Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBasamak Analizi ve Çözümleme

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısı, bu sayının rakamları kullanılarak oluşturulabilecek rakamları birbirinden farklı tüm iki basamaklı doğal sayıların toplamının 2 katına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan ABCABC sayısı için A+B−CA + B - C ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    13
  2. 14Cevap
  3. C
    15
  4. D
    16
  5. E
    18

Cevap

14
Verilen koşulu sağlayan tek sayı 792792'dir. Bu durumda A=7,B=9,C=2A=7, B=9, C=2 olur ve A+B−C=14A+B-C = 14 değeri elde edilir. Çözüm, basamak değerlerinin ayrıştırılması ve oluşan Diophantine (tam sayı) denkleminin parite analizi ile çözülmesiyle bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen iki basamaklı sayıların toplamını ifade et.
A,B,CA, B, C rakamları ile yazılabilecek rakamları farklı iki basamaklı sayılar: AB,AC,BA,BC,CA,CBAB, AC, BA, BC, CA, CB. Bunların toplamı: (10A+B)+(10A+C)+(10B+A)+(10B+C)+(10C+A)+(10C+B)=22(A+B+C)(10A+B) + (10A+C) + (10B+A) + (10B+C) + (10C+A) + (10C+B) = 22(A+B+C).
Basamak çözümlemesi yaparak toplamı A,B,CA, B, C cinsinden bulmak gerekir.
2
Verilen eşitliği matematiksel denkleme dök.
ABC=2×22(A+B+C)⇒100A+10B+C=44(A+B+C)ABC = 2 \times 22(A+B+C) \Rightarrow 100A + 10B + C = 44(A+B+C)
Problemdeki sözel ifadeyi cebirsel eşitliğe çevirmek için.
3
Denklemi düzenleyerek katsayıları sadeleştir.
100A+10B+C=44A+44B+44C⇒56A=34B+43C100A + 10B + C = 44A + 44B + 44C \Rightarrow 56A = 34B + 43C
Bilinmeyenleri gruplayarak çözüm kümesini daraltmak için.
4
Eşitliğin sağ ve sol tarafındaki sayıların tek-çift (parite) durumunu incele.
56A56A çifttir, 34B34B çifttir. Eşitliğin sağlanması için 43C43C çift olmalıdır. 43 tek sayı olduğu için CC kesinlikle çift bir rakamdır (2,4,6,82, 4, 6, 8).
Tam sayı analizinde çözüm aralığını daraltmak için parite kontrolü yapılır.
5
CC değerlerini deneyerek uygun AA ve BB rakamlarını bul.
C=2C=2 için denklem: 56A=34B+8656A = 34B + 86. Her tarafı 2'ye böl: 28A=17B+4328A = 17B + 43. Modüler aritmetik veya deneme yoluyla A=7A=7 bulunur (28×7=19628 \times 7 = 196). Buradan 196=17B+43⇒17B=153⇒B=9196 = 17B + 43 \Rightarrow 17B = 153 \Rightarrow B=9. Bulunan sayılar A=7,B=9,C=2A=7, B=9, C=2 olup hepsi birbirinden farklıdır ve denklemi sağlar (792=44×18792 = 44 \times 18).
Diğer CC değerleri (4,6,84, 6, 8) için geçerli bir rakam çözümü bulunamaz.
6
İstenen değeri hesapla.
A+B−C=7+9−2=14A + B - C = 7 + 9 - 2 = 14.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayı Teorisi (Parite ve Bölünebilme)

İpuçları

1
A,B,CA, B, C rakamları ile yazılabilecek rakamları farklı iki basamaklı tüm sayıların toplamını A,B,CA, B, C cinsinden ifade ediniz. Bu toplam 22(A+B+C)22(A+B+C) olacaktır.
2
Elde ettiğiniz denklem 100A+10B+C=44(A+B+C)100A + 10B + C = 44(A+B+C) şeklindedir. Bunu sadeleştirerek 56A=34B+43C56A = 34B + 43C elde ediniz.
3
Eşitliğin sol tarafı ve 34B34B terimi çifttir. Bu nedenle 43C43C terimi de çift olmalıdır. CC yerine çift rakamları (2,4,6,82, 4, 6, 8) deneyerek çözüme ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, ABC=3×(A!+B!+C!)ABC = 3 \times (A! + B! + C!) gibi faktöriyel içeren basamak analizi soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Denklemi 11(5A−3B−4C)=A−B−C11(5A - 3B - 4C) = A - B - C şeklinde modüler aritmetik yaklaşımıyla düzenleyerek, sol tarafın 11'in katı olması gerektiğinden yola çıkıp çözüm aralığı daha hızlı daraltılabilir.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Basamak Analizi ve Çözümleme

Bu konudan daha fazla soru