Examkin

Soru

Zorluk: ZorRutin Olmayan Problemler
Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her nn tam sayısı için f(n)=n+R(n)f(n) = n + R(n) biçiminde tanımlanıyor. Burada R(n)R(n), nn sayısının rakamları toplamını ifade etmektedir.

Buna göre, f(n)=2023f(n) = 2023 eşitliğini sağlayan kaç farklı nn tam sayısı vardır?

  1. A
    1
  2. 2Cevap
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

Eşitliği sağlayan 2 farklı değer vardır (2015 ve 1997).
Verilen n+R(n)=2023n + R(n) = 2023 eşitliğinde, R(n)R(n) pozitif bir tam sayı olduğundan n<2023n < 2023 olmalıdır. nn sayısı 2023'e yakın olacağı için iki durum incelenir: 2000≤n<20232000 \le n < 2023 ve 1900≤n<20001900 \le n < 2000. Birinci durumda n=2015n=2015 (çünkü 2015+8=20232015+8=2023), ikinci durumda n=1997n=1997 (çünkü 1997+26=20231997+26=2023) çözümleri bulunur. Başka bir çözüm yoktur, dolayısıyla toplam 2 değer vardır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayının alabileceği yaklaşık değer aralığını belirle.
n+R(n)=2023n + R(n) = 2023 olduğundan n<2023n < 2023 olmalıdır. R(n)R(n) en fazla yaklaşık 28 (1999 için) olabileceğinden, nn sayısı 1995 ile 2023 arasında aranmalıdır.
Arama uzayını daraltmak çözümü kolaylaştırır.
2
Sayının 2000'li değerler (20ab) olması durumunu incele.
n=2000+10a+bn = 2000 + 10a + b olsun. R(n)=2+0+a+bR(n) = 2+0+a+b. Denklem: 2000+11a+2b+2=2023⇒11a+2b=212000+11a+2b+2 = 2023 \Rightarrow 11a+2b=21. a=1a=1 için 2b=10⇒b=52b=10 \Rightarrow b=5. Bulunan sayı: 20152015.
Basamak analizi yöntemini kullanma.
3
Sayının 1900'lü değerler (19ab) olması durumunu incele.
n=1900+10a+bn = 1900 + 10a + b olsun. R(n)=1+9+a+bR(n) = 1+9+a+b. Denklem: 1900+11a+2b+10=2023⇒11a+2b=1131900+11a+2b+10 = 2023 \Rightarrow 11a+2b=113. a=9a=9 için 99+2b=113⇒2b=14⇒b=799+2b=113 \Rightarrow 2b=14 \Rightarrow b=7. Bulunan sayı: 19971997.
Olası diğer basamak durumlarını kontrol etme.
4
Bulunan değerleri say.
2015 ve 1997 olmak üzere toplam 2 farklı değer vardır.
Sonuçlandırma.

Anahtar Kavram

Sayı Basamakları ve Çözümleme

İpuçları

1
nn sayısına rakamları toplamı eklendiğinde 2023 oluyorsa, nn sayısı 2023'ten küçük ama ona çok yakın bir sayı olmalıdır.
2
Sayının 2000 ile 2023 arasında (yani 20ab20ab formatında) veya 1900'lerde (yani 19ab19ab formatında) olabileceğini düşünerek iki ayrı denklem kurmayı deneyin.
3
20ab20ab için çözümleme: 2000+10a+b+(2+0+a+b)=20232000 + 10a + b + (2+0+a+b) = 2023 denklemini; 19ab19ab için çözümleme: 1900+10a+b+(1+9+a+b)=20231900 + 10a + b + (1+9+a+b) = 2023 denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla n−R(n)=2000n - R(n) = 2000 denklemini sağlayan sayıları bulunuz.

Alternatif Yöntem

Değer vererek deneme yöntemi: nn sayısının 2023'ten en fazla 28 eksik olabileceğini (maksimum rakam toplamı 1+9+9+9=281+9+9+9=28) hesaplayıp, 1995'ten itibaren 2023'e kadar olan sayıları hızlıca test edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Rutin Olmayan Problemler

Bu konudan daha fazla soru