Examkin

Soru

Zorluk: ZorKarışım Problemleri

Bir endüstriyel tesiste A ve B tanklarında bulunan farklı derişimlerdeki asit çözeltileri karıştırılarak yeni çözeltiler elde edilmektedir. A tankındaki çözeltinin asit oranı %60\%60, B tankındaki çözeltinin asit oranı ise %x\%x'tir. Bu tanklardan; A'dan mm litre, B'den nn litre alınarak oluşturulan I. karışımın asit oranı %50\%50 olmaktadır. Eğer A'dan nn litre, B'den mm litre alınarak karıştırılsaydı elde edilen II. karışımın asit oranı %55\%55 olacaktı.

Buna göre, B tankındaki çözeltinin asit oranı (xx) kaçtır?

  1. A
    35
  2. B
    40
  3. 45Cevap
  4. D
    48
  5. E
    50

Cevap

B tankındaki çözeltinin asit oranı %45'tir.
Soruda verilen iki farklı karışım durumu için ağırlıklı ortalama denklemleri kurulur. Birinci durumda AA ve BB'den alınan miktarlar mm ve nn iken, ikinci durumda bu miktarlar yer değiştirmiştir (nn ve mm). Her iki durum için elde edilen denklemlerden m/nm/n oranı çekilerek birbirine eşitlendiğinde, bilinmeyen xx yüzdesi için ikinci dereceden bir denklem elde edilir. Bu denklemin mantıklı çözümü x=45x=45'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bilgileri matematiksel denklemlere dök.
I. Durum: 60⋅m+x⋅nm+n=50\frac{60 \cdot m + x \cdot n}{m + n} = 50
II. Durum: 60⋅n+x⋅mm+n=55\frac{60 \cdot n + x \cdot m}{m + n} = 55
Karışım problemlerinde, (Miktar × Oran) toplamının toplam miktara bölümü yeni oranı verir.
2
Birinci ve ikinci denklemi düzenleyerek mm ve nn arasındaki ilişkiyi bul.
I. denklemden: 60m+xn=50m+50n⇒10m=n(50−x)60m + xn = 50m + 50n \Rightarrow 10m = n(50-x)
II. denklemden: 60n+xm=55m+55n⇒5n=m(55−x)60n + xm = 55m + 55n \Rightarrow 5n = m(55-x)
Değişkenleri sadeleştirmek için içler dışlar çarpımı yapılır.
3
Elde edilen iki bağıntıdan oran çekerek (m/nm/n) birbirine eşitle.
mn=50−x10\frac{m}{n} = \frac{50-x}{10} ve mn=555−x\frac{m}{n} = \frac{5}{55-x} olduğu için; 50−x10=555−x\frac{50-x}{10} = \frac{5}{55-x}
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için ortak bir oran kullanılır.
4
Oluşan denklemi çözerek xx değerini bul.
(50−x)(55−x)=50⇒2750−105x+x2=50⇒x2−105x+2700=0(50-x)(55-x) = 50 \Rightarrow 2750 - 105x + x^2 = 50 \Rightarrow x^2 - 105x + 2700 = 0
Çarpanlar: (x−60)(x−45)=0(x-60)(x-45) = 0. x=60x=60 olamaz (oranlar farklı olurdu), bu yüzden x=45x=45.
İkinci dereceden denklemin kökleri bulunur ve problem mantığına uygun olan seçilir.

Anahtar Kavram

Karışım problemlerinde madde miktarı korunumunu kullanarak oran-orantı ve denklem sistemi kurma.

İpuçları

1
Karışım problemlerinde temel formül: (1. Madde Miktarı × Yüzdesi + 2. Madde Miktarı × Yüzdesi) = (Toplam Miktar × Yeni Yüzde) şeklindedir.
2
İki durum için de ayrı ayrı denklem kurmalısın. Birinci denklemden mm ile nn arasında bir ilişki, ikinci denklemden de yine mm ile nn arasında başka bir ilişki bulacaksın.
3
Birinci durumdan 10m=n(50−x)10m = n(50-x), ikinci durumdan 5n=m(55−x)5n = m(55-x) eşitliklerini bulup taraf tarafa oranlayarak mm ve nn'yi yok et.

Daha Fazla Pratik

Karışım miktarlarının yer değiştirdiği benzer problemler çözerek denklem kurma pratiği yapılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Karışım Problemleri

Bu konudan daha fazla soru