Examkin

Soru

Zorluk: Zorİşlem

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesi üzerinde tanımlı ⋆\star işlemi aşağıdaki tabloda verilmiştir:

⋆\star12345
134512
245123
351234
412345
523451

Buna göre, ((x⋆3)−1⋆2)=5((x \star 3)^{-1} \star 2) = 5 eşitliğini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
(x−1x^{-1}, xx elemanının ⋆\star işlemine göre tersini göstermektedir.)

  1. A
    1
  2. 2Cevap
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

Eşitliği sağlayan değer 2'dir.
İşlemin birim elemanı tablodan 4 olarak bulunur. Denklem (x⋆3)−1⋆2=5(x \star 3)^{-1} \star 2 = 5 şeklinde çözülürken, önce parantez dışındaki işlem tersine çevrilir, ardından bulunan değerin tersi alınarak xx yalnız bırakılır. Adımlar takip edildiğinde x=2x=2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İşlemin birim (etkisiz) elemanını bul.
Birim eleman (e) = 4
Tabloda 4. satır ve 4. sütun, elemanları değiştirmemiştir (1,2,3,4,5 sırasını korumuştur). Bu nedenle etkisiz eleman 4'tür.
2
Parantez içindeki ifadeye bir değişken atayarak denklemi basitleştir: (x⋆3)−1=Y(x \star 3)^{-1} = Y olsun. Y⋆2=5Y \star 2 = 5 eşitliğini sağlayan Y değerini bul.
Y = 2
Tablonun 2. sütununda sonucu 5 olan satırı ararız. 2. satır ile 2. sütunun kesişimi 5'tir (2⋆2=52 \star 2 = 5). Demek ki Y=2Y = 2.
3
(x⋆3)−1=2(x \star 3)^{-1} = 2 bulduk. Her iki tarafın tersini alarak parantez içini yalnız bırak: x⋆3=2−1x \star 3 = 2^{-1}. Şimdi 2'nin tersini bul.
2−1=12^{-1} = 1
Bir elemanın tersi, o elemanla işleme girdiğinde birim elemanı (4) veren sayıdır. Tabloda 2. satırda sonuç 4 nerede? 1. sütunda. Yani 2⋆1=42 \star 1 = 4, dolayısıyla 2−1=12^{-1} = 1.
4
Son denklemi çöz: x⋆3=1x \star 3 = 1.
x = 2
Tablonun 3. sütununda sonucu 1 olan satırı ararız. 2. satırda 2⋆3=12 \star 3 = 1 olduğunu görürüz. Bu durumda x=2x = 2 olur.

Anahtar Kavram

İşlem tablosunda birim eleman ve ters eleman bulma, ters işlem özellikleri ile denklem çözme.
Bu soruyu puanla

Konular

İşlem

Bu konudan daha fazla soru