Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇokgenler

Bir dışbükey çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegenlerin sayısı, bu çokgenin tüm köşegenlerinin sayısının 16\frac{1}{6}'sına eşittir. Buna göre, bu çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

  1. A
    720∘720^{\circ}
  2. B
    1440∘1440^{\circ}
  3. C
    1620∘1620^{\circ}
  4. 1800∘1800^{\circ}Cevap
  5. E
    1980∘1980^{\circ}

Cevap

İç açılar toplamı 1800∘1800^{\circ} olan seçenek doğrudur.
Çokgenin kenar sayısı nn olduğunda, bir köşeden çizilen köşegenlerin sayısı n−3n-3 ve tüm köşegenlerin sayısı n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülleriyle ifade edilir. Sorudaki ilişkiye göre (n−3)=16⋅n(n−3)2(n-3) = \frac{1}{6} \cdot \frac{n(n-3)}{2} eşitliği yazılır. Bu eşitlikten n=12n=12 (onikigen) sonucuna ulaşılır. Onikigenin iç açılar toplamı ise (12−2)⋅180∘=1800∘(12-2) \cdot 180^{\circ} = 1800^{\circ} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Köşegen sayısı formüllerini belirleyin.
nn kenarlı bir çokgende bir köşeden çizilen köşegen sayısı n−3n-3, toplam köşegen sayısı ise n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülü ile bulunur.
Soruda verilen orantıyı kurabilmek için bu temel formüllere ihtiyaç vardır.
2
Verilen oranı kullanarak denklemi kurun.
(n−3)=16⋅n(n−3)2(n-3) = \frac{1}{6} \cdot \frac{n(n-3)}{2} denklemi elde edilir.
Bir köşeden çizilen köşegen sayısının toplam köşegen sayısına oranı 16\frac{1}{6} olarak verilmiştir.
3
Kenar sayısını (nn) bulmak için denklemi çözün.
n−3n-3 terimleri sadeleştiğinde (çünkü n>3n>3), 1=n121 = \frac{n}{12} buradan da n=12n = 12 bulunur.
Çokgenin kaç kenarlı olduğunu belirlemek, iç açılar toplamını bulmak için gereklidir.
4
İç açılar toplamı formülünü uygulayın.
(n−2)⋅180∘→(12−2)⋅180∘=10⋅180∘=1800∘(n-2) \cdot 180^{\circ} \rightarrow (12-2) \cdot 180^{\circ} = 10 \cdot 180^{\circ} = 1800^{\circ} bulunur.
Bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n−2)⋅180∘(n-2) \cdot 180^{\circ} formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Çokgenlerde Köşegen Sayısı ve İç Açılar Toplamı İlişkisi

İpuçları

1
Çokgenin kenar sayısına nn diyerek başlayın ve bir köşeden çizilen köşegen sayısı formülünü hatırlayın.
2
Bir köşeden çizilen köşegen sayısı n−3n-3, toplam köşegen sayısı ise n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}'dir. Bu ikisini verilen orana göre eşitleyin.
3
Elde ettiğiniz n−3=n(n−3)12n-3 = \frac{n(n-3)}{12} denkleminden nn değerini bulup iç açılar toplamı formülünde yerine yazın.

Daha Fazla Pratik

Bir köşeden çizilen köşegenlerin çokgeni kaç üçgene ayırdığı ve bu üçgen sayısının toplam köşegen sayısıyla olan ilişkisini inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Orantıdan doğrudan nn değerini görebilirsiniz: n−3n(n−3)2=16⇒2n=16\frac{n-3}{\frac{n(n-3)}{2}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{2}{n} = \frac{1}{6} olduğu için n=12n=12 olduğu kolayca fark edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çokgenler

Bu konudan daha fazla soru