) = g(2x-3) = 4(x+1) - 5 = 4x - 1

elde edebilirsiniz. Burada

g(3)

değerini bulmak için

2x-3 = 3 \Rightarrow x=3

eşitliği kullanılır ve

g(3) = 4(3) - 1 = 11

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 65Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları için

(f \circ g)(x) = 3g(x) - 2

(g \circ f)(x) = f(x) + 4

eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,

(f \circ g)(2)

bileşke işleminin sonucu kaçtır?

8

10

12

16

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16

Soruda verilen ikinci eşitlik olan

g(f(x)) = f(x) + 4

ifadesinden,

g

fonksiyonunun kendisine uygulanan girdiyi 4 artırdığı görülür. Dolayısıyla,

g(x) = x + 4

olur. Bu kurala göre

g(2) = 6

olarak hesaplanır. Birinci eşitlik olan

(f \circ g)(x) = 3g(x) - 2

ifadesinde

x = 2

yazıldığında

(f \circ g)(2) = 3g(2) - 2

elde edilir. Bulunan

g(2) = 6

değeri yerine yerleştirildiğinde

3 \times 6 - 2 = 16

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ikinci eşitliği kullanarak

g

fonksiyonunun kuralını belirlemek.

g(f(x)) = f(x) + 4

eşitliğinde

f(x)

yerine

y

yazılırsa

g(y) = y + 4

elde edilir. Buradan

g(x) = x + 4

olarak bulunur.

g(f(x))

ifadesi,

f(x)

değerinin

g

fonksiyonunda yerine yazılması anlamına gelir.

2

g

fonksiyonunun kuralını kullanarak

g(2)

değerini hesaplamak.

g(2) = 2 + 4 = 6

bulunur.

(f \circ g)(2)

ifadesi

f(g(2))

şeklinde yazıldığından, öncelikle içteki fonksiyonun değeri hesaplanmalıdır.

3

Birinci eşitlikte

g(2)

değerini yerine yazarak bileşke fonksiyonun sonucuna ulaşmak.

(f \circ g)(x) = 3g(x) - 2

eşitliğinde

x = 2

için

(f \circ g)(2) = 3g(2) - 2

olur.

g(2) = 6

değeri yerine yazıldığında

3 \times 6 - 2 = 18 - 2 = 16

elde edilir.

Bileşke fonksiyon tanımı gereği

(f \circ g)(2) = f(g(2))

değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon

İpuçları

1

Bileşke fonksiyonlarda işlem yaparken en içteki fonksiyondan başlamalısınız.

(f \circ g)(2) = f(g(2))

olduğunu hatırlayın.

2

g(f(x)) = f(x) + 4

eşitliğinde

f(x)

yerine

y

yazarak

g

fonksiyonunun kuralını bulmaya çalışın.

3

g(x) = x + 4

kuralını kullanarak önce

g(2)

değerini hesaplayın, ardından bu değeri

(f \circ g)(x) = 3g(x) - 2

eşitliğinde yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde

(f \circ g)(x) = 2g(x) + 5

ve

(g \circ f)(x) = 3f(x) - 1

eşitlikleri verildiğinde

(g \circ f)(3)

değerini bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak,

(g \circ f)(x) = f(x) + 4

eşitliğinde

f(x)

yerine doğrudan

g(x)

değişkeni (veya herhangi bir bağımsız değişken) düşünülerek

g(x) = x + 4

kuralı doğrudan görülebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 66Soru →

Bir spor salonundaki sporcuların kümesi $E$ evrensel kümesidir. Bu sporculardan düzenli olarak kardiyo yapanların kümesi $K$ , ağırlık antrenmanı yapanların kümesi ise $A$ olarak belirlenmiştir.

Bu spor salonunda;
* Sadece ağırlık antrenmanı yapanların sayısı, hem kardiyo hem ağırlık antrenmanı yapanların sayısının 4 katıdır.
* Kardiyo yapan sporcuların sayısı, sadece ağırlık antrenmanı yapan sporcuların sayısından 2 fazladır.
* Bu iki aktiviteden en az birini yapan toplam 50 sporcu bulunmaktadır.

Buna göre, bu spor salonunda sadece kardiyo yapan sporcu sayısı kaçtır?

18

20

24

26

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Sadece kardiyo yapan sporcu sayısı 20'dir.

Sorudaki veriler doğrultusunda hem kardiyo hem ağırlık antrenmanı yapanlar

s(K \cap A) = y

, sadece ağırlık antrenmanı yapanlar

s(A \setminus K) = 4y

ve sadece kardiyo yapanlar

s(K \setminus A) = 3y + 2

olarak belirlenir. Bu üç bölgenin toplamı olan

s(K \cup A) = 8y + 2 = 50

eşitliğinden

y = 6

bulunur. Buradan sadece kardiyo yapanların sayısı

3(6) + 2 = 20

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerin bölgelerini değişkenlerle ifade etme

Hem kardiyo hem ağırlık antrenmanı yapanların kümesi

K \cap A

ve eleman sayısı

s(K \cap A) = y

olsun. Sadece ağırlık antrenmanı yapanların kümesi

A \setminus K

olur. Birinci koşula göre,

s(A \setminus K) = 4y

olarak yazılır.

Problemdeki oranları tek bir bilinmeyen cinsinden ifade edebilmek amacıyla bu adım yapılır.

2

Kardiyo yapanların ve sadece kardiyo yapanların sayısını bulma

Kardiyo yapan sporcuların kümesi

K

olup eleman sayısı

s(K) = s(K \setminus A) + s(K \cap A)

şeklindedir. İkinci koşula göre,

s(K) = s(A \setminus K) + 2 \Rightarrow s(K) = 4y + 2

olur. Buradan sadece kardiyo yapanların sayısı

s(K \setminus A) = s(K) - s(K \cap A) = (4y + 2) - y = 3y + 2

bulunur.

Kardiyo yapanların kümesini oluşturan bölgeleri ve sadece kardiyo yapan bölgeyi tanımlamak için bu adım yapılır.

3

Bilinmeyeni çözme ve hedef değeri hesaplama

En az birini yapanların toplamı

s(K \cup A) = s(K \setminus A) + s(A \setminus K) + s(K \cap A) = 50

olarak verilmiştir. Değerleri yerine yazarsak;

(3y + 2) + 4y + y = 50 \Rightarrow 8y + 2 = 50 \Rightarrow 8y = 48 \Rightarrow y = 6

elde edilir. Bizden istenen sadece kardiyo yapanlar

s(K \setminus A) = 3y + 2 = 3(6) + 2 = 20

olarak bulunur.

Birleşim kümesinin eleman sayısından yararlanarak bilinmeyen

y

değerini bulup sadece kardiyo yapanların sayısını hesaplamak için bu adım yapılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark, kesişim ve birleşim işlemlerinin şema ve denklemlerle modellenmesi.

Soru 67Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları

f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & x < 1 \\ x^2 - 2, & x \ge 1 \end{cases}

g(x) = \frac{3x - 1}{2}

biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,

(f \circ g)(3) + (g \circ f)(-1)

ifadesinin değeri kaçtır?

9

8

15

7

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15

Bileşke fonksiyonların kuralları adım adım uygulanıp parçalı fonksiyonun koşullarına dikkat edildiğinde; birinci bileşke terimden 14, ikinci bileşke terimden ise 1 değeri elde edilir. Bu iki değerin toplamı doğru cevap olan 15'i verir.

Adım Adım Çözüm

1

g(3)

değerini hesaplayın.

g(3) = \frac{3(3) - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4

(f \circ g)(3) = f(g(3))

ifadesini bulmak için öncelikle içteki

g(3)

değerini hesaplamamız gerekir.

2

f(4)

değerini hesaplayın.

f(4) = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14

4 \ge 1

olduğundan,

f(x)

parçalı fonksiyonunun ikinci dalı olan

x^2 - 2

kuralı uygulanır.

3

f(-1)

değerini hesaplayın.

f(-1) = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1

(g \circ f)(-1) = g(f(-1))

ifadesini bulmak için öncelikle içteki

f(-1)

değerini bulmalıyız.

-1 < 1

olduğundan birinci dal olan

2x + 3

kuralı kullanılır.

4

g(1)

değerini hesaplayın.

g(1) = \frac{3(1) - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1

Bulunan

f(-1) = 1

değerini

g(x)

fonksiyonunda yerine yazarız.

5

Elde edilen iki değeri toplayın.

14 + 1 = 15

Soruda istenen

(f \circ g)(3) + (g \circ f)(-1)

toplamını bulmak için iki bileşke değer toplanır.

Anahtar Kavram

Parçalı Tanımlı ve Bileşke Fonksiyonlarda Değer Bulma

Tahmini Süre:1m 30s

Kümeler, Fonksiyonlar ve İşlem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar