Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÇokgenler

İç açıları, ortak farkı 4∘4^{\circ} olan aritmetik bir dizi oluşturan ve en küçük iç açısının ölçüsü 124∘124^{\circ} olan bir dışbükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?

  1. 9Cevap
  2. B
    12
  3. C
    15
  4. D
    18
  5. E
    20

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 9'dur.
Çokgenin iç açılar toplamı (n−2)180(n-2)180 formülü ile hesaplanır. Aynı zamanda iç açılar aritmetik bir dizi oluşturduğundan, toplam n2(a1+an)\frac{n}{2}(a_1 + a_n) formülü ile de ifade edilebilir. Bu iki ifade eşitlendiğinde n2−29n+180=0n^2 - 29n + 180 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri 9 ve 20'dir. Ancak dışbükeylik şartı gereği en büyük iç açı 180 dereceden küçük olmalıdır. n=20n=20 alındığında en büyük açı 200∘200^{\circ} çıkar ki bu dışbükeylik tanımına aykırıdır. Bu nedenle tek geçerli cevap 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Dışbükey bir çokgenin iç açılar toplamı formülünü ve aritmetik dizi toplam formülünü yaz.
İç açılar toplamı: (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ}. Aritmetik dizi toplamı: n2[2a1+(n−1)d]\frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d].
Çokgenin kenar sayısını (nn) bulmak için geometrik özellik ile sayısal dizi özelliğini eşitlememiz gerekir.
2
Verilen değerleri (a1=124a_1=124, d=4d=4) formüllerde yerine koyarak denklemi kur.
(n−2)×180=n2[2×124+(n−1)×4](n-2) \times 180 = \frac{n}{2} [2 \times 124 + (n-1) \times 4]
İç açılar toplamı her iki yöntemde de eşit olmalıdır.
3
Denklemi sadeleştir ve ikinci dereceden denklemi çöz.
360(n−2)=n[248+4n−4]⇒360n−720=4n2+244n⇒4n2−116n+720=0⇒n2−29n+180=0360(n-2) = n[248 + 4n - 4] \Rightarrow 360n - 720 = 4n^2 + 244n \Rightarrow 4n^2 - 116n + 720 = 0 \Rightarrow n^2 - 29n + 180 = 0. Kökler: n=9n=9 ve n=20n=20.
n değerini bulmak için gerekli cebirsel işlemler.
4
Bulunan köklerin dışbükeylik şartını (her bir iç açı < 180°) sağlayıp sağlamadığını kontrol et.
n=9n=9 için en büyük açı: 124+8×4=156∘<180∘124 + 8 \times 4 = 156^{\circ} < 180^{\circ} (Uygun). n=20n=20 için en büyük açı: 124+19×4=200∘>180∘124 + 19 \times 4 = 200^{\circ} > 180^{\circ} (Uygun değil).
Dışbükey çokgenlerde hiçbir iç açı 180 derece veya daha büyük olamaz.

Anahtar Kavram

Çokgenlerin iç açıları toplamı ile aritmetik dizilerin birleştirilmesi ve dışbükeylik kısıtlaması.

İpuçları

1
Bir dışbükey çokgenin iç açılar toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ} formülüyle bulunur.
2
İç açılar toplamını aynı zamanda aritmetik dizi toplam formülü n2[2a1+(n−1)d]\frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] ile de ifade edip bu iki denklemi eşitlemelisiniz.
3
Elde edeceğiniz ikinci dereceden denklemin iki pozitif kökü olabilir. Hangisinin 'dışbükey' (iç açı < 180°) tanımına uyduğunu kontrol etmeyi unutmayın.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Çokgenler

Bu konudan daha fazla soru