Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇokgenler

Bir düzgün çokgenin kenar sayısı 55 artırıldığında, bir dış açısının ölçüsü 6∘6^{\circ} azalmaktadır.

Buna göre, ilk durumdaki bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

  1. A
    35
  2. B
    54
  3. 90Cevap
  4. D
    135
  5. E
    170

Cevap

İlk durumdaki düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı 90'dır.
Düzgün çokgenin dış açısı 360/n360/n formülüyle bulunur. Kenar sayısı 5 arttığında dış açı 6 derece azalıyorsa, kurulan 360n−360n+5=6\frac{360}{n} - \frac{360}{n+5} = 6 denkleminin çözümü n=15n=15 verir. 15 kenarlı bir düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı 15(15−3)2=90\frac{15(15-3)}{2} = 90 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sorudaki ilişkiyi matematiksel denkleme dökün.
İlk kenar sayısına nn diyelim. Dış açı formülü 360n\frac{360}{n}'dir. Kenar sayısı n+5n+5 olduğunda dış açı 360n+5\frac{360}{n+5} olur. Denklem: 360n−360n+5=6\frac{360}{n} - \frac{360}{n+5} = 6
Dış açının 6 derece azaldığı bilgisini kullanmak için.
2
Denklemi sadeleştirerek nn değerini bulun.
Her terimi 6'ya bölelim: 60n−60n+5=1\frac{60}{n} - \frac{60}{n+5} = 1. Payda eşitleyelim: 60(n+5)−60nn(n+5)=1→300=n2+5n\frac{60(n+5) - 60n}{n(n+5)} = 1 \rightarrow 300 = n^2 + 5n. Buradan n2+5n−300=0n^2 + 5n - 300 = 0 elde edilir. Çarpanlarına ayıralım: (n+20)(n−15)=0(n+20)(n-15)=0. nn pozitif olmalı, bu yüzden n=15n=15.
Başlangıçtaki kenar sayısını belirlemek için.
3
Bulunan kenar sayısı ile toplam köşegen sayısını hesaplayın.
Köşegen sayısı formülü n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}'dir. n=15n=15 için: 15×(15−3)2=15×122=15×6=90\frac{15 \times (15-3)}{2} = \frac{15 \times 12}{2} = 15 \times 6 = 90.
Sorunun istediği nihai değeri bulmak için.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde dış açı ve köşegen sayısı ilişkisi

İpuçları

1
Bir düzgün çokgenin dış açısının ölçüsü 360n\frac{360}{n} formülü ile bulunur.
2
Kenar sayısı nn olan çokgenin dış açısı ile n+5n+5 olanın dış açısı arasındaki fark 6 derecedir. Bu ilişkiyi bir denkleme dökün.
3
360n−360n+5=6\frac{360}{n} - \frac{360}{n+5} = 6 denklemini çözerek nn değerini bulun, sonra n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülünü kullanın.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çokgenler

Bu konudan daha fazla soru