Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde işlem özellikleriyle ilgili olarak;

I. İki irrasyonel sayının toplamı her zaman bir irrasyonel sayıdır.
II. Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı her zaman bir irrasyonel sayıdır.
III. Bir irrasyonel sayının karesi her zaman bir rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri daima doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. Yalnız IICevap
  3. C
    Yalnız III
  4. D
    I ve II
  5. E
    II ve III

Cevap

İfadeler tek tek incelendiğinde sadece II. öncülün daima doğru olduğu görülür.
Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı sonucunda elde edilen sayı her zaman irrasyoneldir; çünkü aksi halde irrasyonel sayı, iki rasyonel sayının bölümü olarak yazılabilir ve rasyonel olurdu, bu bir çelişkidir.

Adım Adım Çözüm

1
I. öncülü analiz et (İki irrasyonel sayının toplamı)
Daima doğru değildir. Örnek: a=2a = \sqrt{2} ve b=−2b = -\sqrt{2} seçilirse, her ikisi de irrasyoneldir ancak toplamları a+b=0a + b = 0 olur ve 00 bir rasyonel sayıdır.
Aksi örnek (counter-example) yöntemiyle çürütme
2
II. öncülü analiz et (Sıfırdan farklı rasyonel ile irrasyonelin çarpımı)
Daima doğrudur. x≠0x \neq 0 rasyonel ve yy irrasyonel olsun. Eğer x⋅y=zx \cdot y = z (rasyonel) olsaydı, y=z/xy = z/x olurdu. İki rasyonel sayının bölümü rasyonel olacağından yy rasyonel olurdu, bu da yy'nin irrasyonel olmasıyla çelişir.
Olmayana ergi (çelişki bulma) yöntemiyle ispat
3
III. öncülü analiz et (İrrasyonel sayının karesi)
Daima doğru değildir. Örnek: x=2+1x = \sqrt{2} + 1 irrasyonel bir sayıdır. Karesi x2=(2+1)2=2+22+1=3+22x^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2} olur. Sonuç hala irrasyoneldir.
Tam kare açılımı ve köklü sayı özelliği

Anahtar Kavram

İrrasyonel sayıların cebirsel özellikleri ve kapalılık (closure) durumu
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Bu konudan daha fazla soru