Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasamak Analizi ve Çözümleme

A, B ve C sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere; üç basamaklı ABC doğal sayısı, rakamları toplamının 21 katına eşittir.

Buna göre, B⋅C−AB \cdot C - A ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    13
  2. B
    18
  3. C
    35
  4. 53Cevap
  5. E
    59

Cevap

İşlemin sonucu 53'tür.
Verilen eşitlik 100A+10B+C=21(A+B+C)100A + 10B + C = 21(A+B+C) şeklinde düzenlendiğinde 79A=11B+20C79A = 11B + 20C elde edilir. Bu denklemi sağlayan ve rakam olma şartına uyan tek üçlü (A,B,C)=(3,7,8)(A,B,C) = (3,7,8)'dir. İstenen B⋅C−AB \cdot C - A değeri 7⋅8−3=537 \cdot 8 - 3 = 53 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifade matematiksel denkleme dökülür ve basamak analizi yapılır.
100A+10B+C=21⋅(A+B+C)100A + 10B + C = 21 \cdot (A + B + C)
ABC sayısı 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümlenir.
2
Denklem düzenlenerek değişkenler arasındaki ilişki basitleştirilir.
100A+10B+C=21A+21B+21C100A + 10B + C = 21A + 21B + 21C 79A=11B+20C79A = 11B + 20C
Aynı türden terimler bir araya toplanarak eşitlik sadeleştirilir.
3
Eşitliğin sağ tarafının alabileceği maksimum değeri bularak A için olası değerler sınırlandırılır.
Maksimum sağ taraf (B=9,C=9B=9, C=9 için): 11(9)+20(9)=99+180=27911(9) + 20(9) = 99 + 180 = 279. 79A≤279  ⟹  A≤379A \le 279 \implies A \le 3
A bir rakam olduğu için katsayısı büyük olan A'nın alabileceği değerler analiz edilir.
4
A için olası değerler (1, 2, 3) denenerek B ve C rakamları bulunur.
A=3 için: 237=11B+20C237 = 11B + 20C Eşitliği sağlayan değerler C=8C=8 ve B=7B=7'dir (11(7)+20(8)=77+160=23711(7) + 20(8) = 77 + 160 = 237).
A=1 ve A=2 durumlarında B ve C için uygun rakamlar bulunamaz. Tek çözüm kümesi A=3,B=7,C=8A=3, B=7, C=8'dir.
5
Bulunan değerler istenen ifadede yerine yazılır.
B⋅C−A=7⋅8−3=56−3=53B \cdot C - A = 7 \cdot 8 - 3 = 56 - 3 = 53
Sonuç hesaplanır.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Diophantine Denklemler

İpuçları

1
ABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek verilen eşitliği sadeleştirin.
2
Sadeleştirme sonucunda 79A=11B+20C79A = 11B + 20C eşitliğini elde edeceksiniz. A'nın katsayısı büyük olduğu için A'ya küçük değerler vererek (1, 2, 3) deneme yapın.
3
Eşitliğin sağ tarafı en fazla 11(9)+20(9)=27911(9)+20(9)=279 olabilir. Bu yüzden 79A≤27979A \le 279 olmalıdır, yani A en fazla 3 olabilir. A=3 için denklemi çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, ABC=k⋅(A+B+C)ABC = k \cdot (A+B+C) tipindeki sorularda k katsayısının değişimiyle çözümün nasıl etkilendiğini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Modüler aritmetik kullanarak çözüm aralığı daraltılabilir. 79A≡2A(mod11)79A \equiv 2A \pmod{11} ve 11B+20C≡9C(mod11)11B + 20C \equiv 9C \pmod{11} olduğu için 2A≡9C(mod11)2A \equiv 9C \pmod{11} denkliği üzerinden A ve C arasındaki ilişki daha hızlı kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Basamak Analizi ve Çözümleme

Bu konudan daha fazla soru