Examkin

Geometri

436 soru

Soru 1Soru →

Bir ABCDABCD eşkenar dörtgeninde köşegenler KK noktasında kesişmektedir. KK noktasından [AB][AB] kenarına çizilen dikmenin kesim noktası EE olarak işaretleniyor.

∣AE∣=3|AE| = 3 cm ve ∣EB∣=12|EB| = 12 cm olduğuna göre, ABCDABCD eşkenar dörtgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180

Cevap

180
Eşkenar dörtgende köşegenler dik kesiştiğinden oluşan dik üçgende Öklid bağıntısı (h2=p⋅kh^2 = p \cdot k) uygulanır. 3⋅12=363 \cdot 12 = 36 olduğundan üçgenin yüksekliği 6 cm bulunur. Eşkenar dörtgenin toplam yüksekliği bu değerin iki katı (12 cm) olur. Taban uzunluğu 15 cm olduğundan, Alan = 15⋅12=18015 \cdot 12 = 180 cm2\text{cm}^2 dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşkenar dörtgenin köşegen özelliklerini hatırla.
Köşegenler birbirini dik keser, yani AC⊥BDAC \perp BD dir. Bu durumda △AKB\triangle AKB bir dik üçgendir.
Eşkenar dörtgenin en temel özelliklerinden biri köşegenlerin dik kesişmesidir.
2
Dik üçgende Öklid bağıntısını uygula.
∣KE∣2=∣AE∣⋅∣EB∣⇒∣KE∣2=3⋅12=36⇒∣KE∣=6|KE|^2 = |AE| \cdot |EB| \Rightarrow |KE|^2 = 3 \cdot 12 = 36 \Rightarrow |KE| = 6 cm.
Dik açıdan indirilen dikme (yükseklik) için h2=p⋅kh^2 = p \cdot k bağıntısı kullanılır.
3
Eşkenar dörtgenin yüksekliğini bul.
KK noktası köşegenlerin kesim noktası (ağırlık merkezi) olduğu için, eşkenar dörtgenin toplam yüksekliği (hh), KK noktasının kenara uzaklığının iki katıdır: h=2⋅∣KE∣=2⋅6=12h = 2 \cdot |KE| = 2 \cdot 6 = 12 cm.
Simetri merkezi olan KK noktasının kenara uzaklığı, toplam yüksekliğin yarısıdır.
4
Alanı hesapla.
Alan = Taban ⋅\cdot Yükseklik = ∣AB∣⋅h=(3+12)⋅12=15⋅12=180|AB| \cdot h = (3+12) \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 cm2\text{cm}^2.
Eşkenar dörtgen aynı zamanda bir paralelkenardır ve alanı taban ile yüksekliğin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Eşkenar dörtgende köşegenlerin dik kesişmesi ve Öklid bağıntısı.

İpuçları

1
Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin birbirini nasıl kestiğini (dik mi, eğik mi?) hatırlayın.
2
Köşegenlerin kesişimiyle oluşan △AKB\triangle AKB üçgeni bir dik üçgendir. Dik açıdan dikme inildiğinde hangi bağıntı kullanılır?
3
Öklid bağıntısı ile ∣KE∣|KE| uzunluğunu bulun. Eşkenar dörtgenin yüksekliği bu uzunluğun iki katıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2Soru →

Birbirine paralel olan d1d_1 ve d2d_2 doğruları arasında oluşan açılar şekilde gösterilmiştir. Buna göre, xx ile belirtilen açının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

Verilen açının ölçüsü 70 derecedir.
Paralel iki doğru arasında kalan 'M' şeklindeki kırık çizgilerde, aynı tarafa bakan açıların ölçüleri toplamı, diğer tarafa bakan açının ölçüsüne eşittir. Bu soruda sağa bakan 30∘30^\circ ve 40∘40^\circ açılarının toplamı, sola bakan xx açısını 70∘70^\circ yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Paralellik kuralını (M kuralı) belirle.
x=30∘+40∘x = 30^\circ + 40^\circ
İki paralel doğru arasında kalan ve bir yöne bakan açıların toplamı, diğer yöne bakan açının ölçüsüne eşittir.
2
Toplama işlemini gerçekleştir.
70∘70^\circ
Sağa bakan 30∘30^\circ ve 40∘40^\circ açılarının toplamı, sola bakan xx açısını verir.

Anahtar Kavram

M Kuralı (Paralel Doğrularda Açılar)

İpuçları

1
Paralel iki doğru arasındaki 'M' harfine benzeyen kuralı hatırlayın.
2
Sağa bakan açıların toplamı, sola bakan açının ölçüsüne eşit olmalıdır.
3
30∘30^\circ ve 40∘40^\circ değerlerini toplayarak xx açısını bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Üç doğrulu veya daha fazla kırıklı (Zikzak kuralı) soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

B noktasından geçecek şekilde d1d_1 ve d2d_2 doğrularına paralel üçüncü bir doğru çizerek iç ters açıları (Z kuralı) iki ayrı parça halinde görebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 3Soru →

Bir düzgün çokgenin, çevrel çemberinin merkezinden geçen bir köşegeni ile bir kenarı arasındaki açı α\alpha, aynı çokgenin en kısa köşegeni ile bir kenarı arasındaki açı ise β\beta olarak tanımlanıyor.

α=8β\alpha = 8\beta olduğuna göre, bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 135

Cevap

Düzgün çokgenin köşegen sayısı 135'tir.
Düzgün çokgenin en kısa köşegeni ile kenar arasındaki açı (β\beta), dış açının yarısıdır. Merkezden geçen köşegen (en uzun) ile kenar arasındaki açı (α\alpha) ise iç açının yarısıdır. Verilen α=8β\alpha=8\beta ilişkisi kullanıldığında, iç açının dış açının 8 katı olduğu görülür. Buradan dış açı 20∘20^{\circ} bulunur ve kenar sayısı n=18n=18 çıkar. Köşegen sayısı formülü n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} ile cevap 135 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Açılar ile kenar sayısı arasındaki ilişkiyi belirle.
Düzgün çokgenin bir dış açısına 2β2\beta dersek, iç açısı 180∘−2β180^{\circ} - 2\beta olur.
En kısa köşegen (bir köşeyi atlayan), ardışık üç köşenin oluşturduğu ikizkenar üçgenin tabanıdır. Bu üçgenin tepe açısı çokgenin iç açısıdır. Taban açıları ise β\beta'dır. Dolayısıyla iç açı =180∘−2β= 180^{\circ} - 2\beta olur. Bu da 2β2\beta'nın dış açıya eşit olduğunu gösterir.
2
Merkezden geçen köşegenin özelliğini kullan.
Merkezden geçen köşegen iç açıyı ortalar, yani α=I˙c¸ Ac¸ı2\alpha = \frac{\text{İç Açı}}{2}'dir.
Bir düzgün çokgende çevrel çemberin merkezinden geçen köşegen (çap), simetri eksenidir ve bulunduğu köşedeki iç açıyı iki eş parçaya böler.
3
Verilen α=8β\alpha = 8\beta eşitliğini denklemde yerine koy.
180∘−2β2=8β⇒90∘−β=8β⇒9β=90∘⇒β=10∘\frac{180^{\circ} - 2\beta}{2} = 8\beta \Rightarrow 90^{\circ} - \beta = 8\beta \Rightarrow 9\beta = 90^{\circ} \Rightarrow \beta = 10^{\circ}.
İç açı ve dış açı arasındaki ilişkiyi kullanarak β\beta değerini bulmak için.
4
Kenar sayısını (nn) bul.
Dış açı =2β=20∘= 2\beta = 20^{\circ}. n=360∘20∘=18n = \frac{360^{\circ}}{20^{\circ}} = 18.
Dış açı formülü 360/n360/n kullanılarak kenar sayısı hesaplanır.
5
Toplam köşegen sayısını hesapla.
Köşegen Sayısı =n(n−3)2=18(18−3)2=18×152=9×15=135= \frac{n(n-3)}{2} = \frac{18(18-3)}{2} = \frac{18 \times 15}{2} = 9 \times 15 = 135.
Köşegen sayısı formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde açı özellikleri, köşegen bağıntıları ve simetri eksenleri.
Soru 4Soru →

Bir ABCABC üçgeninde m(ABC^)=135∘m(\widehat{ABC}) = 135^\circ, ∣AB∣=72|AB| = 7\sqrt{2} cm ve ∣BC∣=17|BC| = 17 cm olarak verilmiştir. Buna göre, ∣AC∣|AC| uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

25 santimetre
Verilen 135∘135^\circ'lik açı, bir 45∘−45∘−90∘45^\circ - 45^\circ - 90^\circ üçgeni oluşturmak için idealdir. Üçgenin dışından indirilen dikme ile ∣AH∣=7|AH|=7 ve ∣BH∣=7|BH|=7 bulunur. Oluşan büyük AHCAHC dik üçgeninin kenarları 7 ve 24 birimdir. 7−24−257-24-25 özel üçgeni kuralı gereğince ∣AC∣|AC| uzunluğu 25 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
CBCB kenarını BB köşesi yönünde dışarıya doğru uzatın ve AA köşesinden bu uzantıya bir dikme indirerek HH noktasını belirleyin.
m(AHB^)=90∘m(\widehat{AHB}) = 90^\circ olan bir AHBAHB dik üçgeni oluşur.
135∘135^\circ'lik geniş açının bütünleyicisi olan 45∘45^\circ'yi kullanarak özel bir dik üçgen oluşturmak.
2
AHBAHB üçgeninde m(ABH^)=180∘−135∘=45∘m(\widehat{ABH}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ olduğunu bulun ve kenar uzunluklarını hesaplayın.
∣AH∣=∣BH∣=7|AH| = |BH| = 7 cm olur.
45∘−45∘−90∘45^\circ - 45^\circ - 90^\circ üçgeninde dik kenarlar, hipotenüsün 12\frac{1}{\sqrt{2}} katıdır (72÷2=77\sqrt{2} \div \sqrt{2} = 7).
3
AHCAHC büyük dik üçgeninin dik kenar uzunluklarını belirleyin.
∣AH∣=7|AH| = 7 cm ve ∣HC∣=∣HB∣+∣BC∣=7+17=24|HC| = |HB| + |BC| = 7 + 17 = 24 cm.
Pisagor bağıntısını uygulamak için gerekli olan toplam taban uzunluğunu bulmak.
4
AHCAHC üçgeninde Pisagor teoremini uygulayın: ∣AC∣2=∣AH∣2+∣HC∣2|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2
∣AC∣2=72+242=49+576=625⇒∣AC∣=25|AC|^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 \Rightarrow |AC| = 25 cm.
7−24−257 - 24 - 25 kenarlarına göre özel dik üçgen özelliğinden dolayı.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde dış yükseklik yardımıyla dik üçgen oluşturma ve kenarlarına göre özel üçgenler (7−24−257-24-25).

İpuçları

1
135∘135^\circ derecelik açının dış açısının kaç derece olduğunu düşünün.
2
ABAB kenarını hipotenüs kabul eden dışarıda bir dik üçgen oluşturarak dik kenarları bulun.
3
Dışarıda oluşan yeni dik üçgenin dik kenarları 7 ve 24 cm'dir. Bu tanıdık bir özel üçgen mi?

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 120∘120^\circ veya 150∘150^\circ açılı üçgenlerde dış yükseklik çizerek çözüm yapmayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi kullanılabilir: b2=a2+c2−2ac⋅cos⁡(135∘)b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(135^\circ). Burada a=17,c=72a=17, c=7\sqrt{2} ve cos⁡(135∘)=−22\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} değerleri yerine yazıldığında sonuç aynı çıkacaktır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →

ABCDABCD bir dikdörtgen olmak üzere, EE noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir. Dikdörtgen [DE][DE] boyunca katlandığında CC köşesi, [AB][AB] kenarı üzerindeki FF noktası ile çakışmaktadır. ∣AD∣=9|AD|=9 cm ve ∣AF∣=12|AF|=12 cm olduğuna göre, ∣EC∣|EC| kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Aranan uzunluk 5 cm'dir.
Doğru cevap, katlama işlemi sonucunda oluşan eş üçgenlerin ve korunan uzunlukların doğru tespit edilmesiyle bulunur. ∣DC∣|DC| kenarı katlanarak ∣DF∣|DF| hipotenüsü olur, bu da dikdörtgenin uzun kenarını verir. Ardından kalan parçada (∣FB∣|FB|) oluşturulan ikinci Pisagor denklemi ∣EC∣|EC| uzunluğunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Katlama özelliğini analiz et.
Katlama sonucu △DCE≅△DFE\triangle DCE \cong \triangle DFE olur. Bu durumda ∣DC∣=∣DF∣|DC| = |DF| ve ∣EC∣=∣EF∣|EC| = |EF| eşitlikleri sağlanır. Ayrıca ∠C=90∘\angle C = 90^\circ olduğu için ∠DFE=90∘\angle DFE = 90^\circ olur (ancak bu soruda uzunluklar yeterlidir).
Katlama sorularında açıortay ve kenar eşitlikleri korunur.
2
△DAF\triangle DAF dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.
∣DF∣2=∣AD∣2+∣AF∣2⇒∣DF∣2=92+122=81+144=225|DF|^2 = |AD|^2 + |AF|^2 \Rightarrow |DF|^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225. Buradan ∣DF∣=15|DF| = 15 cm bulunur.
Dikdörtgenin köşesi AA dik açıdır.
3
Dikdörtgenin diğer kenar uzunluklarını belirle.
∣DC∣=∣DF∣|DC| = |DF| olduğundan ∣DC∣=15|DC| = 15 cm olur. Dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşit olduğundan ∣AB∣=∣DC∣=15|AB| = |DC| = 15 cm'dir. Buradan ∣FB∣=∣AB∣−∣AF∣=15−12=3|FB| = |AB| - |AF| = 15 - 12 = 3 cm bulunur.
Dikdörtgenin temel özellikleri.
4
△FBE\triangle FBE dik üçgeninde bilinmeyeni bul.
∣BC∣=∣AD∣=9|BC| = |AD| = 9 cm'dir. ∣EC∣=x|EC| = x dersek, ∣EB∣=9−x|EB| = 9 - x olur. Katlama özelliğinden ∣EF∣=∣EC∣=x|EF| = |EC| = x olur. △FBE\triangle FBE üçgeninde: 32+(9−x)2=x2⇒9+81−18x+x2=x2⇒90=18x⇒x=53^2 + (9-x)^2 = x^2 \Rightarrow 9 + 81 - 18x + x^2 = x^2 \Rightarrow 90 = 18x \Rightarrow x = 5.
Dik üçgende Pisagor bağıntısı kurarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Katlama Problemleri ve Pisagor Bağıntısı
Soru 6Soru →

Bir ABC dik üçgeninde [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC]'dir. A köşesine ait iç açıortay, [BC][BC] kenarını D noktasında kesmektedir. ∣BD∣=3|BD| = 3 cm ve ∣DC∣=5|DC| = 5 cm olduğuna göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Doğru cevap, ABC üçgeninin alanının 24 cm² olduğunu gösteren seçenektir.
Soruda verilen açıortay bilgisi kullanılarak kenarlar arasında 3/5 oranı kurulur. Pisagor bağıntısı yardımıyla kenar uzunlukları 6-8-10 üçgenini sağlar. Dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısı olduğundan (6*8)/2 işlemi ile doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri şekil üzerinde tanımla ve iç açıortay teoremini uygula.
Açıortay teoremine göre ∣AB∣∣AC∣=∣BD∣∣DC∣=35\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{3}{5} olur.
Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranına göre böler.
2
Kenar uzunluklarını orantı sabiti (k) cinsinden ifade et.
∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣AC∣=5k|AC| = 5k olarak belirlenir.
Oranı bilinen kenarların gerçek uzunluklarını bulmak için ortak bir çarpan kullanılır.
3
ABC üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.
(3k)2+(3+5)2=(5k)2⇒9k2+64=25k2(3k)^2 + (3+5)^2 = (5k)^2 \Rightarrow 9k^2 + 64 = 25k^2.
Üçgen dik üçgen olduğu için ([AB]⊥[BC][AB] \perp [BC]) dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
4
Denklemi çözerek k değerini ve üçgenin yüksekliğini bul.
16k2=64⇒k2=4⇒k=216k^2 = 64 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k=2. Buradan ∣AB∣=3k=6|AB| = 3k = 6 cm bulunur.
Alan hesabı için üçgenin dik kenar uzunluklarına ihtiyaç vardır.
5
ABC üçgeninin alanını hesapla.
Alan = ∣AB∣⋅∣BC∣2=6⋅82=24\frac{|AB| \cdot |BC|}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 cm².
Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

İpuçları

1
İç açıortay teoremini hatırlayın: Açıortayın böldüğü parçaların oranı, o parçalara komşu olan kenarların oranına eşittir.
2
∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣AC∣=5k|AC| = 5k diyerek üçgenin kenarlarını isimlendirin ve Pisagor bağıntısını kullanarak k değerini bulmaya çalışın.
3
Üçgenin dik kenarları 3k3k ve 88'dir. Hipotenüs ise 5k5k'dır. (3k)2+82=(5k)2(3k)^2 + 8^2 = (5k)^2 denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde dış açıortay teoremi içeren bir alan sorusu çözülmesi önerilir.

Alternatif Yöntem

Oranları fark ettikten sonra bu üçgenin, kenarları 2 ile genişletilmiş bir 3-4-5 üçgeni (yani 6-8-10 üçgeni) olduğunu doğrudan görebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 7Soru →

Bir dikdörtgenler prizmasının tüm ayrıtlarının uzunlukları toplamı 4848 cm ve toplam yüzey alanı 94 cm294 \text{ cm}^2 dir. Buna göre, bu dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 525\sqrt{2}

Cevap

Dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu 525\sqrt{2} cm'dir.
Dikdörtgenler prizmasının ayrıtları a,b,ca, b, c olsun. Ayrıtlar toplamı 4(a+b+c)=484(a+b+c)=48 cm olduğundan a+b+c=12a+b+c=12 cm olur. Yüzey alanı 2(ab+bc+ca)=942(ab+bc+ca)=94 cm²'dir. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) özdeşliğine göre, 122=d2+9412^2 = d^2 + 94 (burada dd cisim köşegenidir) eşitliğinden 144=d2+94144 = d^2 + 94 ve d2=50d^2=50 bulunur. Buradan d=52d = 5\sqrt{2} cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Ayrıtlar toplamı formülünü yaz ve uygula.
a+b+c=12a+b+c = 12
Bir dikdörtgenler prizmasında 1212 ayrıt vardır ve her boyuttan dörder tane bulunur: 4(a+b+c)=484(a+b+c) = 48 ise a+b+c=12a+b+c = 12 olur.
2
Yüzey alanı formülünü belirle.
2(ab+bc+ca)=942(ab+bc+ca) = 94
Prizmanın toplam yüzey alanı, tüm yüzlerin alanları toplamıdır.
3
Cisim köşegeni formülü ile üçlü terim kare özdeşliği arasındaki ilişkiyi kur.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)
Cisim köşegeni d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2+b^2+c^2} olduğundan, d2=a2+b2+c2d^2 = a^2+b^2+c^2 ifadesini özdeşlikte yerine yazabiliriz.
4
Verilen değerleri özdeşlikte yerine koyarak cisim köşegeninin karesini bul.
d2=50d^2 = 50
122=d2+94⇒144=d2+94⇒d2=144−94=5012^2 = d^2 + 94 \Rightarrow 144 = d^2 + 94 \Rightarrow d^2 = 144 - 94 = 50 elde edilir.
5
Sonucun karekökünü alarak cisim köşegenini hesapla.
d=52d = 5\sqrt{2}
50=25×2=52\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} cm bulunur.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni uzunluğu ve cebirsel özdeşlikler arasındaki ilişki.

İpuçları

1
Dikdörtgenler prizmasının ayrıtları a,b,ca, b, c ise ayrıtlar toplamının 4(a+b+c)4(a+b+c) olduğunu hatırlayın.
2
Cisim köşegeni formülü d2=a2+b2+c2d^2 = a^2+b^2+c^2 şeklindedir. Bu ifadeyi (a+b+c)2(a+b+c)^2 açılımında bulabilirsiniz.
3
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) özdeşliğini kullanarak yüzey alanı ve ayrıtlar toplamını bu denklemde yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Farklı bir soru tipi olarak, cisim köşegeni ve hacmi verilen bir prizmanın yüzey alanını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ayrıtları temsili değerler seçerek denklemi sağlamaya çalışmak teorik olarak mümkün olsa da, özdeşlik kullanımı çok daha hızlı ve güvenli bir yöntemdir.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 8Soru →

Taban yarıçapı 6 cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kapta bir miktar su bulunmaktadır. Bu kabın içine, tamamen suya batacak şekilde metal bir küp atıldığında su seviyesi 2 cm yükselmektedir.

π=3\pi = 3 alındığına göre, atılan küpün bir ayrıtının uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Küpün bir ayrıtının uzunluğu 6 cm'dir.
Kaba atılan cisim tamamen battığı için, su seviyesindeki yükselmeden kaynaklanan hacim cismin hacmine eşittir. Yükselen kısım r=6r=6 cm, h=2h=2 cm olan bir silindirdir. Hacmi V=πr2h=3⋅62⋅2=216V = \pi r^2 h = 3 \cdot 6^2 \cdot 2 = 216 cm³ olur. Küpün hacmi a3=216a^3 = 216 cm³ olduğundan, bir ayrıtı a=6a=6 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Suyun yükselmesiyle oluşan hacmi (yer değiştiren su hacmini) hesapla.
Yükselen suyun şekli, taban yarıçapı r=6r=6 cm ve yüksekliği h=2h=2 cm olan bir silindirdir. Vsu=πr2h=3⋅62⋅2=3⋅36⋅2=216 cm3V_{su} = \pi r^2 h = 3 \cdot 6^2 \cdot 2 = 3 \cdot 36 \cdot 2 = 216 \text{ cm}^3.
Suyun içerisine tamamen batan bir cisim, kendi hacmi kadar su taşırır veya yükseltir.
2
Küpün hacim formülünü yükselen su hacmine eşitle.
Küpün bir ayrıtına aa dersek, hacmi Vkup=a3V_{kup} = a^3 olur. a3=216a^3 = 216.
Yükselen suyun hacmi, içine atılan küpün hacmine eşittir.
3
Küpün bir ayrıtını bulmak için küp kök al.
a3=63a^3 = 6^3 olduğundan a=6a = 6 cm bulunur.
Hacmi bilinen küpün kenar uzunluğunu bulma işlemi.

Anahtar Kavram

Sıvı dolu kaplara cisim atıldığında, sıvı seviyesindeki yükselme miktarı (taşma yoksa) batan cismin hacmine eşittir.

İpuçları

1
Su seviyesindeki yükselmenin oluşturduğu silindirik hacim, içine atılan küpün hacmine eşittir.
2
Yükselen suyun hacmini bulmak için silindir hacim formülü olan V=πr2hV = \pi r^2 h bağıntısını kullanınız. Burada hh, suyun yükselme miktarıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, cismin küre veya koni olduğu durumlar için çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →

Şekildeki ABCABC ikizkenar üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|'dir. DD noktası [AC][AC] kenarı üzerinde olup ∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC|'dir. m(ABD^)=30∘m(\widehat{ABD}) = 30^\circ olduğuna göre, m(BAC^)m(\widehat{BAC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40∘40^\circ

Cevap

Aranan tepe açısının ölçüsü 40 derecedir.
Tepe açısı xx olarak kabul edildiğinde, büyük ikizkenar üçgenin taban açıları 90−x/290 - x/2 olur. İçerideki BDCBDC ikizkenar üçgeninde de taban açısı aynı değerdir. ABDABD üçgeninin iki iç açısının toplamı (x+30x + 30), kendisine komşu olmayan dış açıya (90−x/290 - x/2) eşitlendiğinde denklem x=40x = 40 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
m(BAC^)=xm(\widehat{BAC}) = x olarak adlandırın.
Tepe açısı xx oldu.
Bilinmeyen açıyı bulmak için bir değişken atıyoruz.
2
∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| ikizkenarlığını kullanarak taban açılarını ifade edin.
m(ABC^)=m(ACB^)=180∘−x2=90∘−x2m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = \frac{180^\circ - x}{2} = 90^\circ - \frac{x}{2}.
İkizkenar üçgende taban açılarının eşitliği kuralını uyguluyoruz.
3
∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| ikizkenarlığını kullanarak BDCBDC üçgenindeki açıları yazın.
m(BDC^)=m(BCD^)=90∘−x2m(\widehat{BDC}) = m(\widehat{BCD}) = 90^\circ - \frac{x}{2}.
DD noktası [AC][AC] üzerinde olduğundan m(BCD^)=m(ACB^)m(\widehat{BCD}) = m(\widehat{ACB}) olur.
4
ABDABD üçgeninde dış açı özelliğini uygulayın.
m(BDC^)=m(BAC^)+m(ABD^)⇒90∘−x2=x+30∘m(\widehat{BDC}) = m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABD}) \Rightarrow 90^\circ - \frac{x}{2} = x + 30^\circ.
Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
5
Elde edilen denklemi çözün.
60∘=1,5x⇒x=40∘60^\circ = 1,5x \Rightarrow x = 40^\circ.
Matematiksel işlemleri tamamlayarak bilinmeyene ulaşıyoruz.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgenlerde taban açılarının eşitliği ve bir dış açının kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olması özelliği.

İpuçları

1
İkizkenar üçgenlerin taban açılarının birbirine eşit olduğunu hatırlayın.
2
∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC| olduğu için ABCABC üçgeninin taban açılarını tepe açısı xx cinsinden ifade edin.
3
ABDABD üçgeninde, DD köşesindeki dış açının (widehatBDC\\widehat{BDC}) komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğunu kullanarak bir denklem kurun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, iç bölgede alınan farklı bir noktayla oluşan ek ikizkenar üçgenleri inceleyerek açı-kenar bağıntılarını pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →

Merkez açısının ölçüsü 60∘60^\circ olan OO merkezli bir daire diliminin içine; dilimin yayına ve her iki yarıçapına teğet olacak şekilde, MM merkezli ve rr yarıçaplı bir daire yerleştirilmiştir.

Buna göre, OO merkezli daire diliminin alanının, MM merkezli dairenin alanına oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32\frac{3}{2}

Cevap

Daire diliminin alanı ile içteki dairenin alanı oranı 32\frac{3}{2}'dir.
Soruda verilen teğetlik şartları, geometrik bir kurgu (açıortay ve dik üçgen) oluşturmayı gerektirir. 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgeni özelliği kullanılarak daire diliminin yarıçapının (RR), içteki dairenin yarıçapının (rr) 3 katı olduğu (R=3rR=3r) bulunur. Daire alan formülü (πr2\pi r^2) ve daire dilimi alan formülü (πR2⋅α360\pi R^2 \cdot \frac{\alpha}{360}) uygulandığında oran 32\frac{3}{2} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Şekli geometrik olarak analiz et
O noktası (dilim merkezi) ile M noktasını (daire merkezi) birleştiren doğru, açıyı iki eşit parçaya böler (30∘−30∘30^\circ-30^\circ). Küçük dairenin yarıçapına rr diyelim.
Teğet çemberlerin merkezleri ve teğet noktaları doğrusal ilişkilere sahiptir; açıortay üzerinde işlem yapmak çözümün anahtarıdır.
2
Dik üçgen oluşturarak uzunlukları hesapla
M merkezinden teğet noktasına (yarıçap) inilen dikme ile oluşan OMA dik üçgeninde, sin⁡(30∘)=r∣OM∣\sin(30^\circ) = \frac{r}{|OM|} olur. Buradan ∣OM∣=r1/2=2r|OM| = \frac{r}{1/2} = 2r bulunur.
30-60-90 üçgeni veya trigonometrik oranlar kullanılarak merkezler arası uzaklık bulunur.
3
Daire diliminin yarıçapını (R) r cinsinden ifade et
Daire diliminin yarıçapı RR, merkezler arası uzaklık (∣OM∣|OM|) ile küçük dairenin yarıçapının (rr) toplamıdır. R=∣OM∣+r=2r+r=3rR = |OM| + r = 2r + r = 3r.
Küçük çember yaya da teğet olduğu için, O'dan yaya kadar olan mesafe (R), O-M mesafesi ve M yarıçapının toplamıdır.
4
Alanları hesapla ve oranla
M merkezli daire alanı: A1=πr2A_1 = \pi r^2. O merkezli daire dilimi alanı: A2=πR2⋅60360=π(3r)2⋅16=9πr2⋅16=3πr22A_2 = \pi R^2 \cdot \frac{60}{360} = \pi (3r)^2 \cdot \frac{1}{6} = 9\pi r^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3\pi r^2}{2}. Oran: A2A1=3πr2/2πr2=32\frac{A_2}{A_1} = \frac{3\pi r^2 / 2}{\pi r^2} = \frac{3}{2}.
Formüller yerine konularak sonuca gidilir.

Anahtar Kavram

Bir açı içine yerleştirilen teğet çemberin merkezi, açının açıortayı üzerindedir. Bu özellik kullanılarak yarıçaplar arasında bağ kurulur.

İpuçları

1
Şekli zihninizde canlandırın: Küçük dairenin merkezi (M), büyük daire diliminin merkezi (O) ve teğet noktaları arasında nasıl bir geometrik ilişki vardır? Merkezleri birleştiren doğruyu çizin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 11Soru →

Bir ABCABC üçgeninde GG noktası ağırlık merkezidir. GG noktasından geçen ve [BC][BC] kenarına paralel olan bir doğru, [AB][AB] kenarını DD, [AC][AC] kenarını EE noktasında kesmektedir.

A(ABC)=72 cm2A(ABC) = 72 \text{ cm}^2 olduğuna göre, DBCEDBCE dörtgeninin alanı kaç  cm2\text{ cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

40 cm²
Ağırlık merkezi kenarortayı köşeye 2 birim, tabana 1 birim olacak şekilde böler. Bu durum, tepe noktasından geçen paralel doğru ile oluşturulan küçük üçgenin (ADEADE), büyük üçgene (ABCABC) benzerlik oranının 2/32/3 olduğunu gösterir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi (4/94/9) olduğundan, üstteki üçgenin alanı toplam alanın 4/94/9'u olur (32 cm232 \text{ cm}^2). İstenen dörtgenin alanı ise geriye kalan kısımdır (72−32=40 cm272 - 32 = 40 \text{ cm}^2).

Adım Adım Çözüm

1
Ağırlık merkezi özelliğini kullan
Ağırlık merkezi GG, kenarortayı köşeden tabana 2:12:1 oranında böler. Yani AA köşesinden inen kenarortay AG=2kAG = 2k ve GM=kGM = k olacak şekilde ayrılır.
Benzerlik oranını bulmak için yükseklikler veya kenarlar arasındaki oranı belirlemek gerekir.
2
Benzerlik oranını belirle
DE//BCDE // BC olduğu için △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC benzerliği vardır. Benzerlik oranı k=∣AG∣∣AM∣=23k = \frac{|AG|}{|AM|} = \frac{2}{3} tür.
Temel benzerlik teoremine göre paralel doğrular orantılı parçalar ayırır.
3
Alanlar oranını hesapla
Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: k2=(23)2=49k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
4
Parça alanları bul
A(ADE)=49⋅A(ABC)=49⋅72=32 cm2A(ADE) = \frac{4}{9} \cdot A(ABC) = \frac{4}{9} \cdot 72 = 32 \text{ cm}^2.
Üstteki üçgenin alanını hesaplamak için.
5
Dörtgenin alanını bul
A(DBCE)=A(ABC)−A(ADE)=72−32=40 cm2A(DBCE) = A(ABC) - A(ADE) = 72 - 32 = 40 \text{ cm}^2.
Toplam alandan üstteki üçgenin alanı çıkarılarak alttaki dörtgenin alanı bulunur.

Anahtar Kavram

Benzerlik oranı kk olan üçgenlerin alanları oranı k2k^2 dir.

İpuçları

1
Ağırlık merkezi (GG), kenarortay üzerinde köşeye olan uzaklığı ile kenara olan uzaklığı arasında 2:12:1 oranı kurar.
2
ADEADE üçgeni ile ABCABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı, AA noktasından GG noktasına olan mesafenin toplam kenarortay uzunluğuna oranıdır.
3
Benzerlik oranı 2/32/3 tür. Alanlar oranı bu oranın karesi (4/94/9) olur. Önce ADEADE üçgeninin alanını bulun, sonra toplam alandan çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, ağırlık merkezi yerine kenarları belirli oranda bölen herhangi bir nokta vererek çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Alan paylaştırma yöntemi: Ağırlık merkezi ile köşeleri birleştiren doğrular çizilirse üçgen 3 eş alana ayrılır (3S3S). Paralellik kullanılarak bu alanlar içindeki oranlar da hesaplanabilir, ancak benzerlik karesi yöntemi (s çözümdeki) en pratik yoldur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 12Soru →

Bir ABCABC üçgeninde BB köşesine ait iç açıortay ile CC köşesine ait dış açıortay üçgenin dışındaki bir DD noktasında kesişmektedir. ∣BC∣=∣CD∣|BC| = |CD| ve m(ACB^)−m(BAC^)=30∘m(\widehat{ACB}) - m(\widehat{BAC}) = 30^\circ olduğuna göre, m(BDC^)m(\widehat{BDC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25∘25^\circ

Cevap

25∘25^\circ değeridir.
Üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortay kesiştiğinde oluşan m(BDC^)m(\widehat{BDC}) açısı, m(BAC^)m(\widehat{BAC}) açısının yarısıdır. ∣BC∣=∣CD∣|BC| = |CD| eşitliği, △BCD\triangle BCD üçgeninde taban açılarının eşit olmasını sağlar; bu da m(ABC^)m(\widehat{ABC}) ile m(BAC^)m(\widehat{BAC}) açılarının eşit olduğunu kanıtlar. Verilen fark bilgisiyle kurulan denklem sonucunda m(BAC^)=50∘m(\widehat{BAC}) = 50^\circ bulunur ve yarısı olan 25∘25^\circ doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Bir iç ve bir dış açıortay arasındaki ilişkiyi tanımla.
m(BDC^)=m(BAC^)2m(\widehat{BDC}) = \frac{m(\widehat{BAC})}{2}
Bir üçgende bir köşenin iç açıortayı ile diğer köşenin dış açıortayının kesişmesiyle oluşan açı, tepe açısının yarısına eşittir.
2
∣BC∣=∣CD∣|BC| = |CD| bilgisini kullanarak üçgenler arası ilişkiyi kur.
m(ABC^)=m(BAC^)m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{BAC})
△BCD\triangle BCD ikizkenar olduğundan m(CBD^)=m(BDC^)m(\widehat{CBD}) = m(\widehat{BDC}) olur. BDBD iç açıortay olduğundan m(ABC^)=2⋅m(CBD^)m(\widehat{ABC}) = 2 \cdot m(\widehat{CBD}), DD açısı kuralı gereği de m(BAC^)=2⋅m(BDC^)m(\widehat{BAC}) = 2 \cdot m(\widehat{BDC}) olduğundan bu iki açı eşittir.
3
m(BAC^)=αm(\widehat{BAC}) = \alpha diyerek denklem kur.
α+α+(α+30∘)=180∘⇒3α=150∘⇒α=50∘\alpha + \alpha + (\alpha + 30^\circ) = 180^\circ \Rightarrow 3\alpha = 150^\circ \Rightarrow \alpha = 50^\circ
m(ABC^)=αm(\widehat{ABC}) = \alpha ve m(ACB^)=α+30∘m(\widehat{ACB}) = \alpha + 30^\circ (verilen farktan dolayı) olur. Üçgenin iç açılar toplamı 180∘180^\circ olduğu için toplamları bu değere eşitlenir.
4
İstenen DD açısını hesapla.
m(BDC^)=50∘/2=25∘m(\widehat{BDC}) = 50^\circ / 2 = 25^\circ
DD açısı, AA açısının (α\alpha) yarısıdır.

Anahtar Kavram

Bir üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortay arasındaki açı, üçüncü köşedeki açının yarısına eşittir.

İpuçları

1
Bir üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açının tepe açısıyla olan ilişkisini (yarısı olma kuralı) hatırla.
2
∣BC∣=∣CD∣|BC| = |CD| eşitliğinden yola çıkarak △BCD\triangle BCD üçgeninin taban açılarını karşılaştır. BDBD bir açıortay olduğu için bu durum AA ve BB açısı arasında bir eşitlik doğuracaktır.
3
m(BAC^)=αm(\widehat{BAC}) = \alpha dersen, m(ABC^)=αm(\widehat{ABC}) = \alpha ve m(ACB^)=α+30∘m(\widehat{ACB}) = \alpha + 30^\circ olur. Bu üçünün toplamını 180∘180^\circ yaparak α\alpha değerini bul.

Daha Fazla Pratik

İç ve dış açıortay özelliklerini pekiştirmek için 'Muhteşem Üçlü' ve 'Açıortayların kesim noktaları' konularına göz atabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 13Soru →

Bir ABCABC üçgeninin iç bölgesinde belirlenen bir GG noktası; [AD][AD], [BE][BE] ve [CF][CF] doğru parçalarının kesim noktasıdır. Bu doğru parçaları ile ilgili olarak 2∣GD∣=∣AG∣2|GD| = |AG|, 2∣GE∣=∣BG∣2|GE| = |BG| ve 2∣GF∣=∣CG∣2|GF| = |CG| oranlarının sağlandığı biliniyor. Buna göre, GG noktası ve bu doğru parçaları hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: GG noktası üçgenin ağırlık merkezidir ve doğru parçaları kenarortaylardır.

Cevap

Verilen oranlar ağırlık merkezinin temel özelliğidir; bu nedenle G noktası ağırlık merkezi, doğru parçaları ise kenarortaylardır.
Üçgende kenarortayların kesiştiği nokta ağırlık merkezidir. Ağırlık merkezinin en temel özelliği, üzerinde bulunduğu kenarortayı kenara yakın kısımdan 1 birim, köşeye yakın kısımdan 2 birim olacak şekilde parçalamasıdır. Soruda verilen 2∣GD∣=∣AG∣2|GD| = |AG| gibi eşitlikler tam olarak bu 1:21:2 oranını ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen oranları analiz edin.
∣AG∣=2∣GD∣|AG| = 2|GD|, ∣BG∣=2∣GE∣|BG| = 2|GE| ve ∣CG∣=2∣GF∣|CG| = 2|GF| olduğu görülmektedir.
Bu oranlar, bir doğru parçasının kesim noktası tarafından köşeye olan uzaklığının, kenara olan uzaklığının iki katı olduğunu gösterir.
2
Üçgende yardımcı elemanların özelliklerini hatırlayın.
Kenarortayların kesim noktası (ağırlık merkezi), her bir kenarortayı 1:21:2 oranında böler.
Ağırlık merkezi (GG), kenara 1 birim (kk), köşeye 2 birim (2k2k) uzaklıktadır.
3
Sonucu belirleyin.
GG noktası ağırlık merkezidir, [AD][AD], [BE][BE] ve [CF][CF] ise kenarortaylardır.
Tanım gereği, bu özel oran sadece kenarortaylar ve onların kesim noktası için her zaman geçerlidir.

Anahtar Kavram

Üçgende ağırlık merkezi, kenarortayları kenardan 1 birim, köşeden 2 birim uzaklıkta olacak şekilde (1:2 oranında) böler.

İpuçları

1
Üçgende köşeden gelen parçanın kenara giden parçanın iki katı olduğu özel noktayı hatırlayın.
2
Bu özellik 'Ağırlık Merkezi' (GG) olarak bilinen nokta için tanımlanmıştır.
3
Ağırlık merkezi, kenarı iki eş parçaya bölen 'kenarortay'ların kesişim noktasıdır.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar ve eşkenar üçgenlerde bu yardımcı elemanların hangilerinin çakıştığını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 14Soru →

Aşağıdaki ABCABC üçgeninde [AH]⊥[BC][AH] \perp [BC] olduğu verilmiştir. ∣BC∣=14|BC| = 14 cm ve ∣AH∣=9|AH| = 9 cm olduğuna göre, ABCABC üçgensel bölgesinin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 63

Cevap

Üçgenin alanı 63 santimetrekaredir.
Üçgenin alan formülü Alan=Taban×Yu¨kseklik2\text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} şeklindedir. Verilen 1414 cm taban ve 99 cm yükseklik değerleri bu formülde yerine yazıldığında (14×9)/2=126/2=63(14 \times 9) / 2 = 126 / 2 = 63 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin taban ve yükseklik uzunluklarını belirle.
Taban (∣BC∣|BC|) = 14 cm, Yükseklik (∣AH∣|AH|) = 9 cm.
Alan hesaplamak için gerekli temel bileşenler bunlardır.
2
Taban ve yüksekliği çarparak çarpım sonucunu bul.
14×9=12614 \times 9 = 126.
Alan formülünün ilk aşaması taban ve yüksekliğin çarpımıdır.
3
Elde edilen çarpımı ikiye böl.
126/2=63126 / 2 = 63.
Üçgenin alanı, dikdörtgen veya paralelkenarın aksine çarpımın yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Üçgende Alan Formülü

İpuçları

1
Üçgenin alanını bulmak için taban uzunluğunu ve o tabana ait dik yüksekliği kullanmalısın.
2
Kullanman gereken formül şudur: Alan=(Taban×Yu¨kseklik)/2\text{Alan} = (\text{Taban} \times \text{Yükseklik}) / 2.
3
1414 ile 99 sayılarını çarpıp çıkan sonucu ikiye böldüğünde doğru cevaba ulaşacaksın.

Daha Fazla Pratik

Farklı taban ve yükseklik değerleriyle benzer alan soruları çözerek hızı artırabilirsin.

Alternatif Yöntem

Sayılar büyük gelirse, önce tabanı ikiye bölüp sonra yükseklikle çarpabilirsin: (14/2)×9=7×9=63(14/2) \times 9 = 7 \times 9 = 63.
Tahmini Süre:45s
Soru 15Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde kenar uzunlukları ∣AB∣=5|AB| = 5 cm ve ∣AC∣=8|AC| = 8 cm olarak verilmiştir. Buna göre, BCBC kenarının uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olamaz?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15 cm uzunluğu, verilen diğer iki kenarın toplamından büyük olduğu için bir üçgen oluşturamaz.
Üçgen eşitsizliği kuralına göre BCBC kenarının uzunluğu, ∣AB∣|AB| ve ∣AC∣|AC| kenarlarının toplamından küçük olmalıdır (BC<5+8BC < 5 + 8). Yani BC<13BC < 13 olmalıdır. 1515 cm değeri 1313'ten büyük olduğu için bu kenar uzunluğuyla bir üçgen oluşturulamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgen eşitsizliği kuralını hatırla.
∣b−c∣<a<b+c|b - c| < a < b + c
Bir üçgenin oluşabilmesi için bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır.
2
Verilen kenar uzunluklarını (55 ve 88) kullanarak sınırları belirle.
∣8−5∣<∣BC∣<8+5|8 - 5| < |BC| < 8 + 5
Üçüncü kenarın alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulmak gerekir.
3
Eşitsizliği sadeleştir.
3<∣BC∣<133 < |BC| < 13
BCBC kenarının uzunluğu 33 cm'den büyük ve 1313 cm'den küçük olmalıdır.
4
Seçenekleri bu aralık (3,133, 13) ile karşılaştır.
15>1315 > 13 olduğu için kurala uymaz.
1515 cm değeri belirlenen üst sınır olan 1313 cm'den büyük olduğu için bu kenar uzunluğuyla üçgen çizilemez.

Anahtar Kavram

Üçgen eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük olmalıdır.

İpuçları

1
Bir üçgenin bir kenarı, diğer iki kenarın toplamından her zaman daha kısa olmalıdır.
2
Verilen 5 cm ve 8 cm kenarlarını toplayarak BCBC kenarının aşamayacağı sınırı bulun.
3
BCBC kenarı 5+8=135 + 8 = 13 cm'den küçük olmak zorundadır. Seçeneklerde bu sınırdan büyük olan değer cevaptır.

Daha Fazla Pratik

Üçgenin çevresinin alabileceği en büyük tam sayı değerini bulmaya çalışarak konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 16Soru →

ABCABC bir ikizkenar üçgen, ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| ve m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ dir. [BC][BC] tabanı üzerinde alınan herhangi bir PP noktasından üçgenin eş olan kenarlarına indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı 66 cm'dir. Buna göre, ABCABC üçgeninin [BC][BC] tabanına ait yüksekliği kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 232\sqrt{3}

Cevap

İkizkenar üçgenin tabanına ait yüksekliği 232\sqrt{3} cm'dir.
Verilen ikizkenar üçgen özelliğine göre, dikmelerin toplamı olan 66 cm, yan kenarlardan birine indirilen yüksekliğe eşittir. Tepe açısı 120∘120^\circ olduğundan taban açıları 30∘30^\circ'dir. Yan kenar yüksekliği 66 cm olan bir 30−60−9030-60-90 üçgeninde taban ∣BC∣=12|BC| = 12 cm bulunur. 120−30−30120-30-30 üçgeninde tabana ait yükseklik, taban yarısının (66 cm) 3\sqrt{3}'e bölünmesiyle 232\sqrt{3} cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İkizkenar üçgenin dikme özelliğini uygula.
hyan=6h_{yan} = 6 cm
İkizkenar üçgende tabandaki bir noktadan yan kenarlara indirilen dikmelerin toplamı, yan kenarlardan birine ait yüksekliğe (hbh_b veya hch_c) eşittir.
2
Üçgenin taban açılarını hesapla.
m(B^)=m(C^)=30∘m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = 30^\circ
Tepe açısı 120∘120^\circ olan ikizkenar üçgenin iç açıları toplamından taban açıları (180∘−120∘)/2=30∘(180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ olarak bulunur.
3
Yan kenar yüksekliğini kullanarak taban uzunluğunu bul.
∣BC∣=12|BC| = 12 cm
Yan kenara ait yükseklik (hyanh_{yan}), tabanı hipotenüs kabul eden ve 30∘30^\circ açısı olan bir dik üçgen oluşturur. sin⁡30∘=hyan/∣BC∣⇒1/2=6/∣BC∣⇒∣BC∣=12\sin 30^\circ = h_{yan} / |BC| \Rightarrow 1/2 = 6 / |BC| \Rightarrow |BC| = 12 cm olur.
4
Taban yüksekliğini (htabanh_{taban}) hesapla.
htaban=23h_{taban} = 2\sqrt{3} cm
ABCABC üçgeninde tepe noktasından tabana indirilen dikme, tabanı iki eşit parçaya (66 cm) böler. Oluşan 30−60−9030-60-90 üçgeninde 60∘60^\circ'nin karşısı 66 cm ise, 30∘30^\circ'nin karşısı (yükseklik) 6/3=236 / \sqrt{3} = 2\sqrt{3} cm'dir.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende yardımcı elemanlar ve özel açılı üçgen özellikleri

İpuçları

1
İkizkenar üçgende taban üzerindeki bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin toplamı hangi uzunluğa eşittir?
2
Tepe açısı 120∘120^\circ olan bir üçgende taban açıları kaç derecedir? Bu açıları kullanarak bir 30−60−9030-60-90 üçgeni oluşturun.
3
Yan kenar yüksekliği 66 cm ise, taban uzunluğu 1212 cm olur. Bu durumda tabana ait yüksekliği bulmak için tabanın yarısını ve taban açısının tanjantını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Eğer üçgen eşkenar olsaydı ve içindeki bir noktadan kenarlara dikmeler indirilseydi, bu toplam neye eşit olurdu?

Alternatif Yöntem

120∘−30∘−30∘120^\circ-30^\circ-30^\circ üçgeninde kenar özellikleri a,a,a3a, a, a\sqrt{3} şeklindedir. Alanı iki farklı şekilde yazarak (∣BC∣⋅htaban/2=∣AB∣⋅hyan/2|BC| \cdot h_{taban} / 2 = |AB| \cdot h_{yan} / 2) sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 17Soru →

Dik koordinat düzleminde bir P(a,b)P(a, b) noktası III. bölgede yer almaktadır.

Buna göre, koordinatları (−a,b)(-a, b) olan bir RR noktası analitik düzlemin hangi bölgesindedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: IV. Bölge

Cevap

IV. Bölge
Analitik düzlemde III. bölgedeki bir noktanın bileşenleri (−,−)(-, -) şeklindedir. Dolayısıyla aa ve bb değerleri negatiftir. RR noktasının x bileşeni olan −a-a ifadesi, negatif bir sayının negatifi olduğu için pozitife (+)(+) dönüşür. y bileşeni olan bb ise negatif (−)(-) kalır. Koordinatları (+,−)(+, -) olan noktalar ise IV. bölgededir.

Adım Adım Çözüm

1
III. bölgenin özelliklerini belirle
a<0a < 0 ve b<0b < 0
III. bölgedeki tüm noktaların hem x hem de y koordinatları negatiftir.
2
R(−a,b)R(-a, b) noktasının koordinat işaretlerini incele
x bileşeni: −a>0-a > 0, y bileşeni: b<0b < 0
aa negatif bir sayı olduğu için (−a)(-a) ifadesi pozitif olur; bb ise negatif kalmaya devam eder.
3
İşaretlere göre bölgeyi tayin et
IV. Bölge
x bileşeni pozitif (+)(+), y bileşeni negatif (−)(-) olan noktalar analitik düzlemin IV. bölgesinde yer alır.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde bölgeler ve koordinat işaretleri

İpuçları

1
Bölgelerin işaretlerini hatırlayın: I (+,+)(+,+), II (−,+)(-,+), III (−,−)(-,-), IV (+,−)(+,-).
2
aa sayısı negatifse, −a-a sayısının işaretinin ne olacağını düşünün.
3
a<0a < 0 ve b<0b < 0 olduğuna göre (−a,b)(-a, b) ifadesindeki işaretlerin (+,−)(+, -) olduğunu görebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Noktaların eksenlere olan uzaklıklarını mutlak değer kavramıyla inceleyen soruları çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 18Soru →

ABC bir ikizkenar üçgendir. ∣AB∣=∣AC∣=10|AB| = |AC| = 10 cm ve ∣BC∣=12|BC| = 12 cm olarak veriliyor.

[BC][BC] kenarının CC köşesi tarafındaki uzantısı üzerinde, ∣CD∣=9|CD| = 9 cm olacak şekilde bir DD noktası alınıyor.

Buna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

17
İkizkenar üçgende tepe noktasından tabana indirilen dikme, tabanı ortalar. Taban 12 cm olduğundan 6-6 ayrılır. Yükseklik 6-8-10 üçgeninden 8 cm bulunur. Dışarıdaki parça 9 cm eklendiğinde yeni taban 15 cm olur. Oluşan büyük dik üçgen 8-15-17 özel üçgenidir.

Adım Adım Çözüm

1
İkizkenar üçgenin tepe noktası olan A'dan BC tabanına bir dikme (yükseklik) indirin ve tabanı kestiği noktaya H deyin.
AH ⊥ BC ve |BH| = |HC| = 6 cm
İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme, tabanı iki eşit parçaya böler (Yaki Kuralı).
2
AHC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak yükseklik (h) uzunluğunu hesaplayın.
|AH|² + 6² = 10² ⇒ |AH| = 8 cm
6-8-10 özel dik üçgeni.
3
Büyük dik üçgen olan AHD üçgeninin taban uzunluğunu (|HD|) belirleyin.
|HD| = |HC| + |CD| = 6 + 9 = 15 cm
H noktası BC üzerinde, D noktası uzantıdadır.
4
AHD dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak |AD| uzunluğunu bulun.
|AD|² = |AH|² + |HD|² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 ⇒ |AD| = 17 cm
8-15-17 özel dik üçgeni.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikmenin tabanı ikiye bölmesi ve oluşan yeni dik üçgenlerde Pisagor bağıntısının kullanımı.

İpuçları

1
İkizkenar üçgenin tepe noktasından tabana bir dikme indirmeyi deneyin.
2
İndirdiğiniz dikme, ∣BC∣|BC| tabanını iki eşit parçaya bölecektir. Yüksekliği bulmak için Pisagor bağıntısını kullanın.
3
Yükseklik 8 cm ve yeni oluşan büyük dik üçgenin tabanı 6+9=156 + 9 = 15 cm'dir. 8-15-... özel üçgenini hatırlayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 19Soru →

Bir ABCABC ikizkenar üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| ve tepe açısının ölçüsü m(BAC^)=40∘m(\widehat{BAC}) = 40^\circ olarak verilmiştir. Buna göre, BB açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7070

Cevap

70∘70^\circ
İkizkenar üçgenin en temel özelliği, eşit olan kenarların karşısındaki açıların da eşit olmasıdır. Tepe açısı 40∘40^\circ olan bir üçgende, taban açılarına toplam 140∘140^\circ kalır. Bu toplam iki eşit parçaya bölündüğünde her bir taban açısı 70∘70^\circ olur.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin iç açılar toplamını belirle
180∘180^\circ
Herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180∘180^\circ'dir.
2
Tepe açısını toplamdan çıkar
180∘−40∘=140∘180^\circ - 40^\circ = 140^\circ
Taban açılarının (BB ve CC) toplamını bulmak için tepe açısını toplamdan çıkarmalıyız.
3
Elde edilen toplamı ikiye böl
140∘/2=70∘140^\circ / 2 = 70^\circ
İkizkenar üçgende eşit kenarların (ABAB ve ACAC) karşısındaki açılar (BB ve CC) birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir ve iç açılar toplamı 180∘180^\circ'dir.

İpuçları

1
Bir üçgenin iç açılarının toplamının her zaman 180∘180^\circ olduğunu hatırla.
2
İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar (BB ve CC) birbirine eşittir.
3
180∘180^\circ'den 40∘40^\circ çıkarıp bulduğun sonucu iki eşit açıya paylaştırmalısın.

Daha Fazla Pratik

Eğer taban açılarından biri verilseydi, tepe açısını nasıl bulurdun? Bunu düşünerek konuyu pekiştirebilirsin.
Tahmini Süre:45s
Soru 20Soru →

Bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünün 4 katı olan düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı 35'tir.
Düzgün çokgenin bir dış açısına xx dersek, iç açısı 4x4x olur. Bunların toplamı 180∘180^\circ olduğundan 5x=180∘5x = 180^\circ ve x=36∘x = 36^\circ bulunur. Kenar sayısı n=360/36=10n = 360/36 = 10 olur. Köşegen sayısı formülü n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} kullanılarak 10⋅72=35\frac{10 \cdot 7}{2} = 35 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İç ve dış açı arasındaki ilişkiyi denkleme dök.
Dış açı = x olsun. İç açı = 4x olur. Bir köşedeki iç ve dış açının toplamı 180° olduğundan: x + 4x = 180°.
Düzgün çokgenin bir köşesindeki iç ve dış açı bütünlerdir.
2
Dış açıyı ve kenar sayısını (n) bul.
5x = 180° ⇒ x = 36° (dış açı). Kenar sayısı n = 360° / Dış Açı = 360° / 36° = 10.
Tüm düzgün çokgenlerde dış açılar toplamı 360°'dir ve bir dış açı 360/n formülüyle bulunur.
3
Köşegen sayısı formülünü uygula.
Köşegen Sayısı = n(n - 3) / 2 = 10(10 - 3) / 2 = 10 · 7 / 2 = 70 / 2 = 35.
n kenarlı bir çokgenin toplam köşegen sayısı n(n-3)/2 formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde açı özellikleri ve köşegen sayısı hesaplama.
Sayfa 1 / 22Sonraki
Geometri Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür | Examkin