Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAralarında Asal Sayılar

a+ba+b ve a−ba-b aralarında asal iki pozitif tam sayıdır.

a+ba−b=5133\frac{a+b}{a-b} = \frac{51}{33}

olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

  1. A
    17
  2. B
    14
  3. 42Cevap
  4. D
    51
  5. E
    33

Cevap

Değişkenlerin çarpımı olan 42 değeri doğru cevaptır.
Verilen oran 51/3351/33, pay ve payda 3 ile sadeleştirildiğinde 17/1117/11 olur. a+ba+b ve a−ba-b aralarında asal olduğu için a+b=17a+b=17 ve a−b=11a-b=11 eşitlikleri yazılır. Bu sistem çözüldüğünde a=14a=14 ve b=3b=3 bulunur. Bu iki değerin çarpımı 42'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kesri en sade haline getirme
51/33=17/1151/33 = 17/11
Aralarında asal iki sayının oranı, bu sayıların en sade haliyle eşleşmelidir.
2
Pay ve paydayı değişkenlerle eşitleme
a+b=17a+b = 17 ve a−b=11a-b = 11
17 ve 11 aralarında asal olduğu için a+ba+b ve a−ba-b ifadelerine doğrudan eşitlenebilirler.
3
Denklem sistemini çözme
2a=28⇒a=142a = 28 \Rightarrow a = 14 ve b=3b = 3
İki denklem taraf tarafa toplandığında bb değerleri birbirini yok eder ve aa bulunur; ardından herhangi bir denklemde yerine yazılarak bb elde edilir.
4
İstenen çarpımı hesaplama
14×3=4214 \times 3 = 42
Soruda a⋅ba \cdot b ifadesinin değeri sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

İki sayı aralarında asal ise, bu sayıların birbirine oranı her zaman en sade biçimdedir.

İpuçları

1
Oranlanan sayıların aralarında asal olması, kesrin en sade biçimde olması gerektiği anlamına gelir.
2
51 ve 33 sayılarını ortak bir bölenle (örneğin 3) sadeleştirmeyi deneyin.
3
Sadeleşmiş hali 17/1117/11 olan kesirde, a+b=17a+b=17 ve a−b=11a-b=11 denklemlerini taraf tarafa toplayarak aa ve bb değerlerine ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla x+yx+y ve 2x−y2x-y ifadelerinin aralarında asal olduğu durumları inceleyen soruları çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Bu soruyu puanla

Konular

Aralarında Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru