Examkin

Kümeler, Fonksiyonlar ve İşlem

67 soru

Soru 41Soru →
A={1,2,{1,2},{3},4}A = \{1, 2, \{1, 2\}, \{3\}, 4\} kümesi veriliyor.

Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 11 ve 22 eleman olarak bulunur fakat {1,2}\{1, 2\} eleman olarak bulunmaz?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4
AA kümesinin elemanları incelendiğinde 11, 22, {1,2}\{1, 2\}, {3}\{3\} ve 44 olmak üzere 5 elemanı olduğu görülür. Oluşturulacak alt kümelerde 11 ve 22 elemanlarının bulunması istendiği için bu iki eleman alt kümeye yerleştirilir. {1,2}\{1, 2\} elemanının bulunmaması istendiği için bu eleman seçim dışı bırakılır. Geriye kalan {3}\{3\} ve 44 elemanlarından herhangi biri veya ikisi alt kümeye eklenebilir. Bu durumda seçebileceğimiz 2 eleman kaldığından 22=42^2 = 4 farklı alt küme oluşturulabilir. Bu alt kümeler şunlardır: {1,2}\{1, 2\}, {1,2,{3}}\{1, 2, \{3\}\}, {1,2,4}\{1, 2, 4\} ve {1,2,{3},4}\{1, 2, \{3\}, 4\}.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını doğru şekilde tanımlamak.
A={1,2,{1,2},{3},4}A = \{1, 2, \{1, 2\}, \{3\}, 4\} kümesinin elemanları 11, 22, {1,2}\{1, 2\}, {3}\{3\} ve 44'tür. Kümenin eleman sayısı s(A)=5s(A) = 5'tir.
Alt küme oluştururken hangi elemanların bağımsız birer nesne olduğunu belirlemek gerekir.
2
Verilen koşullara göre elemanları sınıflandırmak.
11 ve 22 elemanları alt kümede bulunacağı için seçilir (sabit tutulur). {1,2}\{1, 2\} elemanı bulunmayacağı için elenir. Seçim yapılabilecek serbest elemanlar sadece {3}\{3\} ve 44 elemanlarıdır.
Koşullara göre alt kümede yer alıp almayacağı kesin olan elemanlar belirlenerek serbest seçim yapılacak eleman sayısı bulunur.
3
Kalan serbest elemanlarla oluşturulabilecek alt küme sayısını hesaplamak.
Geriye kalan {3}\{3\} ve 44 elemanları olmak üzere 2 eleman vardır. Bu elemanlarla 22=42^2 = 4 farklı alt küme oluşturulabilir.
nn elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n2^n formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman ve Alt Küme İlişkisi

İpuçları

1
AA kümesinin her bir elemanını birbirinden virgüllerle ayırarak listeleyin ve kümede kaç eleman olduğunu bulun.
2
Alt kümede mutlaka bulunması istenen elemanları cebinize koyun, bulunması istenmeyen elemanı ise tamamen çöpe atın.
3
Geriye kalan serbest elemanların sayısı nn ise, bu elemanlarla 2n2^n kadar farklı seçim yapıp cebinizdeki elemanların yanına ekleyebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, B={a,{a},b,{a,b}}B = \{a, \{a\}, b, \{a, b\}\} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde aa eleman olarak bulunur fakat {a}\{a\} eleman olarak bulunmaz sorusunu çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Koşulları sağlayan alt kümeleri tek tek yazarak da bulabiliriz. 11 ve 22 kesinlikle bulunacağına göre her alt küme en az {1,2}\{1, 2\} elemanlarını içermelidir. {1,2}\{1, 2\} elemanı ise bulunmayacaktır. Geriye kalan {3}\{3\} ve 44 elemanlarını bu kümenin içine dağıtırsak:
1) {1,2}\{1, 2\}
2) {1,2,{3}}\{1, 2, \{3\}\}
3) {1,2,4}\{1, 2, 4\}
4) {1,2,{3},4}\{1, 2, \{3\}, 4\}
olmak üzere 4 farklı alt küme yazılabilir.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 42Soru →

Bir ff fonksiyonu,

f(x)=x2−4x−12+19−∣x−2∣f(x) = \sqrt{x^2 - 4x - 12} + \frac{1}{\sqrt{9 - |x - 2|}}

kuralı ile verilmiştir.

Buna göre, bu fonksiyonun en geniş tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

20
Doğru cevap 20'dir. Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için x2−4x−12≥0x^2 - 4x - 12 \ge 0 ve 9−∣x−2∣>09 - |x - 2| > 0 koşullarının her ikisi de sağlanmalıdır. Buradan en geniş tanım kümesi (−7,−2]∪[6,11)(-7, -2] \cup [6, 11) olarak elde edilir. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı ise 20'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci kareköklü ifadenin tanımlı olma koşulunu belirleme.
x2−4x−12≥0  ⟹  (x−6)(x+2)≥0  ⟹  x≤−2x^2 - 4x - 12 \ge 0 \implies (x-6)(x+2) \ge 0 \implies x \le -2 veya x≥6x \ge 6.
Çift dereceli köklü ifadelerin tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması gerekir.
2
İkinci rasyonel ve kareköklü ifadenin tanımlı olma koşulunu belirleme.
9−∣x−2∣>0  ⟹  ∣x−2∣<9  ⟹  −9<x−2<9  ⟹  −7<x<119 - |x - 2| > 0 \implies |x - 2| < 9 \implies -9 < x - 2 < 9 \implies -7 < x < 11.
Hem çift dereceli köklü ifadenin tanımlı olması hem de paydanın sıfırdan farklı olması için kök içindeki ifadenin sıfırdan kesinlikle büyük olması gerekir.
3
İki koşulun kesişimini alarak en geniş tanım kümesini bulma.
x∈(−7,−2]∪[6,11)x \in (-7, -2] \cup [6, 11).
Fonksiyonun her iki kısmının da aynı anda tanımlı olması için elde edilen aralıkların kesişimi alınmalıdır.
4
Bu kümedeki tam sayıları belirleme ve toplama.
Tanım kümesindeki tam sayılar: −6,−5,−4,−3,−2,6,7,8,9,10-6, -5, -4, -3, -2, 6, 7, 8, 9, 10. Bu sayıların toplamı: −20+40=20-20 + 40 = 20.
Tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı sorulduğu için bu değerlerin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun reel sayılarda tanımlı olması için kareköklü ifadelerin içinin negatif olmaması ve paydanın sıfır olmaması gerekir.

İpuçları

1
Her iki ifadenin de ayrı ayrı reel sayılarda tanımlı olabilmesi için gereken koşulları yazın.
2
Birinci ifadenin tanımlı olması için x2−4x−12≥0x^2 - 4x - 12 \ge 0, ikinci ifadenin tanımlı olması için ise 9−∣x−2∣>09 - |x-2| > 0 olmalıdır. Bu eşitsizlikleri çözüp kesiştirin.
3
Bulduğunuz kesişim aralığı (−7,−2]∪[6,11)(-7, -2] \cup [6, 11) olmalıdır. Bu aralıktaki tam sayıları listeleyip toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde köklü ve mutlak değerli ifadelerin paydada yer aldığı tanım kümesi sorularını çözerek pratik yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 43Soru →
AA ve BB kümeleri için,
s(A∖B)=3s(A \setminus B) = 3
s(B∖A)=4s(B \setminus A) = 4
s((A∩B)×(A∪B))=30s((A \cap B) \times (A \cup B)) = 30
olduğuna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

42
Verilen fark kümeleri ve kartezyen çarpım eleman sayısı ilişkisi kullanılarak kesişim kümesinin eleman sayısı 33 olarak belirlenir. Buradan AA kümesinin eleman sayısı 66, BB kümesinin eleman sayısı 77 bulunur. Kartezyen çarpım tanımı gereği bu iki değer çarpıldığında 6⋅7=426 \cdot 7 = 42 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim kümesinin eleman sayısını bir değişken ile ifade edip birleşim kümesinin eleman sayısını bu değişken cinsinden yazalım.
s(A∩B)=xs(A \cap B) = x olsun. Bu durumda birleşim kümesinin eleman sayısı s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)=3+4+x=7+xs(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) = 3 + 4 + x = 7 + x olur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünde kullanmak üzere birleşim kümesinin eleman sayısını kesişim kümesine bağlı olarak ifade etmemiz gerekir.
2
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygulayarak bir denklem kuralım.
s((A∩B)×(A∪B))=s(A∩B)⋅s(A∪B)=30s((A \cap B) \times (A \cup B)) = s(A \cap B) \cdot s(A \cup B) = 30 olduğundan, x⋅(7+x)=30x \cdot (7 + x) = 30 denklemi elde edilir.
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözelim.
x2+7x−30=0  ⟹  (x+10)(x−3)=0x^2 + 7x - 30 = 0 \implies (x + 10)(x - 3) = 0 olur. xx bir kümenin eleman sayısı olduğundan negatif olamaz (x≥0x \geq 0), bu yüzden x=3x = 3 bulunur.
Kesişim kümesinin eleman sayısını net olarak belirlemek için denklemin pozitif kökünü bulmamız gerekir.
4
AA ve BB kümelerinin eleman sayılarını hesaplayalım.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=3+3=6s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 3 + 3 = 6 ve s(B)=s(B∖A)+s(A∩B)=4+3=7s(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B) = 4 + 3 = 7 olarak bulunur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısını bulabilmek için ��ncelikle çarpımı oluşturan kümelerin kendi eleman sayılarını bulmalıyız.
5
A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplayalım.
s(A×B)=s(A)⋅s(B)=6⋅7=42s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 6 \cdot 7 = 42 elde edilir.
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir: s(X×Y)=s(X)⋅s(Y)s(X \times Y) = s(X) \cdot s(Y).

İpuçları

1
Birleşim kümesinin eleman sayısını s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) formülüyle bulabileceğinizi hatırlayın.
2
s(A∩B)=xs(A \cap B) = x diyerek verilen kartezyen çarpım eleman sayısından yararlanıp xx değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edin.
3
x(7+x)=30x(7 + x) = 30 denklemini sağlayan pozitif tam sayı değerini bulduktan sonra s(A)=3+xs(A) = 3 + x ve s(B)=4+xs(B) = 4 + x eşitliklerini kullanarak kümelerin eleman sayılarını bulun.

Daha Fazla Pratik

Kümelerin kartezyen çarpımının grafik üzerindeki gösterimi ve oluşturduğu kapalı bölgenin alanını bulma ile ilgili soruları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgelere eleman sayılarını yerleştirebilirsiniz. Kesişim bölgesine xx yazıldığında, AA kümesinin kalan kısmına 33, BB kümesinin kalan kısmına 44 yazılır. Kesişim kümesinin eleman sayısı xx, birleşim kümesinin eleman sayısı x+7x + 7 olur. Bu iki bölgenin eleman sayılarının çarpımı 3030 olacağından, çarpımları 3030 ve aralarındaki fark 77 olan pozitif tam sayıları düşünürsek bu sayıların 33 ve 1010 olduğu kolayca görülür. Buradan x=3x = 3 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 44Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu

f(x)={x2−12,x<32x−13,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{2}, & x < 3 \\ \frac{2x - 1}{3}, & x \ge 3 \end{cases}

biçiminde veriliyor.

Buna göre, f(f(1))+f(f(5))f(f(1)) + f(f(5)) toplam��nın değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 76\frac{7}{6}

Cevap

İfadenin doğru değeri 76\frac{7}{6}'dır.
Doğru adımlar takip edildiğinde f(f(1))=−12f(f(1)) = -\frac{1}{2} ve f(f(5))=53f(f(5)) = \frac{5}{3} değerleri elde edilir. Bu iki rasyonel değerin paydaları 66 paydasında eşitlenerek toplandığında sonuç 76\frac{7}{6} olur.

Adım Adım Çözüm

1
f(1)f(1) değerini hesaplayın.
1<31 < 3 olduğundan f(x)=x2−12f(x) = \frac{x^2 - 1}{2} dalı kullanılır. Buradan f(1)=12−12=0f(1) = \frac{1^2 - 1}{2} = 0 bulunur.
Bileşke fonksiyonun iç kısmındaki ilk değeri bulmak için.
2
f(f(1))=f(0)f(f(1)) = f(0) değerini hesaplayın.
0<30 < 3 olduğundan yine f(x)=x2−12f(x) = \frac{x^2 - 1}{2} dalı kullanılır. Buradan f(0)=02−12=−12f(0) = \frac{0^2 - 1}{2} = -\frac{1}{2} bulunur.
İlk terimin nihai değerini elde etmek için.
3
f(5)f(5) değerini hesaplayın.
5≥35 \ge 3 olduğundan f(x)=2x−13f(x) = \frac{2x - 1}{3} dalı kullanılır. Buradan f(5)=2(5)−13=93=3f(5) = \frac{2(5) - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3 bulunur.
İkinci bileşke ifadenin iç kısmındaki değeri bulmak için.
4
f(f(5))=f(3)f(f(5)) = f(3) değerini hesaplayın.
3≥33 \ge 3 olduğundan yine f(x)=2x−13f(x) = \frac{2x - 1}{3} dalı kullanılır. Buradan f(3)=2(3)−13=53f(3) = \frac{2(3) - 1}{3} = \frac{5}{3} bulunur.
İkinci terimin nihai değerini elde etmek için.
5
Elde edilen iki değeri toplayın.
f(f(1))+f(f(5))=−12+53=−3+106=76f(f(1)) + f(f(5)) = -\frac{1}{2} + \frac{5}{3} = \frac{-3 + 10}{6} = \frac{7}{6} bulunur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda verilen girdinin tanım aralığına göre uygun kuralın seçilmesi ve bileşke değerlerin adım adım hesaplanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 45Soru →
Her xx gerçel sayısı için
3f(x)−f(2−x)=x2+2x3f(x) - f(2-x) = x^2 + 2x
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3
Verilen fonksiyon denkleminde sırasıyla x=2x=2 ve x=0x=0 değerleri yerine yazıldığında, 3f(2)−f(0)=83f(2) - f(0) = 8 ve 3f(0)−f(2)=03f(0) - f(2) = 0 denklemleri elde edilir. İkinci denklemden f(2)=3f(0)f(2) = 3f(0) olduğu görülür. Bu ifade ilk denklemde yerine yazıldığında 9f(0)−f(0)=8⇒8f(0)=8⇒f(0)=19f(0) - f(0) = 8 \Rightarrow 8f(0) = 8 \Rightarrow f(0) = 1 bulunur. Buradan da f(2)=3(1)=3f(2) = 3(1) = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonda x=2x = 2 yazarak f(2)f(2) ve f(0)f(0) terimlerini içeren ilk denklemi elde edin.
3f(2)−f(0)=22+2(2)=83f(2) - f(0) = 2^2 + 2(2) = 8
f(2)f(2) değerini bulmak için öncelikle bu değeri içeren bir denklem oluşturmamız gerekir.
2
İlk denklemdeki bilinmeyen f(0)f(0) değerini bulmak amacıyla, verilen fonksiyonda bu kez x=0x = 0 yazarak ikinci denklemi elde edin.
3f(0)−f(2)=02+2(0)=03f(0) - f(2) = 0^2 + 2(0) = 0
f(2)f(2) ve f(0)f(0) bilinmeyenlerine sahip iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak.
3
İkinci denklemden f(2)=3f(0)f(2) = 3f(0) eşitliğini bulun ve bu eşitliği ilk denklemde yerine yazarak f(0)f(0) değerini hesaplayın.
3(3f(0))−f(0)=8⇒9f(0)−f(0)=8⇒8f(0)=8⇒f(0)=13(3f(0)) - f(0) = 8 \Rightarrow 9f(0) - f(0) = 8 \Rightarrow 8f(0) = 8 \Rightarrow f(0) = 1
Denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle çözerek bilinmeyen değerlerden birini belirlemek.
4
Bulunan f(0)=1f(0) = 1 değerini f(2)=3f(0)f(2) = 3f(0) eşitliğinde yerine yazarak f(2)f(2) değerine ulaşın.
f(2)=3(1)=3f(2) = 3(1) = 3
Soruda bizden istenen nihai fonksiyon değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyon denkleminde uygun değerler yerine yazılıp elde edilen denklemlerin ortak çözülmesiyle bilinmeyen fonksiyon değerinin bulunması.

İpuçları

1
Soruda istenen f(2)f(2) değerini elde etmek için öncelikle verilen eşitlikte xx yerine 22 yazarak bir denklem kurun.
2
x=2x=2 yazdığınızda ortaya çıkan f(0)f(0) bilinmeyenini bulabilmek için bu kez eşitlikte xx yerine 00 yazıp yeni bir denklem daha elde edin.
3
Elde ettiğiniz 3f(2)−f(0)=83f(2) - f(0) = 8 ve 3f(0)−f(2)=03f(0) - f(2) = 0 denklemlerini iki bilinmeyenli denklem sistemi olarak ortak çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir yöntemle çözülen, içinde f(x)f(x) ve f(1/x)f(1/x) veya f(−x)f(-x) barındıran fonksiyonel denklem sorularını çözerek bu pratik yaklaşımı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İkinci denklem olan 3f(0)−f(2)=03f(0) - f(2) = 0 eşitliğini 33 ile çarparak 9f(0)−3f(2)=09f(0) - 3f(2) = 0 elde edebiliriz. Bu denklemi ilk denklem olan 3f(2)−f(0)=83f(2) - f(0) = 8 ile taraf tarafa topladığımızda, 3f(2)3f(2) terimleri birbirini götürür ve doğrudan 8f(0)=8⇒f(0)=18f(0) = 8 \Rightarrow f(0) = 1 sonucuna ulaşabiliriz. Ardından f(2)=3f(0)f(2) = 3f(0) bağıntısından f(2)=3f(2) = 3 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 46Soru →

Bir kütüphaneden kitap ödünç alan 7575 okuyucunun tarih ve bilim kurgu kitaplarını tercih etme durumlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Yalnızca tarih kitabı ödünç alanların sayısı, her iki türden de kitap almayanların sayısının 44 katıdır.
* Bilim kurgu kitabı ödünç alanların sayısı, tarih kitabı ödünç almayanların sayısının 22 katıdır.
* Her iki türden de kitap alanların sayısı, yalnızca bilim kurgu kitabı alanların sayısından 1010 fazladır.

Buna göre, bu kütüphaneden tarih kitabı ödünç alan toplam okuyucu sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Tarih kitabı ödünç alan toplam okuyucu sayısı 50'dir.
Tarih kitabı alan okuyucu sayısı, yalnızca tarih kitabı alanlar (2020) ile her iki kitaptan da alanların (3030) toplamı olan 5050'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Küme bileşenlerini değişkenlerle ifade etme.
Tarih kitabı alanları TT, Bilim Kurgu alanları BB ile gösterelim. Dört ayrık bölge tanımlayalım:
* aa: Yalnızca Tarih alanlar (T∖BT \setminus B)
* bb: Yalnızca Bilim Kurgu alanlar (B∖TB \setminus T)
* cc: Her ikisini de alanlar (T∩BT \cap B)
* dd: Hiçbirini almayanlar (T′∩B′T' \cap B')
Toplam okuyucu sayısı: a+b+c+d=75a + b + c + d = 75 olur.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürebilmek için her bir küme bölgesini ayrı bir değişkenle temsil etmemiz gerekir.
2
Verilen bilgilere göre denklemleri kurma.
* Birinci bilgiye göre: a=4da = 4d
* İkinci bilgiye göre: Bilim kurgu alanlar (b+cb+c), tarih almayanların (b+db+d) 2 katıdır:
b+c=2(b+d)  ⟹  b+c=2b+2d  ⟹  c=b+2db + c = 2(b + d) \implies b + c = 2b + 2d \implies c = b + 2d
* Üçüncü bilgiye göre: c=b+10c = b + 10
Problemin çözümünü sağlayan bilinmeyenlerin değerlerini bulmak için denklem sistemini oluşturuyoruz.
3
Denklem sistemini çözerek bilinmeyenleri bulma.
c=b+2dc = b + 2d ve c=b+10c = b + 10 eşitliklerinden:
b+2d=b+10  ⟹  2d=10  ⟹  d=5b + 2d = b + 10 \implies 2d = 10 \implies d = 5 bulunur.
d=5d = 5 ise a=4d=4×5=20a = 4d = 4 \times 5 = 20 olur.
Toplam denkleminde yerine yazarsak:
a+b+c+d=75  ⟹  20+b+(b+10)+5=75  ⟹  2b+35=75  ⟹  2b=40  ⟹  b=20a + b + c + d = 75 \implies 20 + b + (b + 10) + 5 = 75 \implies 2b + 35 = 75 \implies 2b = 40 \implies b = 20 bulunur.
Buradan c=b+10=20+10=30c = b + 10 = 20 + 10 = 30 elde edilir.
Ende edilen eşitlikleri birbirinin yerine koyarak her bir bölgedeki okuyucu sayısını hesaplıyoruz.
4
Tarih kitabı alanların toplam sayısını hesaplama.
Tarih kitabı alan toplam okuyucu sayısı:
s(T)=a+c=20+30=50s(T) = a + c = 20 + 30 = 50 olarak bulunur.
Soruda bizden istenen tarih kitabı alanların toplam sayısı, yalnızca tarih alanlar ile her iki kitabı da alanların toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

İki kümenin kesişimi, farkı ve tümleyeni kullanılarak kurulan sözel problemleri denklem sistemine dönüştürüp çözme.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizilerek bölgeler harflendirilir. Soruda verilen tüm oranlar şema üzerine yerleştirildikten sonra bilinmeyenler sırayla elenerek doğrudan tarih kümesinin sınırları içerisindeki toplam eleman sayısı bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 47Soru →
Her nn pozitif tam sayısı için tanımlı bir ff fonksiyonu
f(n+1)−f(n)=1n2+nf(n+1) - f(n) = \frac{1}{n^2 + n}
bağıntısın�� sağlamaktadır.
f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, f(4)f(4) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 114\frac{11}{4}

Cevap

114\frac{11}{4}
Fonksiyonun ardışık terimleri arasındaki farkları veren bağıntı adım adım kullanıldığında f(4)=114f(4) = \frac{11}{4} değeri elde edilir. Alternatif olarak, bağıntı f(n+1)−f(n)=1n−1n+1f(n+1) - f(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} şeklinde yazılarak taraf tarafa toplandığında f(4)−f(1)=1−14=34f(4) - f(1) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} elde edilir. Buradan f(4)=2+34=114f(4) = 2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
n=1n = 1 için bağıntıda yerine yazarak f(2)f(2) değerini bulalım.
f(2)−f(1)=11(2)⇒f(2)−2=12⇒f(2)=52f(2) - f(1) = \frac{1}{1(2)} \Rightarrow f(2) - 2 = \frac{1}{2} \Rightarrow f(2) = \frac{5}{2}
Bağıntıda bir sonraki terimi elde etmek için başlangıç terimi kullanılır.
2
n=2n = 2 için bağıntıda yerine yazarak f(3)f(3) değerini bulalım.
f(3)−f(2)=12(3)⇒f(3)−52=16⇒f(3)=156+16=166=83f(3) - f(2) = \frac{1}{2(3)} \Rightarrow f(3) - \frac{5}{2} = \frac{1}{6} \Rightarrow f(3) = \frac{15}{6} + \frac{1}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}
Bir önceki adımda elde edilen değer yerine yazılarak zincirleme işlem devam ettirilir.
3
n=3n = 3 için bağıntıda yerine yazarak f(4)f(4) değerini elde edelim.
f(4)−f(3)=13(4)⇒f(4)−83=112⇒f(4)=3212+112=3312=114f(4) - f(3) = \frac{1}{3(4)} \Rightarrow f(4) - \frac{8}{3} = \frac{1}{12} \Rightarrow f(4) = \frac{32}{12} + \frac{1}{12} = \frac{33}{12} = \frac{11}{4}
Son adımda aranan f(4)f(4) değerine ulaşmak için hesaplamalar tamamlanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma (Teleskopik Toplam)

İpuçları

1
Soruyu çözmek için n=1n = 1, n=2n = 2 ve n=3n = 3 değerlerini sırasıyla bağıntıda yerine yazarak adım adım ilerleyebilirsiniz.
2
Bağıntıyı f(n+1)−f(n)=1n(n+1)f(n+1) - f(n) = \frac{1}{n(n+1)} şeklinde düzenleyip taraf tarafa toplamayı deneyin.
3
1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} basit kesirlere ayırma özdeşliğini kullanarak terimlerin birbirini götürmesini sağlayabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde tanımlanan çarpımsal (teleskopik çarpım) fonksiyon sorularını inceleyerek bu yöntemi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

f(n+1)−f(n)=1n−1n+1f(n+1) - f(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} şeklinde yazılabilir. n=1,2,3n=1, 2, 3 için bu eşitlikleri alt alta yazıp toplarsak:
(f(2)−f(1))+(f(3)−f(2))+(f(4)−f(3))=(1−12)+(12−13)+(13−14)(f(2)-f(1)) + (f(3)-f(2)) + (f(4)-f(3)) = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})
Sol tarafta ortadaki terimler, sağ tarafta ise aradaki kesirler birbirini sadeleştirir:
f(4)−f(1)=1−14=34f(4) - f(1) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
f(1)=2f(1) = 2 olduğundan, f(4)=2+34=114f(4) = 2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4} elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 48Soru →
AA ve BB kümeleri için,
s(A∪B)=5⋅s(A∩B)s(A \cup B) = 5 \cdot s(A \cap B)
s(A∖B)=14s(A \setminus B) = 14
olduğuna göre, B∖AB \setminus A kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

2
Kümelerin eleman sayılarının negatif olamayacağı ve tam sayı olması gerektiği kurallarından yola çıkılarak s(A∩B)=xs(A \cap B) = x ve s(B∖A)=ys(B \setminus A) = y için y=4x−14y = 4x - 14 denklemi elde edilir. yy değerinin en az sıfır olabilmesi için xx en az 4 olmalıdır. Buradan yy en az 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Küme eleman sayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için değişken tanımlama.
s(A∩B)=xs(A \cap B) = x ve s(B∖A)=ys(B \setminus A) = y olsun. Bu durumda soruda verilen orana göre s(A∪B)=5xs(A \cup B) = 5x olur.
Kümeler arasındaki ilişkileri cebirsel bir denkleme dönüştürmek için.
2
Verilen de��erleri birleşim kümesi formülünde yerine koyarak düzenleme yapma.
Kümelerde birleşim formülü s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) şeklindedir. Değerler yerine yazıldığında:
5x=14+y+x5x = 14 + y + x
4x=14+y4x = 14 + y
y=4x−14y = 4x - 14
elde edilir.
B∖AB \setminus A kümesinin eleman sayısını (yy), kesişim kümesinin eleman sayısı (xx) cinsinden ifade etmek için.
3
Eleman sayısının negatif olmama ve tam sayı olma koşullarını uygulama.
Bir kümenin eleman sayısı negatif olamayacağından y≥0y \geq 0 olmalıdır. Ayrıca eleman sayıları birer tam sayı olmalıdır.
4x−14≥0  ⟹  4x≥14  ⟹  x≥3,54x - 14 \geq 0 \implies 4x \geq 14 \implies x \geq 3,5
Bu koşulu sağlayan en küçük xx tam sayısı 44 olarak belirlenir.
Gerçekçi küme koşullarını sağlayarak en küçük eleman sayısına ulaşmak için.
4
Bulunan en küçük kesişim eleman sayısını kullanarak fark kümesinin eleman sayısını hesaplama.
x=4x = 4 değeri için:
y=4(4)−14=16−14=2y = 4(4) - 14 = 16 - 14 = 2
bulunur.
B∖AB \setminus A kümesinin alabileceği en küçük eleman sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim, Kesişim ve Fark İşlemleri Arasındaki İlişkiler
Soru 49Soru →
Her xx gerçel sayısı için tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)−x⋅f(1−x)=2x+1f(x) - x \cdot f(1-x) = 2x + 1
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Doğru cevap 1'dir.
Fonksiyon kuralında sırasıyla x=2x = 2 ve x=−1x = -1 değerleri yazıldığında iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşur. Bu sistem çözüldüğünde f(2)f(2) değeri 1 olarak bulunur. Dolayısıyla 1 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonda x=2x = 2 yazarak ilk denklemi elde ederiz.
f(2)−2⋅f(−1)=5f(2) - 2 \cdot f(-1) = 5
f(2)f(2) ve f(−1)f(-1) terimleri arasında ilk ilişkiyi kurmak için.
2
Denklemdeki f(−1)f(-1) terimini bulabilmek için bu kez fonksiyonda x=−1x = -1 yazarız.
f(−1)−(−1)⋅f(2)=2(−1)+1  ⟹  f(−1)+f(2)=−1f(-1) - (-1) \cdot f(2) = 2(-1) + 1 \implies f(-1) + f(2) = -1
Bilinmeyenleri çözebilmek için ikinci bir bağımsız denklem elde etmek.
3
Bulunan iki bilinmeyenli denklem sistemini ortak çözeriz. f(−1)+f(2)=−1f(-1) + f(2) = -1 denklemini 2 ile çarpıp f(2)−2f(−1)=5f(2) - 2f(-1) = 5 denklemi ile taraf tarafa toplar��z.
3f(2)=3  ⟹  f(2)=13f(2) = 3 \implies f(2) = 1 elde edilir.
f(−1)f(-1) terimini yok ederek doğrudan f(2)f(2) değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Fonksiyonel denklemlerde değişken yerine uygun değerler yazılarak elde edilen denklem sistemlerinin çözülmesi.
Soru 50Soru →

Bir yazılım şirketinde çalışan 60 yazılımcının bildiği programlama dilleri (Python ve Java) ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Bu yazılımcılardan 36'sı Python dilini bilmektedir.
* Java dilini bilen yazılımcı sayısı, sadece Python dilini bilen yazılımcı sayısının 2 katıdır.
* Her iki dili de bilmeyen yazılımcı sayısı 9'dur.

Buna göre, bu şirkette her iki dili de bilen yazılımcı sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Her iki dili de bilen yazılımcı sayısı 19'dur.
Soruda verilen bilgiler doğrultusunda sadece Java bilen yazılımcı sayısı 15 olarak bulunur. Her iki dili de bilen yazılımcı sayısına xx dediğimizde, sadece Python bilenler 36−x36-x, Java bilenler ise 15+x15+x olur. Verilen 'Java bilenler, sadece Python bilenlerin 2 katıdır' koşulu ile 15+x=2(36−x)15+x = 2(36-x) denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü x=19x=19 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam yazılımcı sayısından, Python bilenlerin ve hiçbir dili bilmeyenlerin sayısını çıkararak sadece Java bilen yazılımcı sayısını bulalım.
60−36−9=1560 - 36 - 9 = 15 yazılımcı sadece Java bilmektedir.
Evrensel kümeden Python bilenlerin kümesini ve hiçbir dili bilmeyenleri çıkardığımızda geriye kalan bölge sadece Java bilenlerin bölgesidir.
2
Her iki dili de bilen yazılımcı sayısına xx diyerek sadece Python bilen yazılımcı sayısını xx cinsinden ifade edelim.
Sadece Python bilen yazılımcı sayısı: 36−x36 - x
Python bilenlerin toplam sayısı 36 olduğuna göre, sadece Python bilenlerin sayısı, toplam sayıdan her iki dili de bilenlerin (xx) çıkarılmasıyla bulunur.
3
Java bilenlerin toplam sayısını xx cinsinden yazalım.
Java bilen yazılımcı sayısı: 15+x15 + x
Java bilenlerin sayısı, sadece Java bilenler (15) ile her iki dili de bilenlerin (xx) toplamıdır.
4
Soruda verilen orantıyı kullanarak denklemi kuralım ve xx değerini bulalım.
15+x=2×(36−x)⇒15+x=72−2x⇒3x=57⇒x=1915 + x = 2 \times (36 - x) \Rightarrow 15 + x = 72 - 2x \Rightarrow 3x = 57 \Rightarrow x = 19 elde edilir.
Java bilenlerin sayısı, sadece Python bilenlerin 2 katı olduğuna göre bu eşitlikten xx (her iki dili de bilenler) bulunur.

Anahtar Kavram

Kümelerde eleman sayısı problemleri ve denklem kurma uygulamaları
Soru 51Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu için
f(x+f(x))=3x−5f(x + f(x)) = 3x - 5
eşitliği sağlanmaktadır.
f(2)=3f(2) = 3 olduğuna göre, f(5)f(5) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Fonksiyonun f(5)f(5) değeri 1 olarak bulunur.
Eşitlikte xx yerine 22 yazıldığında parantez içi 2+f(2)2 + f(2) olur. f(2)=3f(2) = 3 olarak verildiğinden, bu ifade 2+3=52 + 3 = 5 haline gelir. Eşitliğin sağ tarafı ise 3⋅2−5=13 \cdot 2 - 5 = 1 olur. Böylece f(5)=1f(5) = 1 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen f(x+f(x))=3x−5f(x + f(x)) = 3x - 5 eşitliğinde x=2x = 2 yazılır.
f(2+f(2))=3⋅2−5f(2 + f(2)) = 3 \cdot 2 - 5
f(2)=3f(2) = 3 bilgisi verildiği için, bu bilgiyi kullanabilecek şekilde eşitlik düzenlenir.
2
f(2)f(2) yerine 33 yazılıp işlemler tamamlanır.
f(2+3)=6−5  ⟹  f(5)=1f(2 + 3) = 6 - 5 \implies f(5) = 1
Parantez içi 55 değerine ulaşır ve sağ taraftaki çıkarma işlemi yapılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun kuralı verildiğinde, tanım kümesindeki bir elemanın görüntüsünü (değerini) bulmak için uygun değişken dönüşümü veya yerine yazma yöntemi kullanılır.
Soru 52Soru →

A={x∈Z:−1<x≤5}A = \{x \in \mathbb{Z} : -1 < x \leq 5\} kümesi veriliyor. BB kümesi asal rakamlardan, CC kümesi ise tek rakamlardan oluşan kümelerdir. Buna göre, (A×B)∩(C×A)(A \times B) \cap (C \times A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 9 olarak bulunur.
Kartezyen çarpım kümesinin kesişim özelliği kullanılarak (A×B)∩(C×A)=(A∩C)×(B∩A)(A \times B) \cap (C \times A) = (A \cap C) \times (B \cap A) eşitliği elde edilir. Burada s(A∩C)=3s(A \cap C) = 3 ve s(B∩A)=3s(B \cap A) = 3 olduğundan, çarpım kümesinin eleman sayısı 3×3=93 \times 3 = 9 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını listeleyip eleman sayısını bulalım.
A={0,1,2,3,4,5}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} ve s(A)=6s(A) = 6 olur.
−1<x≤5-1 < x \leq 5 aralığındaki tam sayılar AA kümesini oluşturur.
2
BB ve CC kümelerinin elemanlarını belirleyelim.
B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\} ve C={1,3,5,7,9}C = \{1, 3, 5, 7, 9\} olur.
Asal rakamlar BB kümesini, tek rakamlar ise CC kümesini tanımlar.
3
(A×B)∩(C×A)(A \times B) \cap (C \times A) ifadesini kartezyen çarpımın kesişim özelliğiyle düzenleyip sonucu hesaplayalım.
(A×B)∩(C×A)=(A∩C)×(B∩A)(A \times B) \cap (C \times A) = (A \cap C) \times (B \cap A) özelliğinden s(A∩C)×s(B∩A)=3×3=9s(A \cap C) \times s(B \cap A) = 3 \times 3 = 9 bulunur.
A∩C={1,3,5}A \cap C = \{1, 3, 5\} ve B∩A={2,3,5}B \cap A = \{2, 3, 5\} kümelerinin eleman sayıları 3'tür.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Kesişim Özelliği ve Eleman Sayısı
Soru 53Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları
f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x
g(x)=x+42g(x) = \frac{x + 4}{2}
biçiminde veriliyor.
Buna göre, (f∘g)(2)(f \circ g)(2) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İfadenin de��eri 3'tür.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği (f∘g)(2)=f(g(2))(f \circ g)(2) = f(g(2)) yazılır. Öncelikle en içteki fonksiyon olan g(2)g(2) değeri hesaplanır. İlgili fonksiyonda xx yerine 2 yazıldığında g(2)=2+42=3g(2) = \frac{2+4}{2} = 3 elde edilir. Daha sonra elde edilen bu 3 değeri dıştaki f(x)f(x) fonksiyonunda girdi olarak kullanılır: f(3)=32−2(3)=9−6=3f(3) = 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3 bulunur. Bu adımlar sonucunda doğru değere ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını kullanarak ifadeyi daha açık bir şekilde yazın.
(f∘g)(2)=f(g(2))(f \circ g)(2) = f(g(2)) elde edilir.
Bileşke fonksiyon kuralına göre sağdaki fonksiyonun çıktısı, soldaki fonksiyonun girdisi olur.
2
İçteki fonksiyon olan g(2)g(2) değerini hesaplayın.
g(2)=2+42=62=3g(2) = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 bulunur.
f(g(2))f(g(2)) ifadesinde önce parantez içindeki değeri bulmam��z gerekir.
3
Bulduğunuz değeri dıştaki fonksiyonda yerine yazarak nihai sonucu bulun.
f(3)=32−2⋅3=9−6=3f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3 bulunur.
f(g(2))f(g(2)) ifadesi g(2)=3g(2) = 3 olduğu için f(3)f(3) değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda işlem sırasının sağdan sola (içten dışa) doğru uygulanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 54Soru →
AA ve BB kümelerinin birleşimi ile kartezyen çarpımının eleman sayıları sırasıyla şu şekildedir:
s(A∪B)=10s(A \cup B) = 10
s(A×B)=24s(A \times B) = 24

AA ve BB kümelerinin en az bir ortak elemanı bulunduğuna göre, (A∖B)×(B∖A)(A \setminus B) \times (B \setminus A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Kartezyen çarpımın eleman sayısı 14'tür.
Doğru cevap 14'tür. Kartezyen çarpım eleman sayısı formülüne göre iki kümenin eleman sayılarının çarpımı 24 olmalıdır. Birleşim formülünden kesişim eleman sayısı formüle edildiğinde, ortak eleman bulunma ve alt küme sınırlama şartlarını sadece 3 ve 8 elemanlı kümeler sağlar. Buradan elde edilen fark kümelerinin eleman sayıları 2 ve 7 olup, bunların kartezyen çarpımının eleman sayısı 14 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü kullanarak s(A)⋅s(B)s(A) \cdot s(B) çarpımını belirlemek.
s(A×B)=s(A)⋅s(B)=24s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 24
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, bileşen kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü yazarak kesişim kümesinin eleman sayısını veren ifadeyi bulmak.
s(A∩B)=s(A)+s(B)−10s(A \cap B) = s(A) + s(B) - 10
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) olduğundan ve s(A∪B)=10s(A \cup B) = 10 verildiğinden bu eşitlik elde edilir.
3
Çarpımları 24 olan pozitif tam sayı çiftlerini (s(A)s(A) ve s(B)s(B)) inceleyerek küme sınırlamalarını kontrol etmek.
s(A)=3s(A) = 3 ve s(B)=8s(B) = 8 (veya tam tersi) olup s(A∩B)=1s(A \cap B) = 1 bulunur.
Kesişimin en az 1 elemanlı olması ve kesişim eleman sayısının kümelerin eleman sayılarından küçük veya eşit olması koşullarını sadece 3 ve 8 çarpan çifti sağlar.
4
Fark kümelerinin eleman sayılarını bulmak ve kartezyen çarpımlarını hesaplamak.
s(A∖B)⋅s(B∖A)=(3−1)⋅(8−1)=2⋅7=14s(A \setminus B) \cdot s(B \setminus A) = (3 - 1) \cdot (8 - 1) = 2 \cdot 7 = 14 elde edilir.
Her iki kümeden de kesişim kümesinin eleman sayısı çıkarılarak fark kümelerinin eleman sayıları bulunur ve bu değerler çarpılır.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım Eleman Sayısı ve Kümelerde İşlemler

İpuçları

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısının, iki kümenin eleman sayılarının çarpımına eşit olduğunu hatırlayın.
2
Çarpımları 24 olan pozitif tam sayı çiftlerini bulun ve bu çiftlerin birleşim formülündeki toplamlarını inceleyin.
3
Kümelerin en az bir ortak elemanı olduğu ve kesişim eleman sayısının kümelerin kendi eleman sayısını aşamayacağı sınırlarını kullanarak doğru çarpan çiftini (3 ve 8) belirleyin.

Daha Fazla Pratik

Kartezyen çarpım kümelerinin analitik düzlemdeki grafikleri ve bu grafiklerin sınırladığı alanlarla ilgili soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgelere eleman sayıları atanabilir. Ortadaki kesişim bölgesine x dersek, A fark B bölgesi a, B fark A bölgesi b olsun. Buradan a + x + b = 10 ve (a + x)(b + x) = 24 denklemleri elde edilir. x >= 1 ve x <= min(a+x, b+x) koşuluyla sistem çözüldüğünde x=1, a=2 ve b=7 bulunur. İstenen kartezyen çarpımın eleman sayısı a * b = 2 * 7 = 14 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 55Soru →
Tanımlı oldukları aralıklarda ff ve gg fonksiyonları
f(x)=x2−2x−5f(x) = x^2 - 2x - 5
g(x)=2x+6x−1g(x) = \frac{2x + 6}{x - 1}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, (f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

19
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(3)=f(g(3))(f \circ g)(3) = f(g(3))'tür. İlk olarak içteki fonksiyon olan g(3)g(3) değeri hesaplanır. g(3)=2(3)+63−1=6g(3) = \frac{2(3)+6}{3-1} = 6 bulunur. Daha sonra bu değer dıştaki ff fonksiyonunda yerine yazılarak f(6)=62−2(6)−5=19f(6) = 6^2 - 2(6) - 5 = 19 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını kullanarak (f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesini f(g(3))f(g(3)) şeklinde yazın.
f(g(3))f(g(3))
Bileşke fonksiyon işlemi sağdan sola doğru uygulanır.
2
g(x)g(x) fonksiyonunda x=3x = 3 yazarak g(3)g(3) değerini hesaplayın.
g(3)=6g(3) = 6
g(3)=2(3)+63−1=122=6g(3) = \frac{2(3) + 6}{3 - 1} = \frac{12}{2} = 6 elde edilir.
3
Bulunan g(3)=6g(3) = 6 değerini f(x)f(x) fonksiyonunda yerine yazarak f(6)f(6) değerini hesaplayın.
f(6)=19f(6) = 19
f(6)=62−2(6)−5=36−12−5=19f(6) = 6^2 - 2(6) - 5 = 36 - 12 - 5 = 19 bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda değer bulma işlemi sağdaki fonksiyonun görüntüsünün soldaki fonksiyona girdi olarak yazılmasıyla ger��ekleştirilir.

Alternatif Yöntem

Bileşke fonksiyon işlemini doğrudan f(g(x))f(g(x)) fonksiyonunun kuralını bulup sonra x=3x=3 yazarak da çözebiliriz: f(g(x))=(2x+6x−1)2−2(2x+6x−1)−5f(g(x)) = \left(\frac{2x+6}{x-1}\right)^2 - 2\left(\frac{2x+6}{x-1}\right) - 5. Burada x=3x=3 koyduğumuzda yine 62−2(6)−5=196^2 - 2(6) - 5 = 19 sonucuna ulaşırız. Ancak bu yöntem zaman alıcıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 56Soru →
Gerçel sayılarda tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx için
f(x)+x⋅f(4−x)=x2−2xf(x) + x \cdot f(4-x) = x^2 - 2x
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Doğru cevap -3 değeridir.
Verilen fonksiyonda sırasıyla x=3x=3 ve x=1x=1 yazıldığında iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem f(3)+3f(1)=3f(3) + 3f(1) = 3 ve f(3)+f(1)=−1f(3) + f(1) = -1 biçimindedir. İkinci denklem birinciden çıkarıldığında 2f(1)=4  ⟹  f(1)=22f(1) = 4 \implies f(1) = 2 elde edilir. Bu değer ikinci denklemde yerine yazıldığında ise f(3)=−3f(3) = -3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyon denkleminde xx yerine 33 yazarak ilk denklemi elde etmek.
f(3)+3⋅f(1)=32−2(3)=9−6=3f(3) + 3 \cdot f(1) = 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3
f(3)f(3) ve f(1)f(1) değerleri arasında bir ilişki kurmak.
2
Verilen fonksiyon denkleminde xx yerine 11 yazarak ikinci denklemi elde etmek.
f(1)+1⋅f(3)=12−2(1)=1−2=−1f(1) + 1 \cdot f(3) = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1
İki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak için ikinci bir bağıntı bulmak.
3
Elde edilen f(3)+3f(1)=3f(3) + 3f(1) = 3 ve f(3)+f(1)=−1f(3) + f(1) = -1 denklemlerini taraf tarafa çıkararak f(1)f(1) değerini bulmak.
2f(1)=4  ⟹  f(1)=22f(1) = 4 \implies f(1) = 2
Bilinmeyenlerden birini yok etme yöntemiyle bulmak.
4
f(1)=2f(1) = 2 değerini ikinci denklemde yerine yazarak f(3)f(3) değerini hesaplamak.
f(3)+2=−1  ⟹  f(3)=−3f(3) + 2 = -1 \implies f(3) = -3
İstenen fonksiyon değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değişken değiştirme ve fonksiyonel denklemler yardımıyla değer bulma.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 57Soru →
Boş kümeden farklı AA, BB ve CC sonlu kümeleri için,
s(A×B)=18s(A \times B) = 18
s(A×C)=24s(A \times C) = 24
s(B∪C)=7s(B \cup C) = 7
olduğu biliniyor.
Buna göre, (B∖C)×(C∖B)(B \setminus C) \times (C \setminus B) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Kartezyen çarpımın eleman sayısı 12'dir.
Doğru cevap 12'dir. AA, BB ve CC kümelerinin eleman sayıları analiz edildiğinde s(A)=6s(A) = 6, s(B)=3s(B) = 3 ve s(C)=4s(C) = 4 bulunur. Birleşim kümesinin eleman sayısı 7 olduğundan, BB ve CC kümelerinin kesişimi boştur (s(B∩C)=0s(B \cap C) = 0). Bu durumda s(B∖C)=3s(B \setminus C) = 3 ve s(C∖B)=4s(C \setminus B) = 4 olur. Bu iki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı ise 3×4=123 \times 4 = 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü kullanarak s(A×B)=s(A)⋅s(B)=18s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 18 ve s(A×C)=s(A)⋅s(C)=24s(A \times C) = s(A) \cdot s(C) = 24 eşitliklerini yazmak.
s(A)s(A) sayısı hem 18 hem de 24 sayılarının ortak bir tam sayı böleni olmalıdır.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, çarpılan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
2
s(B∪C)=7s(B \cup C) = 7 bilgisini kullanarak s(A)s(A) için alt sınır belirlemek.
s(B)≤7  ⟹  s(A)≥18/7≈2.57s(B) \leq 7 \implies s(A) \geq 18/7 \approx 2.57 ve s(C)≤7  ⟹  s(A)≥24/7≈3.43s(C) \leq 7 \implies s(A) \geq 24/7 \approx 3.43 olduğundan s(A)≥4s(A) \geq 4 olmalıdır.
Bir kümenin eleman sayısı, o kümenin alt kümesi veya birleşim kümesinin eleman sayısından büyük olamaz.
3
1818 ve 2424 sayılarının 44 veya 44'ten büyük ortak bölenini belirlemek.
Ortak bölenler {1,2,3,6}\{1, 2, 3, 6\} kümesinden 44'ten büyük olan tek sayı 66'dır. Buradan s(A)=6s(A) = 6 bulunur.
s(A)s(A) hem tam sayı olmalı hem de belirlenen alt sınır şartını sağlamalıdır.
4
s(A)=6s(A) = 6 değerini kullanarak BB ve CC kümelerinin eleman sayılarını bulmak.
s(B)=18/6=3s(B) = 18 / 6 = 3 ve s(C)=24/6=4s(C) = 24 / 6 = 4 elde edilir.
Kartezyen çarpım eleman sayıları ile s(A)s(A) bilindiği için diğer kümelerin eleman sayıları doğrudan hesaplanabilir.
5
s(B∪C)=s(B)+s(C)−s(B∩C)s(B \cup C) = s(B) + s(C) - s(B \cap C) formülünü uygulayarak kesişim kümesinin eleman sayısını bulmak.
7=3+4−s(B∩C)  ⟹  s(B∩C)=07 = 3 + 4 - s(B \cap C) \implies s(B \cap C) = 0 bulunur.
Kümelerin birleşim formülü kullanılarak ortak eleman sayısı tespit edilir.
6
B∖CB \setminus C ve C∖BC \setminus B kümelerinin eleman sayılarını hesaplamak.
Kümeler ayrık olduğundan (s(B∩C)=0s(B \cap C) = 0) s(B∖C)=s(B)=3s(B \setminus C) = s(B) = 3 ve s(C∖B)=s(C)=4s(C \setminus B) = s(C) = 4 olur.
İki küme ayrık olduğunda, bir kümenin diğerinden farkı kendisidir.
7
(B∖C)×(C∖B)(B \setminus C) \times (C \setminus B) kartezyen çarpımının eleman sayısını hesaplamak.
s((B∖C)×(C∖B))=s(B∖C)⋅s(C∖B)=3⋅4=12s((B \setminus C) \times (C \setminus B)) = s(B \setminus C) \cdot s(C \setminus B) = 3 \cdot 4 = 12 bulunur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı tanımı gereği iki kümenin eleman sayılarının çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım ve Küme İşlemleri İlişkisi
Soru 58Soru →
AA ve BB tam sayı kümeleri olmak üzere,
A={x∈Z:−3<x≤2}A = \{x \in \mathbb{Z} : -3 < x \leq 2\}
B={y∈Z:∣y−1∣≤2}B = \{y \in \mathbb{Z} : |y - 1| \leq 2\}
kümeleri veriliyor.

Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin (a,b)(a, b) elemanlarından kaç tanesi a+b≥2a + b \geq 2 koşulunu sağlar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
A kümesinin elemanları {−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\} ve B kümesinin elemanları {−1,0,1,2,3}\{-1, 0, 1, 2, 3\} şeklindedir. a+b≥2a + b \geq 2 koşulu incelendiğinde; a=−1a = -1 için b=3b = 3 (1 adet), a=0a = 0 için b∈{2,3}b \in \{2, 3\} (2 adet), a=1a = 1 için b∈{1,2,3}b \in \{1, 2, 3\} (3 adet) ve a=2a = 2 için b∈{0,1,2,3}b \in \{0, 1, 2, 3\} (4 adet) olmak üzere toplam 10 adet (a,b)(a, b) ikilisi bu koşulu sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını belirlemek
A={−2,−1,0,1,2}A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}
−3<x≤2-3 < x \leq 2 koşulunu sağlayan tam sayılar bu elemanlardan oluşmaktadır.
2
B kümesinin elemanlarını belirlemek
B={−1,0,1,2,3}B = \{-1, 0, 1, 2, 3\}
∣y−1∣≤2|y - 1| \leq 2 mutlak değerli eşitsizliği −2≤y−1≤2  ⟹  −1≤y≤3-2 \leq y - 1 \leq 2 \implies -1 \leq y \leq 3 aralığı olarak çözülür.
3
A kümesindeki her bir a elemanı için a+b≥2a + b \geq 2 koşulunu sağlayan b elemanlarını bulmak
a=−2a = -2 için b≥4b \geq 4 (0 adet), a=−1a = -1 için b=3b = 3 (1 adet), a=0a = 0 için b∈{2,3}b \in \{2, 3\} (2 adet), a=1a = 1 için b∈{1,2,3}b \in \{1, 2, 3\} (3 adet), a=2a = 2 için b∈{0,1,2,3}b \in \{0, 1, 2, 3\} (4 adet) bulunur.
b≥2−ab \geq 2 - a eşitsizliğini sağlayan b∈Bb \in B elemanları her durum için ayrı ayrı tespit edilir.
4
Koşulu sağlayan toplam ikili sayısını hesaplamak
0+1+2+3+4=100 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 adet ikili
Her bir durum için bulunan uygun ikili sayılarının toplanması toplam sonucu verir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesindeki elemanların koşullu sayımı

İpuçları

1
Öncelikle A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle yazın.
2
B kümesini bulmak için ∣y−1∣≤2|y - 1| \leq 2 mutlak değerli eşitsizliğini çözerek y tam sayılarının sınırlarını belirleyin.
3
A kümesinden seçeceğiniz her bir eleman için b≥2−ab \geq 2 - a koşulunu sağlayan B elemanlarının sayısını ayrı ayrı belirleyip toplayın.

Daha Fazla Pratik

Kartezyen çarpımın elemanlarını bir koordinat düzleminde noktalar olarak gösterip, a+b=2a + b = 2 doğrusunun üzerinde ve sağında kalan noktaları sayarak görsel bir çözüm yapmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Koşulu sağlayan elemanları tek tek saymak yerine, kartezyen çarpımın tüm elemanlarından (25 adet) koşulu sağlamayan (a+b<2a + b < 2) elemanları bulup çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 59Soru →

A={x∈Z:x2−3x−4≤0}A = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 3x - 4 \leq 0\} kümesi veriliyor.

BB kümesi 1212 sayısının pozitif tam bölenlerinden, CC kümesi ise 1818 sayısının pozitif tam bölenlerinden oluşmaktadır.

Buna göre, (A×B)∩(A×C)(A \times B) \cap (A \times C) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 24'tür.
Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği kullanılarak (A×B)∩(A×C)=A×(B∩C)(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C) eşitliği elde edilir. A kümesinin eleman sayısı s(A) = 6 ve B ve C kümelerinin kesişim kümesinin eleman sayısı s(B ve C ortak elemanları) = 4 olarak bulunur. Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı formülüne göre bu iki değer çarpıldığında 6 * 4 = 24 elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 24 elemanlı seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirleme.
x2−3x−4≤0⇒(x−4)(x+1)≤0x^2 - 3x - 4 \leq 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) \leq 0 eşitsizliğinden −1≤x≤4-1 \leq x \leq 4 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar A={−1,0,1,2,3,4}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} olup eleman sayısı s(A)=6s(A) = 6 bulunur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısını hesaplamak için birinci kümenin eleman sayısına ihtiyaç vardır.
2
BB ve CC kümelerini yazıp kesişim kümesini ve eleman sayısını bulma.
B={1,2,3,4,6,12}B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} ve C={1,2,3,6,9,18}C = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} kümelerinin kesişimi B∩C={1,2,3,6}B \cap C = \{1, 2, 3, 6\} olup eleman sayısı s(B∩C)=4s(B \cap C) = 4 bulunur.
Kartezyen çarpımın dağılma özelliği uygulandıktan sonra elde edilen ikinci bileşen kümenin eleman sayısı gereklidir.
3
Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliğini uygulayarak eleman sayısını hesaplama.
(A×B)∩(A×C)=A×(B∩C)(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C) eşitliği kullanılır. Bu kümenin eleman sayısı s(A×(B∩C))=s(A)⋅s(B∩C)=6⋅4=24s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 6 \cdot 4 = 24 olarak hesaplanır.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, bileşen kümelerinin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği ve eleman sayısı formülü

Alternatif Yöntem

Kümelerin elemanları tek tek yazılıp kartezyen çarpım kümelerinin elemanları oluşturularak bu iki kümenin ortak olan elemanları sayılarak da sonuca ulaşılabilir. Ancak bu yöntem oldukça zaman alıcı ve işlem hatasına açık bir yoldur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 60Soru →
Pozitif tam sayılardan oluşan AA ve BB kümeleri şu şekilde tanımlanmıştır:
A={x∈Z+:x bir rakam ve 24 sayısı x ile kalansız bo¨lu¨nu¨r}A = \{x \in \mathbb{Z}^+ : x \text{ bir rakam ve } 24 \text{ sayısı } x \text{ ile kalansız bölünür}\}
B={y∈Z+:y<8 ve y bir asal sayıdır}B = \{y \in \mathbb{Z}^+ : y < 8 \text{ ve } y \text{ bir asal sayıdır}\}

Buna göre, (A∖B)×(B∖A)(A \setminus B) \times (B \setminus A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 8'dir.
AA kümesi {1,2,3,4,6,8}\{1, 2, 3, 4, 6, 8\} ve BB kümesi {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} olarak belirlenir. Buradan fark kümeleri A∖B={1,4,6,8}A \setminus B = \{1, 4, 6, 8\} ve B∖A={5,7}B \setminus A = \{5, 7\} olur. Bu kümelerin eleman sayıları sırasıyla s(A∖B)=4s(A \setminus B) = 4 ve s(B∖A)=2s(B \setminus A) = 2 olduğundan, kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 4×2=84 \times 2 = 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını belirlemek için 24'ü kalansız b��len pozitif rakamları buluruz.
A={1,2,3,4,6,8}A = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\} kümesi elde edilir ve bu kümenin eleman sayısı s(A)=6s(A) = 6'dır.
A kümesinin elemanları tanım gereği pozitif rakamlar ve 24'ün bölenleridir.
2
BB kümesinin elemanlarını belirlemek için 8'den küçük pozitif asal sayıları buluruz.
B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\} kümesi elde edilir ve bu kümenin eleman sayısı s(B)=4s(B) = 4'tür.
B kümesinin elemanları tanım gereği 8'den küçük pozitif asal sayılardır.
3
A∖BA \setminus B ve B∖AB \setminus A fark kümelerini ve eleman sayılarını hesaplarız.
A∖B={1,4,6,8}A \setminus B = \{1, 4, 6, 8\} olup s(A∖B)=4s(A \setminus B) = 4 ve B∖A={5,7}B \setminus A = \{5, 7\} olup s(B∖A)=2s(B \setminus A) = 2 bulunur.
Kartezyen çarpımı yapılacak fark kümelerinin eleman sayılarını bulmak için kümelerin ortak elemanları çıkarılır.
4
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını bulmak için elde edilen fark kümelerinin eleman sayılarını çarparız.
s((A∖B)×(B∖A))=s(A∖B)×s(B∖A)=4×2=8s((A \setminus B) \times (B \setminus A)) = s(A \setminus B) \times s(B \setminus A) = 4 \times 2 = 8 olarak hesaplanır.
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımının Eleman Sayısı ve Küme Fark İşlemi
ÖncekiSayfa 3 / 4Sonraki
Kümeler, Fonksiyonlar ve İşlem Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 3 | Examkin