Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir x sayısı için, aşağıda verilen durumlardan hangisinin… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir $x$ sayısı için, aşağıda verilen durumlardan hangisinin gerçekleşmesi $x$ sayısının irrasyonel ( $\mathbb{Q}'$ ) olduğunun kesin kanıtıdır?

A
Karesinin ( $x^2$ ) rasyonel bir sayı olması
B
Ondalık açılımının sonsuz basamaklı olması
$\sqrt{5}$ sayısı ile toplamının rasyonel bir sayı olmasıCevap
D
$\sqrt{2}$ sayısı ile çarpımının rasyonel bir sayı olması
E
İki irrasyonel sayının toplamı olarak ifade edilebilmesi

Cevap

\sqrt{5}

sayısı ile toplamının rasyonel bir sayı olması,

x

'in irrasyonel olduğunun kesin kanıtıdır.

Rasyonel sayılar kümesi (

\mathbb{Q}

) ile İrrasyonel sayılar kümesi (

\mathbb{Q}'

) ayrık kümelerdir. Bir rasyonel sayı (

r

) ile bir irrasyonel sayının (

\sqrt{5}

) toplamı veya farkı daima irrasyoneldir. Eğer

x + \sqrt{5} = r

(rasyonel) ise,

x = r - \sqrt{5}

olmak zorundadır. Rasyonel bir sayıdan irrasyonel bir sayı çıkarıldığında sonuç kesinlikle irrasyoneldir. Bu nedenle bu koşul,

x

'in irrasyonel olduğunun kesin kanıtıdır.

Adım Adım Çözüm

Seçenek C'yi analiz et

x + \sqrt{5} = r

(

r \in \mathbb{Q}

) eşitliğini kur.

Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dökmek için.

x

'i yalnız bırak ve kümeleri incele

x = r - \sqrt{5}

bulunur.

x

sayısının yapısını görmek için.

Rasyonel ve İrrasyonel sayıların farkının özelliğini kullan

Rasyonel bir sayıdan (

r

), irrasyonel bir sayı (

\sqrt{5}

) çıkarıldığında sonuç daima irrasyoneldir. Bu nedenle

x

kesinlikle

\mathbb{Q}'

kümesindedir.

\mathbb{Q} - \mathbb{Q}'

işlemi kapalı değildir ve daima

\mathbb{Q}'

üretir.

Anahtar Kavram

İrrasyonel Sayıların İşlem Özellikleri

İpuçları

Şıklardaki her bir ifade için,

x

yerine rasyonel bir sayı koyarak ifadenin sağlanıp sağlanamayacağını (aksi örnek) deneyin.

Daha Fazla Pratik

Rasyonel ve irrasyonel sayıların çarpımının her zaman irrasyonel olup olmadığını (sıfır durumu) inceleyen sorular çözülebilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Konular

Bu konudan daha fazla soru