Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKüme Problemleri

Bir site yönetimi toplantısında, 'Güvenlik Sistemi' ve 'Peyzaj Düzenlemesi' olmak üzere iki farklı proje oylamaya sunulmuştur. Toplantıya katılan toplam 5555 kat malikinin oy kullandığı bu oylama ile ilgili şu bilgiler verilmiştir:

* Sadece Güvenlik Sistemi projesine oy verenlerin sayısı, sadece Peyzaj Düzenlemesi projesine oy verenlerin sayısının 33 katıdır.
* Her iki projeye de oy veren 88 kişi vardır.
* Hiçbir projeye oy vermeyen (çekimser) 77 kişi bulunmaktadır.

Buna göre, Güvenlik Sistemi projesine oy veren toplam kişi sayısı kaçtır?

  1. A
    30
  2. 38Cevap
  3. C
    10
  4. D
    48
  5. E
    18

Cevap

Güvenlik Sistemi projesine oy veren toplam kişi sayısı 38'dir.
Doğru cevap, sadece Güvenlik sistemine oy verenler (3x=303x = 30) ile her iki projeye de oy verenlerin (88) toplamı olan 3838'dir. Denklem 4x+15=554x + 15 = 55 şeklinde kurulup çözüldüğünde x=10x=10 bulunur ve yerine konulur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve verilenleri tanımla.
Evrensel küme (toplam kişi) s(E)=55s(E) = 55. İki küme: Güvenlik (GG) ve Peyzaj (PP). Kesişim s(G∩P)=8s(G \cap P) = 8. Hiçbirine oy vermeyenler s((G∪P)′)=7s((G \cup P)') = 7.
Problemi matematiksel sembollerle ifade etmek çözümü kolaylaştırır.
2
Bilinmeyenleri değişken cinsinden ifade et.
Sadece Peyzaj'a oy verenlere xx dersek, sadece Güvenlik'e oy verenler 3x3x olur.
Verilen kat ilişkisini denkleme dökmek için.
3
Toplam kişi sayısı üzerinden denklemi kur.
(Sadece G)+(Sadece P)+(Her ikisi)+(Hic¸biri)=Toplam(\text{Sadece } G) + (\text{Sadece } P) + (\text{Her ikisi}) + (\text{Hiçbiri}) = \text{Toplam}
3x+x+8+7=553x + x + 8 + 7 = 55
Evrensel küme, tüm alt bölgelerin toplamına eşittir.
4
Denklemi çözerek xx değerini bul.
4x+15=55⇒4x=40⇒x=104x + 15 = 55 \Rightarrow 4x = 40 \Rightarrow x = 10.
Bilinmeyen xx değerini bulmak için işlem yapılır.
5
İstenen kümenin eleman sayısını hesapla.
Güvenlik projesine oy verenler = (Sadece G)+(Her ikisi)=3x+8(\text{Sadece } G) + (\text{Her ikisi}) = 3x + 8.
3(10)+8=30+8=383(10) + 8 = 30 + 8 = 38.
Soru 'Sadece Güvenlik'i değil, 'Güvenlik' kümesinin tamamını sormaktadır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Denklem Kurma

İpuçları

1
Problemi çözmek için bir Venn şeması çizmeyi deneyin. İki kesişen küme ve dışarıda kalan bir bölge olacaktır.
2
Sadece Peyzaj'a oy verenlere xx derseniz, sadece Güvenlik'e oy verenler 3x3x olur. Tüm bölgelerin toplamı 55'e eşittir.
3
Denklem: 3x+x+8+7=553x + x + 8 + 7 = 55. Buradan xx'i bulduktan sonra, Güvenlik kümesi için 3x+83x + 8 işlemini yapmayı unutmayın.

Alternatif Yöntem

Toplam kişi sayısından (5555), hiçbirine oy vermeyenleri (77) çıkarırsanız birleşim kümesini (4848) bulursunuz. s(G∪P)=s(G)+s(P)−s(G∩P)s(G \cup P) = s(G) + s(P) - s(G \cap P) formülünde s(G)=3x+8s(G) = 3x+8 ve s(P)=x+8s(P)=x+8 yazarak da çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru