Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı xx ve yy sayıları ile ilgili bazı önermeler aşağıda verilmiştir. Buna göre, bu önermelerden hangisi her zaman doğrudur?

  1. A
    xx ve yy irrasyonel sayı ise, x+yx + y toplamı da irrasyonel bir sayıdır
  2. B
    xx irrasyonel ve yy rasyonel sayı ise, x⋅yx \cdot y çarpımı irrasyonel bir sayıdır
  3. C
    x2x^2 rasyonel bir sayı ise, xx de rasyonel bir sayıdır
  4. x3x^3 irrasyonel bir sayı ise, xx de irrasyonel bir sayıdırCevap
  5. E
    xx ve yy irrasyonel sayı ise, xy\frac{x}{y} oranı da irrasyonel bir sayıdır

Cevap

x3x^3 irrasyonel bir sayı ise, xx de irrasyonel bir sayıdır.
Doğru seçenek, 'olmayana ergi' (karşıt ters) yöntemiyle ispatlanabilir. Bir xx sayısı rasyonel ise (x∈Qx \in \mathbb{Q}), rasyonel sayıların çarpma işlemine göre kapalılık özelliği gereği x3=x⋅x⋅xx^3 = x \cdot x \cdot x sayısı da kesinlikle rasyoneldir. Bu önermenin mantıksal karşıtı da doğrudur: Eğer x3x^3 rasyonel değilse (yani irrasyonelse), o halde xx de rasyonel olamaz (irrasyoneldir). Bu ifade hiçbir istisna olmadan her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Seçeneklerin doğruluğunu test etmek için karşıt örnek (aksine örnek) yöntemini kullan.
Her bir ifadenin yanlış olduğu en az bir durum bulunmaya çalışılır.
Bir önermenin 'her zaman' doğru olması için hiçbir istisnasının bulunmaması gerekir.
2
İrrasyonel sayıların toplamını ve bölümünü test et.
x=2x = \sqrt{2} ve y=−2y = -\sqrt{2} için x+y=0x+y=0 (Rasyonel). x=3x = \sqrt{3} ve y=3y = \sqrt{3} için x/y=1x/y=1 (Rasyonel).
İrrasyonel sayılar kümesi toplama ve bölme işlemlerine göre kapalı değildir.
3
İrrasyonel ve rasyonel sayıların çarpımını test et.
x=5x = \sqrt{5} (İrrasyonel) ve y=0y = 0 (Rasyonel) alınırsa, x⋅y=0x \cdot y = 0 (Rasyonel).
Sıfır yutan eleman olduğu için çarpım sonucunu rasyonel yapabilir.
4
Kuvvet alma işlemlerini mantıksal olarak analiz et.
x2=2x^2 = 2 (Rasyonel) iken x=2x = \sqrt{2} (İrrasyonel) olabilir. Ancak x3x^3 irrasyonel ise xx rasyonel OLAMAZ.
Rasyonel sayıların kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır. Eğer xx rasyonel olsaydı, x⋅x⋅x=x3x \cdot x \cdot x = x^3 de kesinlikle rasyonel olurdu. x3x^3 irrasyonel olduğuna göre, xx rasyonel olamaz.

Anahtar Kavram

Sayı Kümelerinin Kapalılık Özellikleri ve Mantıksal Çıkarım

İpuçları

1
Seçeneklerin her biri için, verilen kuralı bozan bir 'karşıt örnek' bulmaya çalışın. Örneğin, rasyonel sayı olarak 0'ı veya irrasyonel sayı olarak 2\sqrt{2} ve −2-\sqrt{2} gibi değerleri deneyin.
2
Bir sayının rasyonel olması, tam sayıların oranı şeklinde yazılabilmesi demektir. Rasyonel bir sayının küpü her zaman rasyonel midir? Bunu düşünerek doğru seçeneğe ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Rasyonel katsayılı polinomlarda irrasyonel köklerin eşlenik olması durumu incelenebilir.

Alternatif Yöntem

Mantıksal 'karşıt ters' (contrapositive) kuralı: p⇒qp \Rightarrow q önermesi, ¬q⇒¬p\neg q \Rightarrow \neg p önermesine denktir. 'x Rasyonel ⇒\Rightarrow x3x^3 Rasyonel' ifadesi doğru olduğu için, bunun tersi olan 'x3x^3 İrrasyonel ⇒\Rightarrow x İrrasyonel' ifadesi de doğrudur.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Bu konudan daha fazla soru