Examkin

Soru

Zorluk: ZorAralarında Asal Sayılar
xx ve yy aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere,
x⋅y=60x \cdot y = 60
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, x+yx + y ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    59
  2. 120Cevap
  3. C
    136
  4. D
    152
  5. E
    168

Cevap

İstenen değerlerin toplamı 120'dir.
Doğru cevap, çarpımları 60 olan tüm çiftlerin incelenip sadece 1'den başka ortak böleni olmayanların seçilmesiyle bulunur. Geçerli çiftler (1,60), (3,20), (4,15) ve (5,12)'dir. Bu çiftlerin toplamları sırasıyla 61, 23, 19 ve 17 olup, bu değerlerin toplamı 120 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpımları 60 olan pozitif tam sayı ikililerini (x,y)(x, y) belirle.
(1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10)
Tüm olası çarpan çiftlerini bulmak çözümün ilk adımıdır.
2
Bu ikililerden hangilerinin 'aralarında asal' olduğunu tespit et.
Aralarında asal olanlar: (1, 60), (3, 20), (4, 15), (5, 12)
Aralarında asal sayılar 1 dışında ortak pozitif tam sayı böleni olmayan sayılardır. (2, 30) ve (6, 10) çiftlerinin ortak böleni 2 olduğu için elenir.
3
Seçilen ikililer için x+yx + y toplamlarını hesapla ve hepsini topla.
(1+60) + (3+20) + (4+15) + (5+12) = 61 + 23 + 19 + 17 = 120
Soruda istenen sonuç, uygun çiftlerin toplamlarının genel toplamıdır.

Anahtar Kavram

Aralarında Asal Sayılar

İpuçları

1
60 sayısının tüm pozitif tam sayı çarpanlarını ikililer halinde (x, y) şeklinde yazarak başlayın.
2
Yazdığınız ikililerden her birinin ortak bölenlerini kontrol edin. Sadece ortak böleni 1 olanları (aralarında asal olanları) seçin.
3
1 sayısının her pozitif tam sayı ile aralarında asal olduğunu unutmayın. (1, 60) çiftini çözüm kümesine dahil etmelisiniz.

Alternatif Yöntem

60 sayısını asal çarpanlarına ayırın: 22⋅3⋅52^2 \cdot 3 \cdot 5. Aralarında asal iki sayının çarpımı bu ise, asal çarpanlar (gruplar halinde) parçalanamaz. Yani 22=42^2=4, 33 ve 55 blokları bir bütündür. Bu blokların x ve y'ye dağılım kombinasyonlarını inceleyerek de sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Aralarında Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru