Examkin

Soru

Zorluk: ZorKüme Problemleri

55 kişilik bir toplulukta A, B ve C gazetelerinden en az birini okuyanlar bulunmaktadır. Bu toplulukla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* A gazetesini okuyanların sayısı 25,
* B gazetesini okuyanların sayısı 26,
* C gazetesini okuyanların sayısı 26'dır.
* A ve B gazetelerini okuyanların sayısı 9,
* A ve C gazetelerini okuyanların sayısı 8,
* B ve C gazetelerini okuyanların sayısı 10'dur.

Buna göre, bu toplulukta yalnızca bir gazete okuyan kaç kişi vardır?

  1. A
    33
  2. B
    35
  3. 38Cevap
  4. D
    40
  5. E
    42

Cevap

Bu toplulukta yalnızca bir gazete okuyan 38 kişi vardır.
Üç kümenin birleşimi formülü kullanılarak önce her üç gazeteyi de okuyan kişi sayısı (x=5x=5) bulunur. Daha sonra Venn şeması mantığıyla, ikili kesişimlerden bu değer çıkarılarak 'yalnızca iki gazete' okuyanların sayısı (12) bulunur. Son olarak, topluluk mevcudundan (55), birden fazla gazete okuyanların toplamı (12+5=1712+5=17) çıkarıldığında geriye yalnızca bir gazete okuyan 38 kişi kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Üç kümenin birleşim formülünü kullanarak her üç gazeteyi de okuyan kişi sayısını (xx) bulun.
s(A∪B∪C)=s(A)+s(B)+s(C)−[s(A∩B)+s(A∩C)+s(B∩C)]+s(A∩B∩C)s(A \cup B \cup C) = s(A) + s(B) + s(C) - [s(A \cap B) + s(A \cap C) + s(B \cap C)] + s(A \cap B \cap C) formülünden; 55=25+26+26−(9+8+10)+x⇒55=77−27+x⇒x=555 = 25 + 26 + 26 - (9 + 8 + 10) + x \Rightarrow 55 = 77 - 27 + x \Rightarrow x = 5.
Yalnızca bir gazete okuyanları bulmak için öncelikle kesişimlerin merkezindeki sayıyı bilmemiz gerekir.
2
Verilen ikili kesişim sayılarından üçlü kesişimi çıkararak 'yalnızca iki gazete okuyan' kişi sayısını hesaplayın.
Yalnız A ve B: 9−5=49-5=4. Yalnız A ve C: 8−5=38-5=3. Yalnız B ve C: 10−5=510-5=5. Toplam 'yalnızca iki' okuyanlar: 4+3+5=124+3+5=12.
Soruda verilen ikili kesişimler (örneğin A ve B), üçlü kesişimi de kapsar. Sadece iki gazete okuyanları bulmak için üçlü kesişimi çıkarmalıyız.
3
Toplam kişi sayısından, iki veya üç gazete okuyanları çıkararak sonucu bulun.
Yalnızca Bir = Toplam - (Yalnızca İki + Üçü Birlikte) = 55−(12+5)=55−17=3855 - (12 + 5) = 55 - 17 = 38.
Evrensel küme (topluluk) üç ayrık grubun toplamıdır: Yalnızca 1 okuyanlar, Yalnızca 2 okuyanlar ve 3'ünü de okuyanlar.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Kesişim Problemleri (Inclusion-Exclusion Prensibi)

İpuçları

1
Önce üç kümenin birleşim formülünü (s(A∪B∪C)s(A \cup B \cup C)) kullanarak, her üç gazeteyi de okuyanların sayısını bulmaya çalışın.
2
Her üç gazeteyi okuyan kişi sayısına xx deyin. Verilen formülde yerine koyduğunuzda 55=(25+26+26)−(9+8+10)+x55 = (25+26+26) - (9+8+10) + x denklemini elde edersiniz.
3
x=5x=5 bulduktan sonra, 'A ve B okuyan 9 kişi'nin içinde bu 5 kişinin de olduğunu unutmayın. Yani sadece A ve B okuyan 4 kişidir. Diğerleri için de aynısını yapıp toplamdan çıkarın.

Alternatif Yöntem

Cebirsel Yöntem: Yalnız 1, Yalnız 2 ve Yalnız 3 okuyanların sayılarına sırasıyla n1,n2,n3n_1, n_2, n_3 diyelim.
1) n1+n2+n3=55n_1 + n_2 + n_3 = 55 (Toplam kişi)
2) n1+2n2+3n3=25+26+26=77n_1 + 2n_2 + 3n_3 = 25+26+26 = 77 (Kümelerin toplamı, kesişimler mükerrer sayılır)
3) n2+3n3=9+8+10=27n_2 + 3n_3 = 9+8+10 = 27 (Kesişimlerin toplamı)
Bu denklem sistemini çözerek n3=5n_3=5, n2=12n_2=12 ve buradan n1=38n_1=38 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru