Examkin

Çokgenler

39 soru

Soru 1Soru →

Bir düzgün çokgenin, çevrel çemberinin merkezinden geçen bir köşegeni ile bir kenarı arasındaki açı α\alpha, aynı çokgenin en kısa köşegeni ile bir kenarı arasındaki açı ise β\beta olarak tanımlanıyor.

α=8β\alpha = 8\beta olduğuna göre, bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 135

Cevap

Düzgün çokgenin köşegen sayısı 135'tir.
Düzgün çokgenin en kısa köşegeni ile kenar arasındaki açı (β\beta), dış açının yarısıdır. Merkezden geçen köşegen (en uzun) ile kenar arasındaki açı (α\alpha) ise iç açının yarısıdır. Verilen α=8β\alpha=8\beta ilişkisi kullanıldığında, iç açının dış açının 8 katı olduğu görülür. Buradan dış açı 20∘20^{\circ} bulunur ve kenar sayısı n=18n=18 çıkar. Köşegen sayısı formülü n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} ile cevap 135 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Açılar ile kenar sayısı arasındaki ilişkiyi belirle.
Düzgün çokgenin bir dış açısına 2β2\beta dersek, iç açısı 180∘−2β180^{\circ} - 2\beta olur.
En kısa köşegen (bir köşeyi atlayan), ardışık üç köşenin oluşturduğu ikizkenar üçgenin tabanıdır. Bu üçgenin tepe açısı çokgenin iç açısıdır. Taban açıları ise β\beta'dır. Dolayısıyla iç açı =180∘−2β= 180^{\circ} - 2\beta olur. Bu da 2β2\beta'nın dış açıya eşit olduğunu gösterir.
2
Merkezden geçen köşegenin özelliğini kullan.
Merkezden geçen köşegen iç açıyı ortalar, yani α=I˙c¸ Ac¸ı2\alpha = \frac{\text{İç Açı}}{2}'dir.
Bir düzgün çokgende çevrel çemberin merkezinden geçen köşegen (çap), simetri eksenidir ve bulunduğu köşedeki iç açıyı iki eş parçaya böler.
3
Verilen α=8β\alpha = 8\beta eşitliğini denklemde yerine koy.
180∘−2β2=8β⇒90∘−β=8β⇒9β=90∘⇒β=10∘\frac{180^{\circ} - 2\beta}{2} = 8\beta \Rightarrow 90^{\circ} - \beta = 8\beta \Rightarrow 9\beta = 90^{\circ} \Rightarrow \beta = 10^{\circ}.
İç açı ve dış açı arasındaki ilişkiyi kullanarak β\beta değerini bulmak için.
4
Kenar sayısını (nn) bul.
Dış açı =2β=20∘= 2\beta = 20^{\circ}. n=360∘20∘=18n = \frac{360^{\circ}}{20^{\circ}} = 18.
Dış açı formülü 360/n360/n kullanılarak kenar sayısı hesaplanır.
5
Toplam köşegen sayısını hesapla.
Köşegen Sayısı =n(n−3)2=18(18−3)2=18×152=9×15=135= \frac{n(n-3)}{2} = \frac{18(18-3)}{2} = \frac{18 \times 15}{2} = 9 \times 15 = 135.
Köşegen sayısı formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde açı özellikleri, köşegen bağıntıları ve simetri eksenleri.
Soru 2Soru →

Bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünün 4 katı olan düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı 35'tir.
Düzgün çokgenin bir dış açısına xx dersek, iç açısı 4x4x olur. Bunların toplamı 180∘180^\circ olduğundan 5x=180∘5x = 180^\circ ve x=36∘x = 36^\circ bulunur. Kenar sayısı n=360/36=10n = 360/36 = 10 olur. Köşegen sayısı formülü n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} kullanılarak 10⋅72=35\frac{10 \cdot 7}{2} = 35 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İç ve dış açı arasındaki ilişkiyi denkleme dök.
Dış açı = x olsun. İç açı = 4x olur. Bir köşedeki iç ve dış açının toplamı 180° olduğundan: x + 4x = 180°.
Düzgün çokgenin bir köşesindeki iç ve dış açı bütünlerdir.
2
Dış açıyı ve kenar sayısını (n) bul.
5x = 180° ⇒ x = 36° (dış açı). Kenar sayısı n = 360° / Dış Açı = 360° / 36° = 10.
Tüm düzgün çokgenlerde dış açılar toplamı 360°'dir ve bir dış açı 360/n formülüyle bulunur.
3
Köşegen sayısı formülünü uygula.
Köşegen Sayısı = n(n - 3) / 2 = 10(10 - 3) / 2 = 10 · 7 / 2 = 70 / 2 = 35.
n kenarlı bir çokgenin toplam köşegen sayısı n(n-3)/2 formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde açı özellikleri ve köşegen sayısı hesaplama.
Soru 3Soru →

İç açılarından üçünün ölçüsü 120∘120^{\circ}, 130∘130^{\circ} ve 140∘140^{\circ} olan bir dışbükey çokgenin diğer tüm iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 150∘150^{\circ}'dir. Buna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 10'dur.
Çokgenin dış açılar toplamı olan 360∘360^{\circ} kuralı kullanıldığında; bilinen üç açının dış açıları toplamı 150∘150^{\circ} eder. Geriye kalan 210∘210^{\circ}'lik fark, her biri 30∘30^{\circ} olan dış açılar tarafından oluşturulmalıdır (210/30=7210/30 = 7 tane). Toplamda 3+7=103 + 7 = 10 kenar elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinen iç açıların dış açılarını hesaplayınız.
180∘−120∘=60∘180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}, 180∘−130∘=50∘180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} ve 180∘−140∘=40∘180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}.
Dışbükey çokgenlerde dış açılar toplamı üzerinden işlem yapmak kenar sayısını bulmayı kolaylaştırır.
2
Diğer tüm iç açıların (150∘150^{\circ}) dış açı ölçüsünü belirleyiniz.
180∘−150∘=30∘180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}.
Eşit olan her bir iç açının dış açısı da birbirine eşit olacaktır.
3
Çokgenin toplam kenar sayısını nn kabul ederek dış açılar toplamı denklemini kurunuz.
60∘+50∘+40∘+(n−3)×30∘=360∘60^{\circ} + 50^{\circ} + 40^{\circ} + (n - 3) \times 30^{\circ} = 360^{\circ}.
Herhangi bir dışbükey çokgenin dış açılarının toplamı her zaman 360∘360^{\circ}'dir. İlk üç açı bilindiği için geriye kalan n−3n-3 açının toplamı hesaba katılır.
4
Kurulan denklemi çözerek nn değerini bulunuz.
150∘+(n−3)×30∘=360∘⇒(n−3)×30∘=210∘⇒n−3=7⇒n=10150^{\circ} + (n - 3) \times 30^{\circ} = 360^{\circ} \Rightarrow (n - 3) \times 30^{\circ} = 210^{\circ} \Rightarrow n - 3 = 7 \Rightarrow n = 10.
Cebirsel işlemler sonucunda kenar sayısı 10 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerde dış açılar toplamı daima 360∘360^{\circ}'dir.

İpuçları

1
Çokgen problemlerinde kenar sayısını bulmak için iç açılar yerine dış açılar toplamını (360∘360^{\circ}) kullanmayı deneyin.
2
Verilen üç iç açının her birini 180∘180^{\circ}'den çıkararak dış açılarını bulun ve toplayın.
3
Bulduğunuz bu toplamı 360∘360^{\circ}'den çıkarın; kalan değer, her biri 30∘30^{\circ} olan diğer dış açıların toplamıdır.

Daha Fazla Pratik

İç açıları toplamı 1800∘1800^{\circ} olan düzgün bir çokgenin bir dış açısı kaç derecedir?

Alternatif Yöntem

İç açılar toplamı formülü kullanılabilir: 120+130+140+(n−3)×150=(n−2)×180120 + 130 + 140 + (n-3) \times 150 = (n-2) \times 180. Bu denklem çözüldüğünde: 390+150n−450=180n−360⇒150n−60=180n−360⇒30n=300⇒n=10390 + 150n - 450 = 180n - 360 \Rightarrow 150n - 60 = 180n - 360 \Rightarrow 30n = 300 \Rightarrow n = 10.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 4Soru →

Bir düzgün çokgenin üç iç açısının ölçüleri toplamı, iki dış açısının ölçüleri toplamının 6 katına eşittir. Buna göre, bu düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Bu düzgün çokgen 10 kenarlıdır.
Verilen ilişkiden bir iç açının bir dış açının 4 katı olduğu (i=4di=4d) bulunur. Bu durumda 5d=180∘5d=180^\circ eşitliğinden dış açı 36∘36^\circ çıkar. 360/36360/36 işlemi ile kenar sayısı 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İç açı (ii) ve dış açı (dd) arasındaki ilişkiyi ve verilen denklemi yaz.
i+d=180∘i + d = 180^\circ ve 3i=6⋅(2d)3i = 6 \cdot (2d)
Bir köşedeki iç ve dış açının toplamı 180∘180^\circ dir. Soruda verilen ilişki matematiksel dile çevrilir.
2
Verilen denklemi sadeleştirerek iç ve dış açı arasındaki oranı bul.
3i=12d⇒i=4d3i = 12d \Rightarrow i = 4d
Denklem çözümü için değişken sayısını azaltmak gerekir.
3
Bulunan ilişkiyi toplam denkleminde yerine koy ve bir dış açıyı hesapla.
4d+d=180∘⇒5d=180∘⇒d=36∘4d + d = 180^\circ \Rightarrow 5d = 180^\circ \Rightarrow d = 36^\circ
Bir dış açının ölçüsü bulunduğunda kenar sayısı hesaplanabilir.
4
Kenar sayısı formülünü kullanarak sonuca ulaş.
n=360∘36∘=10n = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10
Düzgün çokgenlerde kenar sayısı n=360∘Dıs¸ Ac¸ın = \frac{360^\circ}{\text{Dış Açı}} formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde bir iç açı ile bir dış açının toplamı 180∘180^\circ dir ve dış açıların toplamı daima 360∘360^\circ dir.

İpuçları

1
Bir düzgün çokgenin bir köşesindeki iç açı ile dış açının toplamının kaç derece olduğunu hatırlayınız.
2
İç açıya ii, dış açıya dd diyerek soruda verilen '3i=6(2d)3i = 6(2d)' eşitliğini kullanın.
3
i=4di = 4d bulduktan sonra, i+d=180∘i + d = 180^\circ denkleminde yerine yazarak dış açıyı bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, iç açısı dış açısının 5 katı olan düzgün çokgenin köşegen sayısını bulunuz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →

Aşağıdaki şekilde ABCDEABCDE düzgün beşgeni verilmiştir. Buna göre, bu düzgün beşgenin bir iç açısının ölçüsü (α)(\alpha) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Düzgün beşgenin bir iç açısının ölçüsü 108∘108^{\circ}'dir.
Düzgün beşgenin 5 kenarı vardır. İç açılar toplamı (5−2)×180=540(5-2) \times 180 = 540 derecedir. Düzgün olduğu için tüm iç açılar eşittir ve bir iç açısı 540/5=108540 / 5 = 108 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Çokgenin iç açılar toplamını hesapla
(5−2)×180∘=3×180∘=540∘(5-2) \times 180^{\circ} = 3 \times 180^{\circ} = 540^{\circ}
Bir çokgenin iç açılar toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ} formülü ile bulunur.
2
Toplam açıyı kenar sayısına bölerek bir iç açıyı bul
540∘/5=108∘540^{\circ} / 5 = 108^{\circ}
Düzgün çokgenlerde tüm iç açılar birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerin iç açılarının hesaplanması

İpuçları

1
Beşgenin toplam iç açısını bulmak için kenar sayısını (n=5) formülde yerine koyun.
2
Bir çokgenin iç açılar toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ} formülü ile hesaplanır.
3
Bulduğunuz toplam açıyı (540∘540^{\circ}) kenar sayısı olan 5'e bölerek α\alpha değerine ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir işlemi düzgün bir altıgen için yaparak iç açıları karşılaştırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce dış açıyı bulup 180'den çıkarabilirsiniz: Dış açı = 360/5=72∘360 / 5 = 72^{\circ}. İç açı = 180−72=108∘180 - 72 = 108^{\circ}.
Tahmini Süre:45s
Soru 6Soru →

Kenar sayısı nn olan bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü α\alpha, kenar sayısı 2n2n olan bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü ise (α+15∘)(\alpha + 15^\circ) olarak verilmiştir.

Buna göre, kenar sayısı nn olan düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

Kenar sayısı n=12n=12 olduğundan toplam köşegen sayısı 54'tür.
Soruda verilen bilgilere göre, kenar sayısı nn olan düzgün çokgen ile 2n2n olan düzgün çokgenin iç açıları farkı 15∘15^\circ'dir. İç açılar toplamı sabit (180∘180^\circ) olduğu için, iç açıdaki 15∘15^\circ'lik artış, dış açıda 15∘15^\circ'lik bir azalmaya denk gelir. nn kenarlı çokgenin dış açısı 360n\frac{360}{n}, 2n2n kenarlı çokgenin dış açısı 3602n=180n\frac{360}{2n} = \frac{180}{n}'dir. Bu fark 360n−180n=180n=15∘\frac{360}{n} - \frac{180}{n} = \frac{180}{n} = 15^\circ denklemini verir. Buradan n=12n=12 bulunur. 12 kenarlı bir düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı ise 12(12−3)2=54\frac{12(12-3)}{2} = 54 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Düzgün çokgenin bir iç açısı formülünü veya dış açı ilişkisini belirle.
Bir iç açı = 180∘−Dıs¸ Ac¸ı180^\circ - \text{Dış Açı} ve Dış Açı = 360∘n\frac{360^\circ}{n}.
İç açılar üzerinden denklem kurmak yerine dış açılar farkını kullanmak işlemi basitleştirir.
2
Verilen iki çokgenin dış açılarını ifade et ve fark denklemini kur.
nn kenarlı çokgenin dış açısı d1=360nd_1 = \frac{360}{n}, 2n2n kenarlı çokgenin dış açısı d2=3602n=180nd_2 = \frac{360}{2n} = \frac{180}{n}. İç açısı 15∘15^\circ artıyorsa, dış açısı 15∘15^\circ azalmıştır: d1−d2=15d_1 - d_2 = 15.
İç açı ile dış açının toplamı 180∘180^\circ olduğundan, iç açıdaki artış dış açıdaki azalışa eşittir.
3
Denklemi çözerek nn değerini bul.
360n−180n=15⇒180n=15⇒n=18015=12\frac{360}{n} - \frac{180}{n} = 15 \Rightarrow \frac{180}{n} = 15 \Rightarrow n = \frac{180}{15} = 12.
Kenar sayısını bulmak için.
4
Toplam köşegen sayısı formülünü n=12n=12 için uygula.
Köşegen Sayısı = n(n−3)2=12(12−3)2=12×92=54\frac{n(n-3)}{2} = \frac{12(12-3)}{2} = \frac{12 \times 9}{2} = 54.
Soruda istenen nihai değeri hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde kenar sayısı arttıkça iç açı artar, dış açı azalır. Dış açı formülü (360/n360/n) genellikle iç açı formülünden (180(n−2)/n180(n-2)/n) daha pratik çözümler sağlar.

İpuçları

1
Düzgün çokgenlerde iç açı formülü biraz karmaşık olabilir (180(n−2)/n180(n-2)/n). Bunun yerine, bir iç açı ile bir dış açının toplamının 180∘180^\circ olduğu bilgisini kullanarak dış açılar üzerinden gitmeyi dene.
2
Kenar sayısı nn olan çokgenin dış açısı 360/n360/n, kenar sayısı 2n2n olanınki ise 360/(2n)360/(2n)'dir. İç açı 15∘15^\circ arttıysa, dış açı 15∘15^\circ azalmıştır.
3
360n−3602n=15\frac{360}{n} - \frac{360}{2n} = 15 denklemini çözerek nn sayısını bul, sonra n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülünü kullan.

Daha Fazla Pratik

İç açısı dış açısının 5 katı olan düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Alternatif Yöntem

Dış açı formülü yerine iç açı formülüyle çözüm: (2n−2)1802n−(n−2)180n=15\frac{(2n-2)180}{2n} - \frac{(n-2)180}{n} = 15 denklemi kurulabilir. Paydalar eşitlenerek çözüm yapıldığında yine n=12n=12 sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 7Soru →

Bir dışbükey çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegenlerin sayısı, bu çokgenin tüm köşegenlerinin sayısının 16\frac{1}{6}'sına eşittir. Buna göre, bu çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1800∘1800^{\circ}

Cevap

İç açılar toplamı 1800∘1800^{\circ} olan seçenek doğrudur.
Çokgenin kenar sayısı nn olduğunda, bir köşeden çizilen köşegenlerin sayısı n−3n-3 ve tüm köşegenlerin sayısı n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülleriyle ifade edilir. Sorudaki ilişkiye göre (n−3)=16⋅n(n−3)2(n-3) = \frac{1}{6} \cdot \frac{n(n-3)}{2} eşitliği yazılır. Bu eşitlikten n=12n=12 (onikigen) sonucuna ulaşılır. Onikigenin iç açılar toplamı ise (12−2)⋅180∘=1800∘(12-2) \cdot 180^{\circ} = 1800^{\circ} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Köşegen sayısı formüllerini belirleyin.
nn kenarlı bir çokgende bir köşeden çizilen köşegen sayısı n−3n-3, toplam köşegen sayısı ise n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülü ile bulunur.
Soruda verilen orantıyı kurabilmek için bu temel formüllere ihtiyaç vardır.
2
Verilen oranı kullanarak denklemi kurun.
(n−3)=16⋅n(n−3)2(n-3) = \frac{1}{6} \cdot \frac{n(n-3)}{2} denklemi elde edilir.
Bir köşeden çizilen köşegen sayısının toplam köşegen sayısına oranı 16\frac{1}{6} olarak verilmiştir.
3
Kenar sayısını (nn) bulmak için denklemi çözün.
n−3n-3 terimleri sadeleştiğinde (çünkü n>3n>3), 1=n121 = \frac{n}{12} buradan da n=12n = 12 bulunur.
Çokgenin kaç kenarlı olduğunu belirlemek, iç açılar toplamını bulmak için gereklidir.
4
İç açılar toplamı formülünü uygulayın.
(n−2)⋅180∘→(12−2)⋅180∘=10⋅180∘=1800∘(n-2) \cdot 180^{\circ} \rightarrow (12-2) \cdot 180^{\circ} = 10 \cdot 180^{\circ} = 1800^{\circ} bulunur.
Bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n−2)⋅180∘(n-2) \cdot 180^{\circ} formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Çokgenlerde Köşegen Sayısı ve İç Açılar Toplamı İlişkisi

İpuçları

1
Çokgenin kenar sayısına nn diyerek başlayın ve bir köşeden çizilen köşegen sayısı formülünü hatırlayın.
2
Bir köşeden çizilen köşegen sayısı n−3n-3, toplam köşegen sayısı ise n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}'dir. Bu ikisini verilen orana göre eşitleyin.
3
Elde ettiğiniz n−3=n(n−3)12n-3 = \frac{n(n-3)}{12} denkleminden nn değerini bulup iç açılar toplamı formülünde yerine yazın.

Daha Fazla Pratik

Bir köşeden çizilen köşegenlerin çokgeni kaç üçgene ayırdığı ve bu üçgen sayısının toplam köşegen sayısıyla olan ilişkisini inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Orantıdan doğrudan nn değerini görebilirsiniz: n−3n(n−3)2=16⇒2n=16\frac{n-3}{\frac{n(n-3)}{2}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{2}{n} = \frac{1}{6} olduğu için n=12n=12 olduğu kolayca fark edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 8Soru →

Bir dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri, ortak farkı 5∘5^{\circ} olan aritmetik bir dizi oluşturmaktadır. Bu çokgenin en küçük iç açısının ölçüsü 120∘120^{\circ} olduğuna göre, çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Çokgenin toplam köşegen sayısı 27'dir.
Verilen şartları sağlayan denklem kurulup çözüldüğünde n=9 ve n=16 kökleri bulunur. Ancak n=16 değeri için en büyük iç açı 195 derece çıktığından dışbükeylik şartı bozulur. Dolayısıyla çokgen 9 kenarlıdır ve köşegen sayısı 27 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İç açılar toplamı formülünü ve aritmetik dizi toplam formülünü eşitle.
(n−2)180=n2[2(120)+(n−1)5](n-2)180 = \frac{n}{2}[2(120) + (n-1)5]
Çokgenin iç açılar toplamı hem (n−2)180(n-2)180 formülüyle hem de verilen aritmetik dizi toplamıyla ifade edilebilir.
2
Elde edilen denklemi düzenleyerek ikinci dereceden denklemi kur.
360n−720=235n+5n2  ⟹  n2−25n+144=0360n - 720 = 235n + 5n^2 \implies n^2 - 25n + 144 = 0
Denklem çözümü için ifade an2+bn+c=0an^2+bn+c=0 standart formuna getirilmelidir.
3
Denklemin köklerini bul.
(n−9)(n−16)=0  ⟹  n=9(n-9)(n-16) = 0 \implies n=9 veya n=16n=16
Çarpanlara ayırma yöntemiyle olası kenar sayıları bulunur.
4
Dışbükeylik şartını (her iç açı < 180°) kontrol et.
n=16n=16 için en büyük açı 120+15(5)=195∘120 + 15(5) = 195^{\circ} olur, bu geçersizdir. n=9n=9 için en büyük açı 160∘160^{\circ} olur, bu geçerlidir.
Dışbükey çokgenlerde hiçbir iç açı 180 derece veya daha büyük olamaz. Bu nedenle n=16 elenir.
5
Geçerli n değeri için köşegen sayısını hesapla.
Köşegen Sayısı = 9(9−3)2=9×62=27\frac{9(9-3)}{2} = \frac{9 \times 6}{2} = 27
n kenarlı çokgenin köşegen sayısı n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Çokgenlerde Açı ve Köşegen İlişkileri

İpuçları

1
Çokgenin iç açılarının toplamı (n−2)180∘(n-2)180^{\circ} formülüyle bulunur. Ayrıca aritmetik dizinin toplam formülünü hatırlayın.
2
İki toplam formülünü birbirine eşitleyerek n'ye bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edin: n2−25n+144=0n^2 - 25n + 144 = 0.
3
Denklemin iki kökü vardır (9 ve 16). Ancak 'dışbükey' olma şartını (her bir açının 180'den küçük olması) kontrol ederek doğru n değerini seçmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu dış açılar toplamı üzerinden kurgulayarak çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Dış açılardan gidilebilir: İç açılar aritmetik dizi ise dış açılar da aritmetik dizidir. En büyük dış açı 180−120=60∘180-120=60^{\circ}, ortak fark −5∘-5^{\circ} olur. Dış açılar toplamı her zaman 360 derecedir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 9Soru →

Bir düzgün çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı, bir dış açısının ölçüsünün 6060 katına eşittir. Buna göre, bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

Bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı 54'tür.
Soruda verilen oran kullanılarak çokgenin 12 kenarlı bir düzgün çokgen (onikigen) olduğu tespit edilir. n=12n=12 için köşegen sayısı formülü n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} uygulandığında sonuç 54 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Düzgün çokgenin kenar sayısına nn diyelim. İç açılar toplamı ve bir dış açı formüllerini yazalım.
İç Açılar Toplamı = (n−2)⋅180∘(n-2) \cdot 180^{\circ}, Bir Dış Açı = 360∘n\frac{360^{\circ}}{n}
Sorudaki ilişkiyi matematiksel denkleme dökmek için temel çokgen formülleri gereklidir.
2
Soruda verilen "iç açılar toplamı, dış açının 60 katıdır" ilişkisini denklem olarak kuralım.
(n−2)⋅180=60⋅360n(n-2) \cdot 180 = 60 \cdot \frac{360}{n}
Sözel ifadeyi cebirsel eşitliğe çevirerek nn değerini bulmak amaçlanır.
3
Denklemi sadeleştirerek nn değerini bulalım.
(n−2)⋅180=21600n⇒n(n−2)=21600180⇒n(n−2)=120(n-2) \cdot 180 = \frac{21600}{n} \Rightarrow n(n-2) = \frac{21600}{180} \Rightarrow n(n-2) = 120. Bu denklemi sağlayan pozitif tam sayı n=12n=12'dir.
Çokgenin kenar sayısı (nn) bulunduğunda, köşegen sayısı hesaplanabilir.
4
Bulunan n=12n=12 değeri için toplam köşegen sayısını hesaplayalım.
Köşegen Sayısı = n(n−3)2=12(12−3)2=12⋅92=54\frac{n(n-3)}{2} = \frac{12(12-3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = 54
Sonuç olarak istenen değer toplam köşegen sayısıdır.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde açı bağıntıları ve köşegen sayısı formülü arasındaki cebirsel ilişki.

İpuçları

1
Düzgün çokgenin kenar sayısına nn diyerek, iç açılar toplamı formülü ile bir dış açı formülünü yazınız.
2
Sorudaki ilişkiyi denklem olarak yazın: (n−2)⋅180=60⋅(360n)(n-2) \cdot 180 = 60 \cdot \left(\frac{360}{n}\right).

Daha Fazla Pratik

İç açılar toplamı yerine bir iç açısının ölçüsü ile dış açısının ölçüsü oranı verilen soruları çözün.

Alternatif Yöntem

Şıklardan gidilerek her bir şıkkın köşegen sayısı formülüne göre nn değeri bulunup, bu nn değerinin verilen oranı sağlayıp sağlamadığı kontrol edilebilir (Örneğin şık 54 ise n(n−3)2=54⇒n=12\frac{n(n-3)}{2}=54 \Rightarrow n=12. Kontrol: 10⋅180/(360/12)=1800/30=6010 \cdot 180 / (360/12) = 1800 / 30 = 60. Doğru).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 10Soru →

Bir ABCDEFABCDEF düzgün altıgeninde ACAC köşegeni çizilmiştir. Bu köşegen üzerinde, ∣AK∣=∣CD∣|AK| = |CD| eşitliğini sağlayan bir KK noktası işaretleniyor.

Buna göre, m(KBC^)m(\widehat{KBC}) açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45∘45^{\circ}

Cevap

İstenen açının ölçüsü 45∘45^{\circ} olarak bulunur.
Düzgün altıgenin iç açısı 120∘120^{\circ}'dir. ACAC köşegeni çizildiğinde oluşan ABCABC üçgeni 30∘−30∘−120∘30^{\circ}-30^{\circ}-120^{\circ} ikizkenar üçgenidir. Soruda verilen ∣AK∣=∣CD∣|AK|=|CD| bilgisi, altıgenin tüm kenarları eşit olduğundan ∣AK∣=∣AB∣|AK|=|AB| olduğunu gösterir. Bu durumda ABKABK üçgeni, tepe açısı 30∘30^{\circ} olan bir ikizkenar üçgen olur ve taban açıları 75∘75^{\circ} bulunur. Altıgenin BB köşesindeki tamamı 120∘120^{\circ} olan açıdan 75∘75^{\circ} çıkarıldığında geriye 45∘45^{\circ} kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Düzgün altıgenin özelliklerini kullanarak kenar eşitliklerini belirle.
Düzgün altıgende tüm kenar uzunlukları eşittir, bu nedenle ∣AB∣=∣CD∣|AB| = |CD|'dir. Soruda verilen ∣AK∣=∣CD∣|AK| = |CD| eşitliği ile birleştirildiğinde ∣AK∣=∣AB∣|AK| = |AB| elde edilir.
Üçgenin ikizkenarlığını tespit etmek için kenar uzunlukları arasında ilişki kurmak gerekir.
2
ABCABC üçgenindeki açıları hesapla.
ABCABC üçgeninde tepe açısı m(B^)=120∘m(\widehat{B}) = 120^{\circ} ve ∣AB∣=∣BC∣|AB| = |BC| olduğundan ikizkenardır. Taban açıları m(BAC^)=m(BCA^)=180∘−120∘2=30∘m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BCA}) = \frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2} = 30^{\circ} olur.
Köşegenin oluşturduğu açıyı bularak ABKABK üçgeninin tepe açısını belirlemek için.
3
ABKABK ikizkenar üçgeninde taban açılarını hesapla.
∣AK∣=∣AB∣|AK| = |AB| olduğundan △ABK\triangle ABK ikizkenardır. Tepe açısı m(KAB^)=30∘m(\widehat{KAB}) = 30^{\circ} olduğundan, taban açısı m(ABK^)=180∘−30∘2=75∘m(\widehat{ABK}) = \frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2} = 75^{\circ} bulunur.
Hedeflenen KBCKBC açısını bulmak için ABKABK açısına ihtiyaç vardır.
4
İstenen m(KBC^)m(\widehat{KBC}) açısını bulmak için fark işlemini yap.
m(ABC^)=120∘m(\widehat{ABC}) = 120^{\circ} olduğundan, m(KBC^)=m(ABC^)−m(ABK^)=120∘−75∘=45∘m(\widehat{KBC}) = m(\widehat{ABC}) - m(\widehat{ABK}) = 120^{\circ} - 75^{\circ} = 45^{\circ}.
Sonuca ulaşmak için toplam açıdan bilinen parçayı çıkarmak gerekir.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde kenar eşitliklerinin köşegenler üzerindeki noktalarla oluşturduğu gizli ikizkenar üçgenlerin tespiti.

İpuçları

1
Düzgün altıgenin tüm kenar uzunluklarının eşit olduğunu hatırlayın (∣AB∣=∣CD∣|AB| = |CD|).
2
∣AB∣=∣AK∣|AB| = |AK| eşitliğini kullanarak ABKABK üçgeninin türünü belirleyin.
3
ABCABC üçgeninde AA açısı 30∘30^{\circ}'dir. ABKABK ikizkenar üçgeninin taban açılarını hesaplayıp 120∘120^{\circ}'den çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Düzgün beşgen içinde benzer bir ikizkenar üçgen oluşturma sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Çember yöntemi: Düzgün altıgenin çevrel çemberi çizilirse, ABAB yayı 60∘60^{\circ}'dir. Açı hesaplamaları çemberde açı özellikleri ile de yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 11Soru →

Bir dışbükey çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenlerin bu çokgeni ayırdığı üçgenlerin iç açılarının ölçüleri toplamı 1260∘1260^{\circ}'dir. Buna göre, bu çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Çokgenin toplam köşegen sayısı 27'dir.
Çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenler çokgeni n−2n-2 tane üçgene ayırır. Verilen toplam açı değeri olan 1260∘1260^{\circ} bir üçgenin iç açıları toplamı olan 180∘180^{\circ}'ye bölündüğünde 7 sayısı elde edilir. n−2=7n-2 = 7 denkleminden çokgenin 9 kenarlı olduğu bulunur. 9 kenarlı bir çokgenin toplam köşegen sayısı 9×(9−3)2\frac{9 \times (9-3)}{2} formülünden 27 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgen sayısını bulmak için toplam açıyı 180∘180^{\circ}'ye bölün.
1260/180=71260 / 180 = 7 adet üçgen.
Her bir üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^{\circ}'dir.
2
Çokgenin kenar sayısını (nn) bulun.
n−2=7⇒n=9n - 2 = 7 \Rightarrow n = 9.
nn kenarlı bir çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenler çokgeni n−2n-2 tane üçgene ayırır.
3
Toplam köşegen sayısı formülünü uygulayın.
n(n−3)2=9(9−3)2=9×62=27\frac{n(n-3)}{2} = \frac{9(9-3)}{2} = \frac{9 \times 6}{2} = 27.
Bir çokgenin tüm köşegenlerinin sayısını veren standart formül kullanılır.

Anahtar Kavram

Bir dışbükey çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenler çokgeni n−2n-2 tane üçgene ayırır ve bu üçgenlerin iç açılarının toplamı çokgenin iç açılar toplamına eşittir.

İpuçları

1
Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180∘180^{\circ}'dir. 1260∘1260^{\circ} toplamında kaç tane üçgen olduğunu bularak işe başlayın.
2
nn kenarlı bir çokgende bir köşeden çıkan köşegenler çokgeni n−2n-2 tane üçgene ayırır. Buradan kenar sayısını bulabilirsiniz.
3
Kenar sayısını (nn) bulduktan sonra, tüm köşegenlerin sayısını veren n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülünü uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Farklı kenar sayılarına sahip düzgün çokgenlerin bir iç açısı ile toplam köşegen sayısı arasındaki ilişkiyi inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Doğrudan çokgenin iç açılar toplamı formülünü (180(n−2)180(n-2)) kullanarak da kenar sayısına ulaşabilirsiniz, çünkü bu üçgenlerin açılarının toplamı çokgenin iç açılar toplamına eşittir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 12Soru →

Bir ABCDEABCDE dışbükey beşgeninde; AA, BB ve EE köşelerindeki iç açıların ölçüleri sırasıyla 100∘100^\circ, 110∘110^\circ ve 120∘120^\circ'dir. C^\widehat{C} ve D^\widehat{D} açılarının açıortayları beşgenin iç bölgesindeki bir KK noktasında kesişmektedir.

Buna göre, CKDCKD açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75

Cevap

Doğru cevap 75 derecedir.
Beşgenin iç açıları toplamı (5−2)×180=540(5-2) \times 180 = 540 derecedir. Verilen açıların toplamı 100+110+120=330100+110+120=330 derecedir. Geriye kalan C^\widehat{C} ve D^\widehat{D} açılarının toplamı 540−330=210540-330=210 derecedir. Açıortaylar çizildiğinde oluşan CKDCKD üçgeninin taban açıları toplamı 2102=105\frac{210}{2}=105 derece olur. Üçgenin iç açısı kuralından tepe açısı 180−105=75180-105=75 derece bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Beşgenin iç açıları toplamını hesapla.
(5−2)×180∘=540∘(5-2) \times 180^\circ = 540^\circ
Birçokgenin iç açıları toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ formülü ile bulunur.
2
Verilen açıların toplamını bul ve 540'tan çıkararak C ve D açılarının toplamını elde et.
m(C^)+m(D^)=540∘−(100∘+110∘+120∘)=540∘−330∘=210∘m(\widehat{C}) + m(\widehat{D}) = 540^\circ - (100^\circ + 110^\circ + 120^\circ) = 540^\circ - 330^\circ = 210^\circ
Bilinmeyen açıların toplamını bulmak için bilinenleri toplamdan çıkarırız.
3
CKD üçgenindeki taban açılarının toplamını belirle.
m(KCD^)+m(KDC^)=m(C^)+m(D^)2=210∘2=105∘m(\widehat{KCD}) + m(\widehat{KDC}) = \frac{m(\widehat{C}) + m(\widehat{D})}{2} = \frac{210^\circ}{2} = 105^\circ
K noktası açıortayların kesişim noktası olduğu için, üçgenin taban açıları C ve D açılarının yarısıdır.
4
CKD üçgeninin tepe açısını (x) hesapla.
x=180∘−105∘=75∘x = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ
Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

Anahtar Kavram

Çokgenlerde Açı Özellikleri ve Açıortay
Soru 13Soru →

Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünün 33 katıdır.

Buna göre, bu düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Düzgün çokgenin kenar sayısı 8'dir (Sekizgen).
Bir düzgün çokgende bir dış açı α\alpha ise, iç açı 3α3\alpha olur. Toplamları 4α=180∘4\alpha = 180^\circ olduğundan dış açı 45∘45^\circ'dir. Kenar sayısı 360/45=8360/45 = 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dış açıya bir değişken ata ve iç açıyı bu değişken cinsinden ifade et.
Dış açı = α\alpha ise, İç açı = 3α3\alpha olur.
Soruda iç açının dış açının 3 katı olduğu belirtilmiştir.
2
Bir köşedeki iç ve dış açı toplamının 180 derece olduğu bilgisini kullanarak denklemi kur.
α+3α=180∘⇒4α=180∘\alpha + 3\alpha = 180^\circ \Rightarrow 4\alpha = 180^\circ
Bütün çokgenlerde bir köşeye ait iç ve dış açılar bütünlerdir.
3
Denklemi çözerek dış açının ölçüsünü bul.
α=1804=45∘\alpha = \frac{180}{4} = 45^\circ
Dış açının ölçüsü kenar sayısını bulmak için gereklidir.
4
Dış açı formülünü kullanarak kenar sayısını hesapla.
n=360∘Dıs¸ Ac¸ı=36045=8n = \frac{360^\circ}{\text{Dış Açı}} = \frac{360}{45} = 8
Düzgün çokgenlerde kenar sayısı, 360 derecenin bir dış açıya bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde bir köşedeki iç ve dış açının toplamı 180∘180^\circ'dir ve kenar sayısı n=360Dıs¸ Ac¸ın = \frac{360}{\text{Dış Açı}} formülü ile bulunur.

İpuçları

1
Bir çokgenin aynı köşesindeki iç açı ile dış açının toplamı kaç derecedir?
2
Dış açıya xx derseniz, iç açı 3x3x olur. Bunların toplamı 180∘180^\circ'ye eşittir.
3
4x=180∘4x = 180^\circ eşitliğinden dış açıyı bulup, 360∘360^\circ'yi bu açıya bölerek kenar sayısını bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

İç açısı dış açısının 4 katı olan düzgün çokgenin köşegen sayısını soran bir soru çözülebilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 14Soru →

Bir dışbükey çokgenin üç iç açısının ölçüleri 105∘105^{\circ}, 120∘120^{\circ} ve 135∘135^{\circ}'dir. Bu çokgenin diğer iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 168∘168^{\circ} olduğuna göre, çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 18'dir.
Çokgenin dış açıları toplamının 360∘360^{\circ} olması kuralından hareket edildiğinde; verilen açılara ait dış açılar 75∘,60∘,45∘75^{\circ}, 60^{\circ}, 45^{\circ} bulunur. Bunların toplamı 180∘180^{\circ}'dir. Geriye kalan 360∘−180∘=180∘360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}'lik dış açı toplamı, her biri 12∘12^{\circ} olan (180∘−168∘180^{\circ}-168^{\circ}) diğer köşelere aittir. 180/12=15180/12 = 15 adet diğer köşe vardır. Başlangıçtaki 3 köşe ile birlikte toplam 15+3=1815+3=18 kenarlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Çokgen sorularında kenar sayısını bulmak için dış açılar toplamından gitmek en pratik yöntemdir. Dışbükey bir çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı daima 360∘360^{\circ}'dir.
Dış Açılar Toplamı = 360∘360^{\circ}
İç açılar toplamı kenar sayısına (n)(n) bağlıyken, dış açılar toplamı sabittir.
2
Verilen iç açılara karşılık gelen dış açıları hesaplayalım (180∘−I˙c¸ Ac¸ı180^{\circ} - \text{İç Açı}).
1. Dış Açı: 180∘−105∘=75∘180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}
2. Dış Açı: 180∘−120∘=60∘180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}
3. Dış Açı: 180∘−135∘=45∘180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}
Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı 180∘180^{\circ}'dir.
3
Diğer eşit iç açıların (168∘168^{\circ}) her birine karşılık gelen dış açıyı bulalım.
Diğer Dış Açılar: 180∘−168∘=12∘180^{\circ} - 168^{\circ} = 12^{\circ}
Kalan tüm köşelerdeki dış açılar birbirine eşittir.
4
Dış açılar toplamı denklemini kuralım. Bilinen üç dış açının toplamı ile kalan kk adet dış açının toplamı 360∘360^{\circ} olmalıdır.
75∘+60∘+45∘+12∘⋅k=360∘75^{\circ} + 60^{\circ} + 45^{\circ} + 12^{\circ} \cdot k = 360^{\circ}
180∘+12∘⋅k=360∘180^{\circ} + 12^{\circ} \cdot k = 360^{\circ}
Tüm dış açıların toplamı 360∘360^{\circ}'ye eşitlenir.
5
Denklemden kk (eşit açıların sayısı) değerini bulup toplam kenar sayısına ulaşalım.
12∘⋅k=180∘⇒k=1512^{\circ} \cdot k = 180^{\circ} \Rightarrow k = 15
Toplam Kenar Sayısı = 3+15=183 + 15 = 18
Başlangıçtaki 3 köşe ile sonradan bulunan 15 köşe toplanır.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerde dış açılar toplamı sabit olup 360∘360^{\circ}'dir. Kenar sayısı hesaplamalarında iç açılar yerine dış açıları kullanmak işlem kolaylığı sağlar.

İpuçları

1
Kenar sayısı sorularında iç açılar toplamı formülü (n−2)180(n-2)180 yerine, dış açılar toplamı (360∘360^{\circ}) üzerinden gitmek daha kolaydır.
2
Her bir iç açıyı 180∘180^{\circ}'ye tamamlayan dış açıları bulunuz. Verilenler için: 75∘,60∘,45∘75^{\circ}, 60^{\circ}, 45^{\circ}.
3
Bilinen dış açıların toplamı 180∘180^{\circ} eder. Kalan 180∘180^{\circ}'lik dış açı toplamını, eşit olan dış açılara (12∘12^{\circ}) bölerek kaç tane daha kenar olduğunu bulunuz.

Daha Fazla Pratik

Bir iç açısı ve bir dış açısı arasında kat ilişkisi verilen düzgün çokgen sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

İç açılar toplamı formülüyle çözüm: 105+120+135+(n−3)⋅168=(n−2)⋅180105 + 120 + 135 + (n-3) \cdot 168 = (n-2) \cdot 180. Bu denklem çözüldüğünde de n=18n=18 sonucu bulunur ancak işlem yükü daha fazladır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 15Soru →

Aşağıdaki şekilde bir düzgün sekizgen verilmiştir.

Buna göre, bu düzgün sekizgenin bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünden kaç derece fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9090

Cevap

Düzgün sekizgenin bir iç açısı ile bir dış açısı arasındaki fark 90∘90^{\circ}'dir.
Düzgün sekizgenin bir dış açısı 360∘/8=45∘360^{\circ} / 8 = 45^{\circ} olarak hesaplanır. İç açı ve dış açı birbirini 180∘180^{\circ}'ye tamamladığı için iç açı 180∘−45∘=135∘180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} olur. Bu iki değerin farkı 135∘−45∘=90∘135^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Dış açının hesaplanması
360∘/8=45∘360^{\circ} / 8 = 45^{\circ}
Bütün düzgün çokgenlerin dış açılarının toplamı 360∘360^{\circ}'dir. Bir dış açıyı bulmak için bu toplam kenar sayısına bölünür.
2
İç açının hesaplanması
180∘−45∘=135∘180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}
Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı her zaman 180∘180^{\circ}'dir (doğru açı).
3
Farkın bulunması
135∘−45∘=90∘135^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ}
Soruda iç açının dış açıdan ne kadar fazla olduğu sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde bir dış açı 360/n360/n formülüyle, bir iç açı ise dış açıyı 180∘180^{\circ}'ye tamamlayan değerle bulunur.

İpuçları

1
Düzgün çokgenlerde dış açıyı bulmak için 360∘360^{\circ} toplam kenar sayısına bölünür.
2
Bir iç açı ile o köşeye ait dış açının toplamının 180∘180^{\circ} olduğunu hatırlayın.
3
Sekizgen olduğu için 360/8360 / 8 işlemini yaparak dış açıyı, ardından 180180 - (dış açı) yaparak iç açıyı bulun ve farklarını alın.

Daha Fazla Pratik

Farklı kenar sayılarına sahip düzgün çokgenler (örneğin düzgün ongen) için aynı farkı hesaplayarak pratiğinizi artırabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 16Soru →

Kenar uzunlukları birbirine eşit olan ABCDEFABCDEF düzgün altıgeni ile ABKLMABKLM düzgün beşgeni, [AB][AB] kenarı çakışacak şekilde aynı düzlemde çizilmiştir. Düzgün beşgen, düzgün altıgenin iç bölgesinde yer almaktadır.

Buna göre, m(CBK^)m(\widehat{CBK}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İki çokgenin iç açıları farkı olan 12 derecedir.
Düzgün altıgenin bir iç açısı 120∘120^\circ, düzgün beşgenin bir iç açısı ise 108∘108^\circ'dir. Beşgen, altıgenin içinde ve bir kenarları ortak olduğundan, aradaki açı bu iki değerin farkı olan 12∘12^\circ'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Düzgün çokgenlerin bir iç açısının ölçüsünü bulmak için (n−2)⋅180∘n\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} formülü kullanılır.
Formül hatırlanır.
Her iki çokgenin BB köşesindeki açısını bulmak için iç açı formülüne ihtiyaç vardır.
2
ABCDEFABCDEF düzgün altıgeninin bir iç açısını hesapla (n=6n=6).
(6−2)⋅180∘6=4⋅180∘6=120∘\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ. Yani m(ABC^)=120∘m(\widehat{ABC}) = 120^\circ.
Altıgenin BB köşesindeki açısı belirlenir.
3
ABKLMABKLM düzgün beşgeninin bir iç açısını hesapla (n=5n=5).
(5−2)⋅180∘5=3⋅180∘5=108∘\frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ. Yani m(ABK^)=108∘m(\widehat{ABK}) = 108^\circ.
Beşgenin BB köşesindeki açısı belirlenir.
4
İstenen m(CBK^)m(\widehat{CBK}) açısını bulmak için, büyük açıdan (altıgen) küçük açıyı (beşgen) çıkar.
m(CBK^)=m(ABC^)−m(ABK^)=120∘−108∘=12∘m(\widehat{CBK}) = m(\widehat{ABC}) - m(\widehat{ABK}) = 120^\circ - 108^\circ = 12^\circ.
Beşgen altıgenin içinde olduğu için, aradaki fark açısı kenarlar arasındaki açıyı verir.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerin iç açıları farkı
Soru 17Soru →

Kenar sayısı çift olan bir düzgün çokgenin en uzun köşegeninin uzunluğu, en kısa köşegeninin uzunluğunun 2 katıdır.

Buna göre, bu çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

Düzgün çokgenin iç açısı 150 derecedir.
Soruda verilen ilişki (En uzun = 2 ×\times En kısa), çevrel çember mantığıyla çözüldüğünde sin⁡(360/n)=1/2\sin(360/n) = 1/2 eşitliğini verir. Bu da merkez açının 30 derece, dolayısıyla kenar sayısının 12 olduğunu gösterir. 12 kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısı 150 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Çevrel çember yarıçapı (RR) kullanılarak köşegen tanımlarını yap.
Kenar sayısı nn olan çift kenarlı düzgün çokgende en uzun köşegen çaptır: 2R2R. En kısa köşegen ise bir köşe atlanarak çizilen (örneğin AA ile CC arasındaki) köşegendir.
Düzgün çokgenlerde köşegen uzunlukları, köşeler arasındaki yay ölçüsüne (merkez açı) bağlıdır.
2
En kısa köşegenin uzunluğunu merkez açı (alpha\\alpha) cinsinden ifade et.
Bir kenarı gören merkez açı alpha=360/n\\alpha = 360/n dir. En kısa köşegen iki kenarı görür (2alpha2\\alpha). Uzunluğu: 2Rcdotsin(2alpha/2)=2Rcdotsin(alpha)2R \\cdot \\sin(2\\alpha / 2) = 2R \\cdot \\sin(\\alpha).
Kiriş uzunluğu formülü: L=2Rsin(theta/2)L = 2R \\sin(\\theta/2).
3
Verilen '2 katı' ilişkisini denkleme dök ve nn sayısını bul.
2R=2cdot(2Rsinalpha)Rightarrowsinalpha=1/22R = 2 \\cdot (2R \\sin \\alpha) \\Rightarrow \\sin \\alpha = 1/2. Buradan \\alpha = 30^\\circ bulunur. 360/n=30Rightarrown=12360/n = 30 \\Rightarrow n=12.
Sinüsü 1/2 olan dar açı 30 derecedir.
4
Düzgün onikigenin (n=12n=12) bir iç açısını hesapla.
Dış açı = 360/12 = 30^\\circ. İç açı = 180 - 30 = 150^\\circ.
İç açı ile dış açının toplamı 180 derecedir.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde köşegen uzunlukları ve çevrel çember ilişkisi

İpuçları

1
Düzgün çokgenin çevrel çemberini ve merkezini (O) düşünün. En uzun köşegen merkezden geçer (çaptır).
2
En kısa köşegen, ardışık olmayan en yakın iki köşeyi birleştirir (Örneğin A ile C). Bu kirişin uzunluğunu yarıçap (R) cinsinden yazmaya çalışın.
3
En uzun köşegen = 2R. En kısa köşegen, merkezde 2×(360/n)2 \times (360/n) derecelik yayı gören kiriştir. Bu kirişin uzunluğu 2R⋅sin⁡(360/n)2R \cdot \sin(360/n) olur.

Alternatif Yöntem

Özel üçgenler yöntemi: Merkez O, köşeler A, B, C olsun. En kısa köşegen AC'dir. En uzun köşegen 2R'dir. AC = R olmalıdır (yarısı). OAC üçgeninde AC=R ve OA=OC=R olduğundan bu üçgen eşkenardır. O halde tepe açısı 60 derecedir. Bu açı iki kenarı (AB ve BC yaylarını) gördüğü için bir kenarı gören açı 30 derecedir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 18Soru →

Kenar uzunlukları 6 cm ve 232\sqrt{3} cm olan dikdörtgen biçimindeki bir kağıttan, bir kenarı dikdörtgenin kenarı ile çakışacak biçimde, alanı en büyük olan düzgün altıgen kesilip çıkarılacaktır. Buna göre, elde edilen bu düzgün altıgenin çevresi kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Elde edilen düzgün altıgenin çevresi 12 cm'dir.
Dikdörtgen içine yerleştirilebilecek en büyük düzgün altıgen belirlenirken iki farklı oryantasyon kontrol edilmelidir. Dikdörtgenin boyutları 6 ve 232\sqrt{3}'tür. Altıgenin bir kenarı (aa) 6 cm'lik kenara çakışık olduğunda, altıgenin yüksekliği olan a3a\sqrt{3} değeri dikdörtgenin diğer kenarı 232\sqrt{3}'e sığmalıdır (a3≤23⇒a≤2a\sqrt{3} \leq 2\sqrt{3} \Rightarrow a \leq 2). Diğer boyut 2a≤62a \leq 6 zaten sağlanır. Diğer oryantasyonda ise aa en fazla 3\sqrt{3} olabilir. a=2a=2 değeri daha büyük olduğundan çevre 6×2=126 \times 2 = 12 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını ve düzgün altıgenin geometrik özelliklerini belirle.
Dikdörtgen boyutları: 6 cm ve 232\sqrt{3} cm. Düzgün altıgenin bir kenarına aa dersek; köşeden köşeye genişliği (uzun köşegen doğrultusu) 2a2a, kenardan kenara yüksekliği (kısa köşegen doğrultusu) a3a\sqrt{3} olur.
Düzgün altıgenin yerleşimi için boyut sınırlarını tespit etmek gerekir.
2
Altıgenin bir kenarının, dikdörtgenin 6 cm'lik kenarı üzerinde olduğu 1. Durumu incele.
Genişlik sınırı: 2a≤6⇒a≤32a \leq 6 \Rightarrow a \leq 3. Yükseklik sınırı: a3≤23⇒a≤2a\sqrt{3} \leq 2\sqrt{3} \Rightarrow a \leq 2. Bu durumda en büyük kenar a=2a=2 cm olur.
Altıgenin dikdörtgenin dışına taşmaması için her iki boyuttaki kısıtlamaların en küçüğü esas alınır.
3
Altıgenin bir kenarının, dikdörtgenin 232\sqrt{3} cm'lik kenarı üzerinde olduğu 2. Durumu incele.
Genişlik sınırı: 2a≤23⇒a≤32a \leq 2\sqrt{3} \Rightarrow a \leq \sqrt{3}. Yükseklik sınırı: a3≤6⇒a≤23a\sqrt{3} \leq 6 \Rightarrow a \leq 2\sqrt{3}. Bu durumda en büyük kenar a=3a=\sqrt{3} cm olur.
Alternatif yerleşim ihtimali kontrol edilerek maksimum alan (dolayısıyla maksimum kenar) aranır.
4
İki durumu karşılaştır ve çevre hesapla.
1. durumda a=2a=2, 2. durumda a=3a=\sqrt{3} ( ≈1,73\,\approx 1,73) bulundu. En büyük altıgen için a=2a=2 seçilir. Çevre = 6×2=126 \times 2 = 12 cm.
Soru 'alanı en büyük' olanı sorduğu için kenarı daha büyük olan seçenek doğrudur.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde uzunluk bağıntıları ve geometrik yerleşim optimizasyonu.

İpuçları

1
Düzgün altıgenin bir kenarı aa ise, karşılıklı iki kenarı arasındaki dik uzaklık (yükseklik) a3a\sqrt{3} ve en uzak iki köşesi arasındaki mesafe 2a2a'dır.
2
Altıgenin bir kenarının dikdörtgenin uzun kenarına mı yoksa kısa kenarına mı çakışık olması gerektiği olmak üzere iki ihtimali de test edin.

Alternatif Yöntem

Çizim yaparak görselleştirme: 232\sqrt{3} yaklaşık 3.46 cm'dir. 6 cm'lik kenar üzerine a=2a=2 cm'lik altıgen konduğunda yükseklik 232\sqrt{3} tam sığar. Diğer türlü konduğunda genişlik sınırlayıcı olur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 19Soru →

Konveks bir düzgün çokgenin ardışık köşeleri A,B,C,D,E,…A, B, C, D, E, \dots şeklinde isimlendirilmiştir. Bu çokgenin [AB][AB] ve [DE][DE] kenarları uzatıldığında bir KK noktasında kesişmekte ve m(BKD^)=60∘m(\widehat{BKD}) = 60^\circ olmaktadır. Buna göre, bu düzgün çokgen kaç kenarlıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Düzgün çokgen 9 kenarlıdır.
Verilen soruda ABAB ve DEDE kenarları uzatıldığında, aralarında BCBC ve CDCD kenarları kalır. Bu yapı, 3 dış açılık bir dönüşe karşılık gelir. Uzantıların kesişim açısı 60∘60^\circ olarak verildiğinden, 180−3α=60180 - 3\alpha = 60 bağıntısı kurulur. Buradan bir dış açı α=40∘\alpha=40^\circ bulunur. Dış açısı 40∘40^\circ olan düzgün çokgenin kenar sayısı 360/40=9360/40 = 9 dur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen geometrik yapıyı ve ilgili açıları tanımla.
A, B, C, D, E ardışık köşelerdir. [AB] ve [DE] kenarlarının uzantıları K noktasında kesişmektedir. Aradaki boşlukta B, C, D köşeleri ve [BC], [CD] kenarları bulunmaktadır.
Kesişim açısını hesaplamak için çokgenin dış açıları ile oluşan geometrik şeklin (K-B-C-D dörtgeni veya eşdeğer yapı) analizi gereklidir.
2
Kesişim açısı ile dış açı arasındaki bağıntıyı kur.
Arada k=2 kenar ([BC] ve [CD]) bulunduğu için, kesişim açısı 180∘−3α180^\circ - 3\alpha formülü ile ifade edilir (Burada α\alpha bir dış açıdır).
Ardışık kenarların uzantıları arasındaki açı, aradaki 'dönüş' miktarı ile ilişkilidir. B, C ve D köşelerindeki 3 dış açının toplam dönüşü 3α3\alpha'dır. K noktasındaki açı ile bu dönüşün toplamı 180∘180^\circ'yi tamamlar (veya çemberde açı mantığıyla: (n−6)γ/2=60(n-6)\gamma / 2 = 60). Denklem: 180−3α=60180 - 3\alpha = 60.
3
Denklemi çözerek dış açıyı (α\alpha) bul.
180−3α=60⇒3α=120⇒α=40∘180 - 3\alpha = 60 \Rightarrow 3\alpha = 120 \Rightarrow \alpha = 40^\circ.
Dış açıyı bulmak, kenar sayısına geçiş yapmak için gereklidir.
4
Dış açıdan kenar sayısına (n) geçiş yap.
n=360α=36040=9n = \frac{360}{\alpha} = \frac{360}{40} = 9.
Düzgün çokgenlerde kenar sayısı n=360/Dıs¸ Ac¸ın = 360 / \text{Dış Açı} formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde kenar uzantılarının kesişim açısı, aradaki kenar sayısına ve dış açıya bağlıdır.

İpuçları

1
Düzgün çokgenin köşelerinin bir çember üzerinde olduğunu hayal edin. Kenar uzantılarının oluşturduğu açı, çemberde 'dış açı' kuralına benzer şekilde hesaplanabilir.
2
AB ve DE kenarları arasında kalan köşe ve kenarları sayın. B, C ve D köşelerindeki dış açıların toplamı, K noktasındaki açıyı etkiler.
3
Oluşan geometrik yapıda m(K^)=180∘−(Aradaki dıs¸ ac¸ı sayısı×α)m(\widehat{K}) = 180^\circ - (\text{Aradaki dış açı sayısı} \times \alpha) bağıntısını kullanın. Burada arada 3 dış açı (B, C, D) etkilidir.

Alternatif Yöntem

Çember yöntemi: KK açısı, gördüğü yayların farkının yarısıdır. Büyük yay (n−4) kenar(n-4)\text{ kenar}, küçük yay 2 kenar2\text{ kenar} uzunluğundadır. (n−4)α−2α2=60\frac{(n-4)\alpha - 2\alpha}{2} = 60 denklemi de aynı sonucu verir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 20Soru →

Kenar sayısı nn olan bir düzgün çokgenin ardışık köşeleri sırasıyla A,B,C,D,E,…A, B, C, D, E, \dots şeklinde harflendirilmiştir. Bu çokgenin AEAE ve BDBD köşegenleri KK noktasında kesişmektedir.

m(AKB^)=24∘m(\widehat{AKB}) = 24^\circ olduğuna göre, bu düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 156

Cevap

Düzgün çokgenin bir iç açısı 156 derecedir.
Düzgün çokgenin çevrel çemberinde her kenar eşit ölçüde bir yay ayırır; buna α\alpha diyelim. A,B,C,D,EA, B, C, D, E ardışık köşeler olduğundan, ABAB yayı ve DEDE yayı birer birim yaydır (ölçüleri α\alpha). Çemberde kesişen kirişler arasındaki açı (iç açı), gördüğü yayların toplamının yarısıdır. Verilen m(AKB^)=24∘m(\widehat{AKB}) = 24^\circ açısı, ABAB ve DEDE yaylarını görür. O halde 24=α+α224 = \frac{\alpha + \alpha}{2} eşitliğinden α=24∘\alpha = 24^\circ bulunur. Bu değer aynı zamanda çokgenin bir dış açısıdır. Bir iç açı ise 180−24=156∘180 - 24 = 156^\circ olur.

Adım Adım Çözüm

1
Düzgün çokgenin köşelerinden geçen çevrel çemberi hayal et veya çiz.
Çevrel çemberde her bir kenar eşit uzunlukta bir yay (α\alpha) görür.
Düzgün çokgenin köşeleri çemberseldir ve eşit kirişler eşit yaylar ayırır.
2
KK noktasında kesişen AEAE ve BDBD kirişleri arasındaki AKB^\widehat{AKB} açısının gördüğü yayları belirle.
Bu açı, ters açısıyla birlikte ABAB yayını ve DEDE yayını görmektedir.
Çemberde iç açı kuralı: Kesişen iki kirişin oluşturduğu açı, gördüğü yayların toplamının yarısına eşittir.
3
Açı-yay ilişkisini denkleme dök.
m(AB^)=αm(\widehat{AB}) = \alpha ve m(DE^)=αm(\widehat{DE}) = \alpha (çünkü A−BA-B ve D−ED-E ardışık köşeler arası birer kenardır). Formül: 24∘=α+α224^\circ = \frac{\alpha + \alpha}{2}
İç açı formülü uygulanır.
4
Bir dış açıyı (α\alpha) ve ardından iç açıyı hesapla.
24=2α2⇒α=24∘24 = \frac{2\alpha}{2} \Rightarrow \alpha = 24^\circ. İç açı = 180∘−24∘=156∘180^\circ - 24^\circ = 156^\circ.
Düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü, bir kenarı gören merkez açıya (α\alpha) eşittir.

Anahtar Kavram

Düzgün Çokgenlerde Çevrel Çember ve Açı İlişkileri

İpuçları

1
Düzgün çokgenin köşelerinden geçen bir çember (çevrel çember) olduğunu düşünün. Her kenar bu çemberde eşit uzunlukta bir yay ayırır.
2
Çemberde kesişen iki kirişin arasındaki açı, bu açının gördüğü yayların ölçüleri toplamının yarısına eşittir. AKBAKB açısı hangi yayları görüyor?
3
A,B,C,D,EA, B, C, D, E ardışık olduğu için ABAB yayı 1 birim, DEDE yayı da 1 birimdir. Formülü uygularsanız dış açıyı bulursunuz.

Alternatif Yöntem

Üçgenlerde açı hesabı: △ABK\triangle ABK ve simetri ekseni kullanarak, KAB^\widehat{KAB} ve KBA^\widehat{KBA} açılarını dış açı cinsinden ifade edip üçgen iç açılar toplamından gidilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Sayfa 1 / 2Sonraki