Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde İşlemler (Birleşim, Kesişim, Fark)

Bir grupta İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini konuşan 36 kişi vardır. Bu grupta İngilizce konuşanların kümesi EE, Almanca konuşanların kümesi GG ile gösterilmektedir.

* Sadece İngilizce konuşanların sayısı, Almanca konuşanların sayısının 2 katıdır.
* Sadece Almanca konuşanların sayısı, her iki dili de konuşanların sayısının 3 katıdır.

Buna göre, bu grupta İngilizce konuşan kişi sayısı kaçtır?

  1. A
    12
  2. B
    18
  3. C
    24
  4. 27Cevap
  5. E
    28

Cevap

İngilizce konuşan kişi sayısı 27'dir.
İngilizce konuşan toplam kişi sayısı, sadece İngilizce konuşanlar (8x8x) ile her iki dili konuşan ortak elemanların (xx) toplamıdır. Denklemden elde edilen x=3x = 3 değeri yerine yazıldığında 9x=279x = 27 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim kümesinin eleman sayısını değişkenle ifade edin.
s(E∩G)=xs(E \cap G) = x
Diğer küme bölümlerinin eleman sayıları bu ortak bölgeye bağlı olarak tanımlanacaktır.
2
Almanca konuşanların toplam eleman sayısını bulun.
s(G∖E)=3xs(G \setminus E) = 3x ve s(G)=3x+x=4xs(G) = 3x + x = 4x
Sadece Almanca konuşanlar her iki dili konuşanların 3 katı olduğundan, Almanca konuşanlar bu iki bölgenin toplamıdır.
3
Sadece İngilizce konuşanların eleman sayısını Almanca konuşanlar cinsinden ifade edin.
s(E∖G)=2⋅s(G)=2⋅4x=8xs(E \setminus G) = 2 \cdot s(G) = 2 · 4x = 8x
Sadece İngilizce konuşanların sayısı, Almanca konuşanların toplam sayısının 2 katı olarak verilmiştir.
4
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü kullanarak x değerini hesaplayın.
s(E∪G)=8x+x+3x=12x=36  ⟹  x=3s(E \cup G) = 8x + x + 3x = 12x = 36 \implies x = 3
Gruptaki herkes en az bir dil konuştuğu için tüm bölgelerin toplamı grubun toplam mevcudu olan 36'ya eşittir.
5
İngilizce konuşan toplam kişi sayısını hesaplayın.
s(E)=s(E∖G)+s(E∩G)=8x+x=9x  ⟹  9⋅3=27s(E) = s(E \setminus G) + s(E \cap G) = 8x + x = 9x \implies 9 · 3 = 27
İngilizce konuşanlar, sadece İngilizce konuşanlar ile her iki dili de konuşanların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim, kesişim ve fark işlemlerinin sözel problemler üzerindeki uygulaması ve eleman sayıları arasındaki ilişkiler.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek her bir bölgenin eleman sayısını doğrudan şema üzerinde harflendirip denklem kurarak da çözüme ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde İşlemler (Birleşim, Kesişim, Fark)

Bu konudan daha fazla soru