Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKüme Problemleri

Bir kamu kurumunda yapılan denetimde, personelin sahip olduğu üç farklı yetkinlik belgesi incelenmiştir: 'Analitik Düşünme (A)', 'Bilgisayar İşletmenliği (B)' ve 'C Düzeyi Yabancı Dil (C)'.

Bu denetimle ilgili şu bilgiler verilmiştir:
* Kurumda toplam 60 personel bulunmaktadır ve her personel en az bir belgeye sahiptir.
* C Düzeyi Yabancı Dil (C) belgesine sahip olan her personelin, Bilgisayar İşletmenliği (B) belgesi de bulunmaktadır.
* Analitik Düşünme (A) belgesi olan 35, Bilgisayar İşletmenliği (B) belgesi olan 40 ve C Düzeyi Yabancı Dil (C) belgesi olan 15 kişi vardır.
* Yalnızca bir çeşit belgeye sahip olan personellerin toplam sayısı, her üç belgeye de sahip olanların sayısının 4 katıdır.

Buna göre, sadece Analitik Düşünme ve Bilgisayar İşletmenliği belgelerine sahip olup Yabancı Dil belgesi olmayan personel sayısı kaçtır?

  1. 5Cevap
  2. B
    10
  3. C
    15
  4. D
    20
  5. E
    25

Cevap

Sadece A ve B belgelerine sahip olup C belgesi olmayan personel sayısı 5'tir.
Verilen C⊂BC \subset B koşulu, C kümesinin B kümesinin tamamen içinde olduğunu gösterir. Denklemler kurulduğunda, her üç belgeye sahip kişi sayısı (xx) 10 olarak bulunur. Soruda istenen 'Sadece A ve B'ye sahip' bölge (zz) ise 15−x15 - x bağıntısından 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve verilenleri tanımla.
C ⊂ B olduğu için C kümesi B'nin içindedir. A kümesi her ikisiyle kesişebilir. Bölgeler: Yalnız A (a), Yalnız B (b), Sadece A ve B (z), Sadece B ve C (y), Hepsi (x).
Alt küme ilişkisi (C ⊂ B), Venn şemasındaki bölge sayısını azaltır ve denklemleri basitleştirir.
2
Verilen sayıları denklemlere dök.
1) x + y = 15 (C kümesi)
2) b + z + x + y = 40 (B kümesi)
3) a + z + x = 35 (A kümesi)
4) a + b + z + y + x = 60 (Toplam)
5) a + b = 4x (Yalnız bir belge şartı)
Problemi çözmek için her bölgeyi temsil eden bilinmeyenlerle matematiksel model oluşturulmalıdır.
3
Denklemleri çözerek x (hepsi) ve z (istenen) değerlerini bul.
x + y = 15 ve b + z + 15 = 40 ise b + z = 25.
Toplam denkleminden: 35 (A) + b + y = 60 => b + y = 25.
Buradan z = y sonucu çıkar. y = 15 - x olduğu için z = 15 - x.
b + y = 25 denkleminde y yerine 15-x koyarsak: b = x + 10.
a + b = 4x denkleminde b yerine x+10 koyarsak: a = 3x - 10.
A kümesi denkleminde (a + z + x = 35) yerine koyalım: (3x - 10) + (15 - x) + x = 35 => 3x + 5 = 35 => 3x = 30 => x = 10.
İstenen z = 15 - 10 = 5.
Bilinmeyenleri birbirine bağlayarak ve yerine koyma metodunu kullanarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Alt Küme ve Kesişim Problemleri

İpuçları

1
C kümesi B kümesinin alt kümesi olduğu için (C⊂BC \subset B), Venn şemasında C dairesini B dairesinin içine çizmelisin.
2
Bilinmeyenleri azaltmak için bölgelere harf ver: Her üçü xx, sadece B ve C yy, sadece A ve B zz olsun. x+y=15x + y = 15 bilgisini kullan.
3
Toplam formülü A∪B=s(A)+s(B)−s(A∩B)A \cup B = s(A) + s(B) - s(A \cap B) mantığını burada bölgeleri toplayarak uygula. a+b+z+y+x=60a+b+z+y+x = 60 ve a+b=4xa+b = 4x denklemlerini birleştir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru