Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı sayı türleri ve bu türler arasındaki ilişkiler ile ilgili olarak, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  1. A
    İki irrasyonel sayının toplamı yine bir irrasyonel sayıdır.
  2. B
    Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı irrasyoneldir.
  3. Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı irrasyoneldir.Cevap
  4. D
    Her tam sayı aynı zamanda bir doğal sayıdır.
  5. E
    İrrasyonel bir sayının karesi rasyonel bir sayıdır.

Cevap

Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı irrasyoneldir.
Rasyonel sayılar kümesi (Q\mathbb{Q}) ile İrrasyonel sayılar kümesi (Q′\mathbb{Q}') ayrıktır. Bir rasyonel sayı (rr) ile bir irrasyonel sayının (ii) toplamı her zaman irrasyoneldir. Aksini varsayarsak, yani r+i=qr + i = q (rasyonel) desek, i=q−ri = q - r olurdu. İki rasyonel sayının farkı yine rasyonel olacağı için bu durum ii'nin irrasyonel olmasıyla çelişir.

Adım Adım Çözüm

1
Seçeneklerde verilen kümeler arası ilişkileri ve işlem özelliklerini tek tek analiz et.
Her seçeneğin doğruluğunu test etmek için karşıt örnek (aksine örnek) düşünülür.
'Daima doğrudur' sorularında tek bir karşıt örnek ifadenin yanlış olduğunu kanıtlar.
2
Birinci seçeneği incele: 'İki irrasyonel sayının toplamı irrasyoneldir.'
Yanlış. Örnek: a=3a = \sqrt{3} ve b=−3b = -\sqrt{3} irrasyoneldir ancak a+b=0a+b = 0 rasyoneldir.
İrrasyonel sayıların toplamı rasyonel olabilir.
3
İkinci seçeneği incele: 'Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı irrasyoneldir.'
Yanlış. Örnek: Rasyonel sayı 00 alındığında, 0⋅2=00 \cdot \sqrt{2} = 0 olur ve 00 rasyoneldir.
Yutan eleman (00) kuralı bu genellemeyi bozar.
4
Üçüncü seçeneği incele: 'Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı irrasyoneldir.'
Doğru. r∈Qr \in \mathbb{Q} ve i∈Q′i \in \mathbb{Q}' olsun. Eğer r+i=q∈Qr+i = q \in \mathbb{Q} olsa, i=q−ri = q-r olurdu. İki rasyonel sayının farkı rasyonel olacağından ii rasyonel çıkardı, bu bir çelişkidir.
Rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamı kapalı değildir, sonuç daima irrasyoneldir.
5
Dördüncü ve beşinci seçenekleri kontrol et.
D yanlış (Negatif tam sayılar doğal sayı değildir). E yanlış (π2\pi^2 irrasyoneldir).
Diğer seçeneklerin de kesinlikle yanlış olduğundan emin olunur.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri Arasındaki İlişkiler ve İşlemler
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Bu konudan daha fazla soru