Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇokgenler

Bir düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı ile bir dış açısının ölçüsünün (derece cinsinden) çarpımı 1260'tır.

Buna göre, bu düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

  1. A
    135
  2. B
    140
  3. 144Cevap
  4. D
    150
  5. E
    156

Cevap

Düzgün çokgenin bir iç açısı 144 derecedir.
Verilen problemde köşegen sayısı formülü n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} ile dış açı formülü 360n\frac{360}{n} çarpıldığında nn çarpanları sadeleşir ve geriye sadece n−3n-3 bilinmeyeni kalır. Denklem 180(n−3)=1260180(n-3)=1260 şeklinde çözüldüğünde n=10n=10 bulunur. 10 kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısı 144∘144^{\circ} dir.

Adım Adım Çözüm

1
Düzgün çokgenin kenar sayısına nn diyelim. Köşegen sayısı ve bir dış açı formüllerini yazalım.
Köşegen Sayısı =n(n−3)2= \frac{n(n-3)}{2} ve Dış Açı =360n= \frac{360}{n}
Soruda verilen ilişkiyi matematiksel denkleme dökmek için temel formüller gereklidir.
2
Verilen çarpım bilgisini kullanarak denklemi kuralım ve sadeleştirelim.
n(n−3)2⋅360n=1260\frac{n(n-3)}{2} \cdot \frac{360}{n} = 1260
nn'ler birbirini sadeleştirir ve denklem kolaylaşır: 180(n−3)=1260180(n-3) = 1260.
3
Denklemi çözerek kenar sayısını (nn) bulalım.
n−3=1260180⇒n−3=7⇒n=10n-3 = \frac{1260}{180} \Rightarrow n-3 = 7 \Rightarrow n = 10
Çokgenin bir ongen (10 kenarlı) olduğu belirlenir.
4
Bulunan nn değerini kullanarak bir iç açının ölçüsünü hesaplayalım.
İç Açı =180∘−360∘10=180∘−36∘=144∘= 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{10} = 180^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ}
Bir iç açı, 180 dereceden bir dış açının çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde köşegen sayısı ve açı bağıntılarının cebirsel olarak çözülmesi.

İpuçları

1
Köşegen sayısı formülünü (n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}) ve düzgün çokgenin bir dış açısı formülünü (360n\frac{360}{n}) yan yana yazarak çarpma işlemini kurunuz.
2
Çarpma işleminde paydadaki nn ile paydaki nn'in birbirini götürdüğünü fark ediniz. Geriye birinci dereceden basit bir denklem kalacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'İç açılar toplamı ile bir dış açısının çarpımı sabit bir sayı olan...' şeklinde sorular üretilebilir.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine şıklardan gidilebilir. Örneğin C şıkkı (144) doğru ise, iç açı 144, dış açı 36 olur. 360/36 = 10 kenar vardır. 10 kenarlı çokgenin köşegen sayısı 10(7)/2=3510(7)/2 = 35'tir. Çarpımları 35×36=126035 \times 36 = 1260 eder. Eşitlik sağlandığı için doğru cevap bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çokgenler

Bu konudan daha fazla soru