Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRutin Olmayan Problemler

Bir pozitif tam sayının rakamlarının kareleri toplamı, bir tam sayının karesine eşit oluyorsa bu sayıya "karesel-öz sayı" denir.

Örneğin; 4343 sayısı için 42+32=25=524^2 + 3^2 = 25 = 5^2 olduğundan 4343 bir karesel-öz sayıdır.

Buna göre, iki basamaklı kaç farklı karesel-öz sayı vardır?

  1. A
    99
  2. B
    1111
  3. 1313Cevap
  4. D
    1515
  5. E
    1717

Cevap

İki basamaklı toplam 1313 farklı karesel-öz sayı bulunmaktadır.
Doğru cevap olan on üç sayısına, birler basamağı sıfır olan dokuz adet sayı (10,20,…,9010, 20, \dots, 90) ve rakamları arasında Pisagor ilişkisi bulunan dört adet sayının (34,43,68,8634, 43, 68, 86) toplamı ile ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı sayının genel formunu ve şartı belirlemek.
abab sayısı için a2+b2=k2a^2 + b^2 = k^2 (kk bir tam sayı, a∈{1,...,9},b∈{0,...,9}a \in \{1, ..., 9\}, b \in \{0, ..., 9\})
Karesel-öz sayı tanımı gereği rakamların kareleri toplamı bir tam kare olmalıdır.
2
Birler basamağı sıfır olan durumları incelemek (b=0b = 0).
10,20,30,40,50,60,70,80,9010, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 olmak üzere 99 adet sayı.
a2+02=a2a^2 + 0^2 = a^2 her zaman bir tam karedir ve bu sayılar iki basamaklıdır.
3
Sıfırdan farklı rakamlarla Pisagor üçlüleri (a2+b2=k2a^2 + b^2 = k^2) aramak.
(3,4)(3, 4) ve (6,8)(6, 8) rakam çiftleri bulunur.
32+42=25=523^2 + 4^2 = 25 = 5^2 ve 62+82=100=1026^2 + 8^2 = 100 = 10^2 şartı sağlar; diğer rakam çiftleri tam kare vermez.
4
Bulunan rakam çiftlerinden yazılabilecek iki basamaklı sayıları belirlemek.
34,43,68,8634, 43, 68, 86 olmak üzere 44 adet sayı.
Rakamların yer değiştirmesi kareleri toplamını değiştirmez.
5
Tüm durumları toplamak.
9+4=139 + 4 = 13
İki farklı kategorideki tüm uygun sayılar birleştirilir.

Anahtar Kavram

Tam Kare Sayılar ve Pisagor Üçlüleri

İpuçları

1
Birler basamağı 00 olan sayıları (örneğin 10,2010, 20) kontrol ederek başlayın.
2
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 şartını sağlayan ve rakam olan a,ba, b değerlerini düşünün (Pisagor üçlüleri).
3
Birler basamağı 00 olan 99 sayıya ek olarak, (3,4)(3,4) ve (6,8)(6,8) çiftlerinden kaç sayı yazılabileceğini hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde rakamlarının küpleri toplamı kendisine eşit olan (Armstrong sayıları) gibi özel tanımlı sayı problemlerini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Rutin Olmayan Problemler

Bu konudan daha fazla soru