Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİşlem
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ⋆\star işlemi, mm pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,
x⋆y=2xy−mx−my+15x \star y = 2xy - mx - my + 15
biçiminde tanımlanıyor.

Bu işlemin birim (etkisiz) elemanı bulunduğuna göre, 4 sayısının ⋆\star işlemine göre tersi kaçtır?

  1. A
    3
  2. 83\frac{8}{3}Cevap
  3. C
    5
  4. D
    133\frac{13}{3}
  5. E
    6

Cevap

4 sayısının tersi 8/3'tür.
İşlemin birim elemanı ee olmak üzere, her xx için x⋆e=xx \star e = x eşitliği sağlanmalıdır. İşlem denkleminde x(2e−m−1)+(15−me)=0x(2e - m - 1) + (15 - me) = 0 elde edilir. Bu eşitliğin her xx için sağlanması katsayıların sıfır olmasını gerektirir: 2e=m+12e = m+1 ve me=15me = 15. Bu sistem çözüldüğünde pozitif m=5m=5 ve buna bağlı e=3e=3 bulunur. 4 sayısının tersi yy olsun; 4⋆y=34 \star y = 3 eşitliği çözüldüğünde 8y−20−5y+15=3⇒3y−5=3⇒3y=8⇒y=8/38y - 20 - 5y + 15 = 3 \Rightarrow 3y - 5 = 3 \Rightarrow 3y = 8 \Rightarrow y = 8/3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Birim eleman (e) tanımını kullanarak m değerini bulmak için denklem kurma.
x⋆e=x⇒x(2e−m−1)+(15−me)=0x \star e = x \Rightarrow x(2e - m - 1) + (15 - me) = 0. Buradan 2e=m+12e = m+1 ve me=15me = 15 elde edilir.
Birim eleman özelliği (x⋆e=xx \star e = x), xx'e bağlı olmayan bir eşitlik sağlamalıdır.
2
Elde edilen denklem sistemini çözerek pozitif m değerini bulma.
e=m+12e = \frac{m+1}{2} ifadesini me=15me=15'te yerine yazarsak m(m+1)=30⇒m2+m−30=0m(m+1)=30 \Rightarrow m^2+m-30=0. Pozitif kök m=5m=5'tir.
Soruda m'nin pozitif olduğu belirtilmiştir.
3
Birim elemanı (e) hesaplama.
m=5m=5 ise e=5+12=3e = \frac{5+1}{2} = 3.
Ters eleman hesabında birim elemana ihtiyaç vardır (a⋆a−1=ea \star a^{-1} = e).
4
4 sayısının tersini (x−1x^{-1}) bulma.
4⋆x−1=3⇒2(4)(x−1)−5(4)−5(x−1)+15=34 \star x^{-1} = 3 \Rightarrow 2(4)(x^{-1}) - 5(4) - 5(x^{-1}) + 15 = 3. Denklemden 3x−1=8⇒x−1=8/33x^{-1} = 8 \Rightarrow x^{-1} = 8/3.
Bir sayının tersi ile işleme girmesi birim elemanı vermelidir.

Anahtar Kavram

İşlemde Birim ve Ters Eleman İlişkisi

İpuçları

1
Bir işlemin birim elemanı ee ise, her xx sayısı için x⋆e=xx \star e = x eşitliği sağlanmalıdır. Bu tanımı kullanarak mm ve ee arasındaki ilişkiyi bulun.
2
x⋆e=2xe−mx−me+15=xx \star e = 2xe - mx - me + 15 = x denklemini düzenleyerek x(2e−m−1)+(15−me)=0x(2e - m - 1) + (15 - me) = 0 elde edin. Bu ifadenin her xx için 0 olması için parantez içlerinin 0 olması gerekir.
3
m=5m=5 ve birim eleman e=3e=3 bulunur. Bir sayının tersini bulmak için, o sayıyı tersiyle işleme sokup sonucu birim elemana (3'e) eşitlemelisiniz: 4⋆(4−1)=34 \star (4^{-1}) = 3.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir işlemde 'tersi olmayan elemanı' soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Genel ters formülü çıkarılabilir: x⋆y=2(x−m2)(y−m2)+…x \star y = 2(x - \frac{m}{2})(y - \frac{m}{2}) + \dots biçiminde çarpanlara ayırma yöntemiyle işlem A×B+KA \times B + K formatına dönüştürülüp daha hızlı çözüm yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İşlem

Bu konudan daha fazla soru