Examkin

Özel Tanımlı İşlemler

26 soru

Soru 21Soru →

1 ile 10 (1 ve 10 dahil) arasındaki tam sayılar kümesi üzerinde ⊕\oplus ve ⊗\otimes işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

* x⊕yx \oplus y: xx ile yy sayılarının oluşturduğu kapalı aralıktaki asal sayıların sayısıdır. (Örneğin; 3⊕63 \oplus 6 ifadesi, [3,6][3, 6] aralığındaki 3 ve 5 asal sayıları olmak üzere 2'ye eşittir.)
* x⊗y=(x⊕y)⋅∣x−y∣x \otimes y = (x \oplus y) \cdot |x - y|

Buna göre, bu kümenin elemanı olan ve birbirinden farklı aa ve bb tam sayıları için
a⊗b=12a \otimes b = 12
eşitliğini sağlayan kaç farklı (a,b)(a, b) sıralı ikilisi vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Eşitliği sağlayan 8 farklı (a, b) sıralı ikilisi vardır.
Eşitliği sağlayan sıralı ikililer, aralarındaki fark 6 olan [4,10][4, 10] aralığından gelen 2 ikili ile aralarındaki fark 4 olan [1,5][1, 5], [2,6][2, 6], [3,7][3, 7] aralıklarından gelen 6 ikilinin toplamından oluşan 8 adet sıralı ikilidir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımlanan işlemlerin matematiksel ifadesini yazma
a⊗b=12a \otimes b = 12 eşitliği, kural gereği (a⊕b)⋅∣a−b∣=12(a \oplus b) \cdot |a - b| = 12 biçiminde ifade edilir.
Sorudaki özel tanımlı işlemleri temel cebirsel formüle dönüştürmek için.
2
Fark teriminin (∣a−b∣|a - b|) alabileceği değer aralığını ve bölenlerini belirleme
aa ve bb sayıları {1,2,…,10}\{1, 2, \dots, 10\} kümesinin elemanları olduğundan, aralarındaki mutlak fark ∣a−b∣|a - b| en fazla 10−1=910 - 1 = 9 olabilir. Ayrıca, (a⊕b)(a \oplus b) bir tam sayı olduğundan, ∣a−b∣|a - b| değeri 12'nin bir tam sayı böleni olmalıdır. Bu koşullara uyan olası farklar 1, 2, 3, 4 ve 6'dır.
Çözüm uzayını sınırlamak ve durumları tek tek analiz edebilmek için.
3
Farkın 6 olduğu durumları analiz etme
∣a−b∣=6|a - b| = 6 ise a⊕b=12/6=2a \oplus b = 12 / 6 = 2 olmalıdır. Bu kümede aralarındaki fark 6 olan kapalı aralıklar: [1,7][1, 7] (4 asal), [2,8][2, 8] (4 asal), [3,9][3, 9] (3 asal) ve [4,10][4, 10] (2 asal: 5 ve 7). Yalnızca [4,10][4, 10] aralığı koşulu sağlar. Buradan (4,10)(4, 10) ve (10,4)(10, 4) olmak üzere 2 farklı sıralı ikili elde edilir.
Mesafe 6 iken koşulu sağlayan sayı çiftlerini belirlemek için.
4
Farkın 4 olduğu durumları analiz etme
∣a−b∣=4|a - b| = 4 ise a⊕b=12/4=3a \oplus b = 12 / 4 = 3 olmalıdır. Kümede aralarındaki fark 4 olan kapalı aralıklar incelenir: [1,5][1, 5] (3 asal: 2, 3, 5 - sağlar), [2,6][2, 6] (3 asal: 2, 3, 5 - sağlar), [3,7][3, 7] (3 asal: 3, 5, 7 - sağlar), [4,8][4, 8] (2 asal - sağlamaz), [5,9][5, 9] (2 asal - sağlamaz) ve [6,10][6, 10] (1 asal - sağlamaz). Sağlayan 3 aralıktan sırasıyla (1,5),(5,1),(2,6),(6,2),(3,7),(7,3)(1, 5), (5, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 7), (7, 3) olmak üzere 6 farklı sıralı ikili elde edilir.
Mesafe 4 iken koşulu sağlayan sayı çiftlerini belirlemek için.
5
Kalan fark durumlarının elenmesi
- ∣a−b∣=3|a - b| = 3 için a⊕b=4a \oplus b = 4 olmalıdır. Ancak bu kümede 4 elemanlı hiçbir kapalı aralıkta 4 asal sayı bulunamaz.
- ∣a−b∣=2|a - b| = 2 için a⊕b=6a \oplus b = 6 olmalıdır. 3 elemanlı bir aralıkta en fazla 2 asal sayı bulunabilir.
- ∣a−b∣=1|a - b| = 1 için a⊕b=12a \oplus b = 12 olmalıdır. 2 elemanlı bir aralıkta en fazla 2 asal sayı bulunabilir.
Bu nedenle diğer durumlardan çözüm gelmez.
Olası diğer tüm bölenleri eleyerek çözümün eksiksiz olduğunu garantilemek için.
6
Toplam sıralı ikili sayısını hesaplama
Farkı 6 olan durumlardan 2, farkı 4 olan durumlardan 6 ikili gelmektedir. Toplamda 2 + 6 = 8 farklı sıralı ikili bulunur.
Bulunan tüm durumların toplam sayısını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Aralıkta asal sayı sayma kuralıyla birleştirilmiş özel tanımlı işlemler
Soru 22Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ⋄\diamond işlemi, her aa ve bb pozitif tam sayıları için

a⋄b={a2−1,b=1 isea2−b2+2(a⋄(b−1)),b>1 isea \diamond b = \begin{cases} a^2 - 1, & b = 1 \text{ ise} \\ a^2 - b^2 + 2(a \diamond (b-1)), & b > 1 \text{ ise} \end{cases}

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, a⋄4=77a \diamond 4 = 77 eşitliğini sağlayan aa pozitif tam sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İşlem adımları sırasıyla uygulandığında elde edilen denklem çözülerek aa sayısı 3 olarak bulunur.
Verilen tanımlar adım adım yerine yazıldığında a⋄4=15a2−58a \diamond 4 = 15a^2 - 58 elde edilir. Bu ifade 77'ye eşitlendiğinde 15a2=13515a^2 = 135 ve buradan a2=9a^2 = 9 bulunur. aa pozitif bir tam sayı olduğundan, karesi 9 olan sayı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımdan yola çıkarak b=1b = 1 için a⋄1a \diamond 1 değerini aa cinsinden yazın.
a⋄1=a2−1a \diamond 1 = a^2 - 1
Taban durumunu belirlemek ve bir sonraki adımlarda kullanmak için.
2
b=2b = 2 için a⋄2a \diamond 2 ifadesini yazıp adım 1'de bulduğunuz değeri yerine koyun.
a⋄2=a2−4+2(a2−1)=3a2−6a \diamond 2 = a^2 - 4 + 2(a^2 - 1) = 3a^2 - 6
Tanımlanan yinelemeli (rekürsif) ilişkiyi bir adım ileri taşımak için.
3
b=3b = 3 için a⋄3a \diamond 3 ifadesini yazıp adım 2'de bulduğunuz değeri yerine koyun.
a⋄3=a2−9+2(3a2−6)=7a2−21a \diamond 3 = a^2 - 9 + 2(3a^2 - 6) = 7a^2 - 21
Yineleme kuralını üçüncü adım için uygulamak.
4
b=4b = 4 için a⋄4a \diamond 4 ifadesini yazıp adım 3'te bulduğunuz değeri yerine koyun.
a⋄4=a2−16+2(7a2−21)=15a2−58a \diamond 4 = a^2 - 16 + 2(7a^2 - 21) = 15a^2 - 58
Soruda istenen a⋄4a \diamond 4 değerini veren aa cinsinden cebirsel ifadeyi elde etmek.
5
Elde edilen 15a2−5815a^2 - 58 ifadesini soruda verilen 77 değerine eşitleyip denklemi çözün.
15a2−58=77  ⟹  15a2=135  ⟹  a2=9  ⟹  a=315a^2 - 58 = 77 \implies 15a^2 = 135 \implies a^2 = 9 \implies a = 3
aa'nın pozitif tam sayı değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Yinelemeli (rekürsif) özel tanımlı işlemleri adım adım açarak cebirsel denklemler elde etme ve çözme.
Soru 23Soru →
İki basamaklı bir ABAB doğal sayısı için □\square ve ◯\bigcirc işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:
□(AB)=A2+B\square(AB) = A^2 + B
◯(AB)=A+B2\bigcirc(AB) = A + B^2
Buna göre,
□(AB)−◯(AB)=14\square(AB) - \bigcirc(AB) = 14
eşitliğini sağlayan iki basamaklı ABAB doğal sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140

Cevap

Koşulları sağlayan iki basamaklı ABAB doğal sayılarının toplamı 140'tır.
Doğru yanıt olan 140 değeri, özel işlem tanımları uygulandığında elde edilen (A−B)(A+B−1)=14(A-B)(A+B-1) = 14 denkleminin rakamlar kümesindeki çözümleri olan 53 ve 87 sayılarının toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımlanan □(AB)\square(AB) ve ◯(AB)\bigcirc(AB) işlemlerini verilen eşitlikte yerine yazalım.
(A2+B)−(A+B2)=14  ⟹  A2−B2−A+B=14(A^2 + B) - (A + B^2) = 14 \implies A^2 - B^2 - A + B = 14 denklemi elde edilir.
Soruda verilen özel işlemleri cebirsel bir denkleme dönüştürmek için.
2
Elde edilen denklemdeki terimleri gruplandırarak çarpanlara ayıralım.
(A2−B2)−(A−B)=14  ⟹  (A−B)(A+B)−(A−B)=14  ⟹  (A−B)(A+B−1)=14(A^2 - B^2) - (A - B) = 14 \implies (A - B)(A + B) - (A - B) = 14 \implies (A - B)(A + B - 1) = 14 ifadesine ulaşılır.
İki kare farkı özdeşliğini ve ortak çarpan parantezine alma yöntemini kullanarak denklem analizini kolaylaştırmak için.
3
AA ve BB birer rakam ve A≠0A \neq 0 (çünkü ABAB iki basamaklıdır) olduğundan çarpanların pozitif tam sayı olması gerektiğini belirleyip durumları inceleyelim.
A−BA - B ve A+B−1A + B - 1 çarpanları pozitif olmalıdır. 1414 sayısının pozitif tam sayı çarpan çiftleri (1,14)(1, 14) ve (2,7)(2, 7) şeklindedir.
Rakam olma ve iki basamaklılık koşullarına göre olası değer aralıklarını sınırlandırmak için.
4
Belirlenen çarpan çiftleri için denklem sistemlerini çözelim.
1. durum: A−B=2A - B = 2 ve A+B−1=7  ⟹  A+B=8A + B - 1 = 7 \implies A + B = 8 olur. Taraf tarafa toplanırsa 2A=10  ⟹  A=52A = 10 \implies A = 5 ve B=3B = 3 bulunur (Sayı 5353). 2. durum: A−B=1A - B = 1 ve A+B−1=14  ⟹  A+B=15A + B - 1 = 14 \implies A + B = 15 olur. Taraf tarafa toplanırsa 2A=16  ⟹  A=82A = 16 \implies A = 8 ve B=7B = 7 bulunur (Sayı 8787).
Her bir durumdan elde edilen AA ve BB değerlerinin rakam olma koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol ederek çözümleri bulmak için.
5
Bulunan ABAB sayılarının toplamını hesaplayalım.
53+87=14053 + 87 = 140 elde edilir.
Soruda bizden istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemler ve iki kare farkı yardımıyla denklem çözümü

Alternatif Yöntem

Denklem çözümü yerine rakam çiftleri doğrudan □(AB)−◯(AB)=A2−B2−A+B=14\square(AB) - \bigcirc(AB) = A^2 - B^2 - A + B = 14 denkleminde denenebilir. Örneğin, AA değerine büyük rakamlar verilerek BB değerleri araştırılır. A=8A=8 için 64−B2−8+B=14  ⟹  42=B(B−1)  ⟹  B=764 - B^2 - 8 + B = 14 \implies 42 = B(B-1) \implies B=7 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 24Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her nn pozitif tam sayısı için aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

△(n)={2n+1,n tek isen2+3,n c¸ift ise\triangle(n) = \begin{cases} 2n + 1, & n \text{ tek ise} \\ \frac{n}{2} + 3, & n \text{ çift ise} \end{cases}

Buna göre, △(5)+△(8)\triangle(5) + \triangle(8) işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18
Soruda verilen işlemde 5 tek sayı olduğundan ilk formül uygulanarak 11 sayısı elde edilir. 8 çift sayı olduğundan ikinci formül uygulanarak 7 sayısı elde edilir. Bu iki sonucun toplamı 18 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
5 sayısının tek veya çift olduğunu belirleyip ilgili formülü uygulayalım.
5 sayısı tek sayı olduğundan, \triangle(n) = 2n + 1 formülü kullanılır: \triangle(5) = 2 \times 5 + 1 = 11 elde edilir.
Tanımlanan işlemde tek sayılar için ilk koşul geçerlidir.
2
8 sayısının tek veya çift olduğunu belirleyip ilgili formülü uygulayalım.
8 sayısı çift sayı olduğundan, \triangle(n) = \frac{n}{2} + 3 formülü kullanılır: \triangle(8) = \frac{8}{2} + 3 = 4 + 3 = 7 elde edilir.
Tanımlanan işlemde çift sayılar için ikinci koşul geçerlidir.
3
Elde edilen sonuçları toplayalım.
\triangle(5) + \triangle(8) = 11 + 7 = 18 bulunur.
Soruda bizden bu iki işlemin sonuçlarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Koşula bağlı olarak tanımlanmış özel matematiksel operatörleri sırasıyla ve doğru kuralları takip ederek uygulama.

İpuçları

1
İşlemdeki sayıların (5 ve 8) tek mi yoksa çift mi olduğuna dikkat ederek hangisi için hangi kuralın geçerli olduğunu belirleyin.
2
5 tek sayı olduğu için üstteki formülü, 8 çift sayı olduğu için alttaki formülü kullanarak ayrı ayrı sonuçları hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, üç farklı koşula bağlı olarak tanımlanan tek/çift/asal sayı durumlarını içeren özel tanımlı işlem sorularını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 25Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde ⊗\otimes ve ⊕\oplus işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

a⊗b=a2−ba \otimes b = a^2 - b
a⊕b=2a+ba \oplus b = 2a + b

Buna göre,

(x⊗3)⊕5=17(x \otimes 3) \oplus 5 = 17

eşitliğini sağlayan xx pozitif tam sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitliği sağlayan xx pozitif tam sayısı 3'tür.
Verilen işlemlere göre (x⊗3)⊕5=17(x \otimes 3) \oplus 5 = 17 ifadesinde önce dıştaki işlem çözülür. Geçici olarak u=x⊗3u = x \otimes 3 dersek, 2u+5=17  ⟹  u=62u + 5 = 17 \implies u = 6 olur. Buradan x⊗3=6x \otimes 3 = 6 denklemi elde edilir. İlk işlemin tanımına göre x2−3=6  ⟹  x2=9x^2 - 3 = 6 \implies x^2 = 9 olur. xx pozitif tam sayı olduğu için x=3x = 3 bulunur. Bu nedenle 3 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki x⊗3x \otimes 3 ifadesine geçici bir değişken atayalım.
u=x⊗3u = x \otimes 3 olsun. Bu durumda denklem u⊕5=17u \oplus 5 = 17 şekline dönüşür.
İki aşamalı işlemi daha kolay çözebilmek ve işlem sırasını doğru takip edebilmek için dıştaki işlemden başlanır.
2
u⊕5=17u \oplus 5 = 17 denklemini ⊕\oplus işleminin tanımını kullanarak çözelim.
2u+5=17  ⟹  2u=12  ⟹  u=62u + 5 = 17 \implies 2u = 12 \implies u = 6 bulunur.
a⊕b=2a+ba \oplus b = 2a + b tanımında aa yerine uu, bb yerine 55 yazılarak uu değeri elde edilir.
3
u=6u = 6 değerini yerine koyarak x⊗3=6x \otimes 3 = 6 denklemini çözelim.
x2−3=6  ⟹  x2=9  ⟹  x=3x^2 - 3 = 6 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 (çünkü xx pozitif bir tam sayıdır) bulunur.
a⊗b=a2−ba \otimes b = a^2 - b tanımında aa yerine xx, bb yerine 33 yazılıp denklem çözülerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki farklı özel tanımlı işlemin iç içe uygulanması ve bilinmeyen girdinin geriye doğru işlem (ters işlem) yapılarak bulunması.
Soru 26Soru →
Her xx ve yy gerçel sayısı için ⊙\odot ve ⊗\otimes işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:
x⊙y=2x−y+1x \odot y = 2x - y + 1
x⊗y={x⊙y,x≥yy⊙x,x<yx \otimes y = \begin{cases} x \odot y, & x \geq y \\ y \odot x, & x < y \end{cases}
Buna göre,
(3⊗a)⊗2=13(3 \otimes a) \otimes 2 = 13
eşitliğini sağlayan aa gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 92\frac{9}{2}

Cevap

92\frac{9}{2}
Verilen eşitlikte (3⊗a)=k(3 \otimes a) = k dönüşümü yapıldığında k⊗2=13k \otimes 2 = 13 denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü için k≥2k \geq 2 ve k<2k < 2 durumları incelenir. İlk durumdan k=7k = 7 (koşula uygun), ikinci durumdan k=−8k = -8 (koşula uygun) bulunur. Ardından 3⊗a=73 \otimes a = 7 denklemi çözüldüğünde 3≥a3 \geq a durumundan a=0a = 0, 3<a3 < a durumundan a=4,5a = 4,5 bulunur ve her iki değer de tanımlı oldukları koşulları sağlar. Son olarak 3⊗a=−83 \otimes a = -8 denklemi çözüldüğünde elde edilen a=15a = 15 ve a=−3a = -3 değerleri, tanımlı oldukları aralık koşullarını sağlamadıkları için elenir. Dolayısıyla denklemi sağlayan geçerli değerlerin toplamı sıfır ile dört buçuğun toplamından dokuz bölü iki olur.

Adım Adım Çözüm

1
(3⊗a)⊗2=13(3 \otimes a) \otimes 2 = 13 denkleminde 3⊗a=k3 \otimes a = k dönüşümü uygulanır.
k⊗2=13k \otimes 2 = 13 denklemi elde edilir.
Dıştaki işlemden başlayarak değişkeni yalnız bırakmak.
2
k⊗2=13k \otimes 2 = 13 denklemi, ⊗\otimes işleminin tanımına göre k≥2k \geq 2 ve k<2k < 2 durumları için ayrı ayrı çözülür.
k≥2k \geq 2 için k⊙2=2k−1=13⇒k=7k \odot 2 = 2k - 1 = 13 \Rightarrow k = 7 (koşulu sağlar). k<2k < 2 için 2⊙k=5−k=13⇒k=−82 \odot k = 5 - k = 13 \Rightarrow k = -8 (koşulu sağlar).
Parçalı tanımın sınır değerlerini kontrol ederek olası ara değerleri bulmak.
3
3⊗a=73 \otimes a = 7 denklemi 3≥a3 \geq a ve 3<a3 < a durumlarına göre çözülür.
3≥a3 \geq a için 3⊙a=7−a=7⇒a=03 \odot a = 7 - a = 7 \Rightarrow a = 0 (koşulu sağlar). 3<a3 < a için a⊙3=2a−2=7⇒a=4,5a \odot 3 = 2a - 2 = 7 \Rightarrow a = 4,5 (koşulu sağlar).
İlk ara değer için geçerli kökleri belirlemek.
4
3⊗a=−83 \otimes a = -8 denklemi 3≥a3 \geq a ve 3<a3 < a durumlarına göre çözülür ve sınır şartları denetlenir.
3≥a3 \geq a için 7−a=−8⇒a=157 - a = -8 \Rightarrow a = 15 (15≤315 \leq 3 olmadığı için geçersizdir). 3<a3 < a için 2a−2=−8⇒a=−32a - 2 = -8 \Rightarrow a = -3 (−3>3-3 > 3 olmadığı için geçersizdir).
İkinci ara değerden gelen köklerin tanımlı oldukları aralıkta kalıp kalmadığını kontrol etmek.
5
Koşulları sağlayan geçerli aa değerleri (00 ve 4,54,5) toplanır.
0+4,5=4,50 + 4,5 = 4,5 yani 92\frac{9}{2} bulunur.
Soruda istenen toplam sonucuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı özel işlemlerde sınır koşullarının ve eşitsizliklerin çözüm kümesi üzerindeki belirleyici etkisi.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Özel Tanımlı İşlemler Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 2 | Examkin